3.1: Espacios vectoriales
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En el cálculo multivariable o vectorial, un vector se define como un constructo matemático que tiene tanto dirección como magnitud. En álgebra lineal, los vectores se definen de manera más abstracta. Los vectores son constructos matemáticos que se pueden sumar y multiplicar por escalares bajo las reglas habituales de la aritmética. La adición de vectores es conmutativa y asociativa, y la multiplicación escalar es distributiva y asociativa. Dejar\(\text{u}\),\(\text{v}\), y\(\text{w}\) ser vectores, y dejar\(a\),\(b\), y\(c\) ser escalares. Entonces las reglas de la aritmética dicen que
\[\text{u} + \text{v} = \text{v} + \text{u},\quad \text{u} + (\text{v} + \text{w}) = (\text{u} + \text{v}) + \text{w};\nonumber \]
y
\[a(\text{u}+\text{v})=a\text{u}+a\text{v},\quad a(b\text{u})=(ab)\text{u}.\nonumber \]
Un espacio vectorial consiste en un conjunto de vectores y un conjunto de escalares que se cierra bajo adición de vectores y multiplicación escalar. Es decir, cuando multiplicas dos vectores cualesquiera en un espacio vectorial por escalares y los agregas, el vector resultante sigue estando en el espacio vectorial.
Podemos dar algunos ejemplos de espacios vectoriales. Deje que los escalares sean el conjunto de números reales y que los vectores sean matrices de columna de un tipo especificado. Un ejemplo de un espacio vectorial es el conjunto de todas las matrices de columna tres por una. Si dejamos
\[\text{u}=\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\\u_3\end{array}\right),\quad\text{v}=\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array}\right),\nonumber \]
entonces
\[w=a\text{u}+b\text{v}=\left(\begin{array}{c}au_1+bv_1 \\ au_2+bv_2 \\ au_3+bv_3\end{array}\right)\nonumber \]
es evidentemente una matriz de tres por uno, de modo que el conjunto de todas las matrices tres por una (junto con el conjunto de números reales) forma un espacio vectorial. Este espacio vectorial suele llamarse\(\mathbb{R}^3\).
Un subespacio vectorial es un espacio vectorial que es un subconjunto de otro espacio vectorial. Por ejemplo, un subespacio vectorial de\(\mathbb{R}^3\) podría ser el conjunto de todas las matrices tres por una con cero en la tercera fila. Si dejamos
\[\text{u}=\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\\0\end{array}\right),\quad\text{v}=\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\0\end{array}\right),\nonumber \]
entonces
\[\text{w}=a\text{u}+b\text{v}=\left(\begin{array}{c}au_1+bv_1\\au_2+bv_2\\0\end{array}\right)\nonumber \]
es evidentemente también una matriz de tres por uno con cero en la tercera fila. Este subespacio de\(\mathbb{R}^3\) se cierra bajo multiplicación escalar y adición vectorial y, por lo tanto, es un espacio vectorial. Otro ejemplo de un subespacio vectorial de\(\mathbb{R}^3\) sería el conjunto de todas las matrices tres por una donde la primera fila es igual a la tercera fila.
Por supuesto, no todos los subconjuntos de\(\mathbb{R}^3\) forman un espacio vectorial. Un ejemplo sencillo sería el conjunto de todas las matrices tres por una donde los elementos de fila suman a uno. Si, digamos,\(\text{u} =\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\end{array}\right)^{\text{T}}\), entonces\(a\text{u}\) es un vector cuyas filas suman a\(a\), que puede ser diferente a una.
El vector cero debe ser un miembro de cada espacio vectorial. Si\(\text{u}\) está en el espacio vectorial, entonces también lo es\(0\text{u}\) que es solo el vector cero. Otro argumento sería que si\(\text{u}\) está en el espacio vectorial, entonces así es\((−1)\text{u} = −\text{u}\), y\(\text{u} − \text{u}\) vuelve a ser igual al vector cero.
El concepto de espacios vectoriales es más general que un conjunto de matrices de columna. Aquí hay algunos ejemplos donde los vectores son funciones.
Considerar vectores consistentes en todos los polinomios reales en\(x\) grado menor o igual a\(n\). Mostrar que este conjunto de vectores (junto con el conjunto de números reales) forman un espacio vectorial.
Solución
Considerar los polinomios de grado menor o igual que\(n\) dado por
\[p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n,\quad q(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots +b_nx^n,\nonumber \]
donde\(a_0,\: a_1,\cdots , a_n\) y\(b_0,\: b_1,\cdots , b_n\) son números reales. Claramente, multiplicar estos polinmiales por números reales todavía resulta en un polinomio de grado menor o igual a\(n\). Agregar estos polinomios da como resultado
\[p(x)+q(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\cdots +(a_n+b_n)x^n,\nonumber \]
que es otro polinomio de grado menor o igual a\(n\). Dado que este conjunto de polinomios se cierra bajo multiplicación escalar y adición vectorial, forma un espacio vectorial. Este espacio vectorial se designa como\(\mathbb{P}_n\).
Considerar una función\(y = y(x)\) y la ecuación diferencial\(d^3y/dx^3 = 0\). Encuentra el espacio vectorial asociado a la solución general de esta ecuación diferencial.
Solución
De Cálculo, sabemos que la función cuya tercera derivada es cero es un polinomio de grado menor o igual a dos. Es decir, la solución general a la ecuación diferencial es
\[y(x)=a_0+a_1x+a_2x^2,\nonumber \]
que es solo todos los vectores posibles en el espacio vectorial\(\mathbb{P}_2\).
Considerar una función\(y = y(x)\) y la ecuación diferencial\(d^2y/dx^2 + y = 0\). Encuentra el espacio vectorial asociado a la solución general de esta ecuación diferencial.
Solución
Nuevamente desde Cálculo, sabemos que las funciones trigonométricas\(\cos x\) y\(\sin x\) tienen segundas derivadas que son las negativas de sí mismas. La solución general a la ecuación diferencial consiste en todos los vectores de la
\[y(x)=a\cos x+b\sin x,\nonumber \]
que es solo todos los vectores posibles en el espacio vectorial que consiste en una combinación lineal de\(\cos x\) y\(\sin x\).