3.3: Span, base y dimensión
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Dado un conjunto de vectores, se puede generar un espacio vectorial formando todas las combinaciones lineales de ese conjunto de vectores. El lapso del conjunto de vectores\(\{\text{v}_1,\: \text{v}_2,\cdots , \text{v}_n\}\) es el espacio vectorial que consiste en todas las combinaciones lineales de\(\text{v}_1,\: \text{v}_2,\cdots , \text{v}_n\). Decimos que un conjunto de vectores abarca un espacio vectorial.
Por ejemplo, el conjunto de matrices de columna de tres por una dado por
\[\left\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c}2\\3\\0\end{array}\right)\right\}\nonumber \]
abarca el espacio vectorial de todas las matrices tres por una con cero en la tercera fila. Este espacio vectorial es un subespacio vectorial de todas las matrices tres por una.
No se necesitan los tres vectores para cubrir este subespacio vectorial porque cualquiera de estos vectores depende linealmente de los otros dos. El conjunto más pequeño de vectores necesarios para cubrir un espacio vectorial forma una base para ese espacio vectorial. Aquí, dado el conjunto de vectores anterior, podemos construir una base para el subespacio vectorial de todas las matrices tres por una con cero en la tercera fila simplemente eligiendo dos de cada tres vectores del conjunto de expansión anterior. Tres posibles bases están dadas por
\[\left\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right\},\quad\left\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c}2\\3\\0\end{array}\right)\right\},\quad\left\{\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c}2\\3\\0\end{array}\right)\right\}.\nonumber \]
Aunque las tres combinaciones forman una base para el subespacio vectorial, generalmente se prefiere la primera combinación porque esta es una base ortonormal. Los vectores en esta base son mutuamente ortogonales y de norma unitaria.
El número de vectores en una base da la dimensión del espacio vectorial. Aquí, la dimensión del espacio vectorial de todas las matrices tres por una con cero en la tercera fila es dos.
Encuentre una base ortonormal para el conjunto de todas las matrices tres por una donde la primera fila es igual a la tercera fila.
Solución
Hay muchas soluciones diferentes a este ejemplo, pero una base ortonormal bastante simple viene dada por
\[\left\{\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)\right\}.\nonumber \]
Cualquier otra matriz de tres por uno con la primera fila igual a la tercera fila se puede escribir como una combinación lineal de estos dos vectores base, y la dimensión de este espacio vectorial también es dos.
Determinar una base para\(\mathbb{P}_2\), el espacio vectorial que consiste en todos los polinomios de grado menor o igual a dos.
Solución
Nuevamente, hay muchas opciones posibles para una base, pero quizás la más simple la da
\[\left\{\begin{array}{ccc}1,&x,&x^2\end{array}\right\}.\nonumber \]
Claramente, cualquier polinomio de grado menor o igual a dos puede escribirse como una combinación lineal de estos vectores base. La dimensión de\(\mathbb{P}_2\) es tres.
Determinar una base para el espacio vectorial dado por la solución general de la ecuación diferencial\(d^2y/dx^2 + y = 0\).
Solución
La solución general viene dada por
\[y(x)=a\cos x+b\sin x,\nonumber \]
y una base para este espacio vectorial son solo las funciones
\[\left\{\begin{array}{cc}\cos x,&\sin x\end{array}\right\}.\nonumber \]
La dimensión del espacio vectorial dada por la solución general de la ecuación diferencial es dos. Esta dimensión es igual al orden de la derivada más alta en la ecuación diferencial.