3.4: Espacios interiores de productos
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\[\text{u}=\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\\u_3\end{array}\right),\quad\text{v}=\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array}\right)\nonumber \]
está dado por
\[\text{u}^{\text{T}}\text{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.\nonumber \]
Ahora generalizamos el producto interno para que sea aplicable a cualquier espacio vectorial, incluyendo aquellos que contienen funciones.
Denotaremos el producto interno entre dos vectores cualesquiera\(\text{u}\) y\(\text{v}\) as\((\text{u}, \text{v})\), y requeriremos que el producto interno satisfaga las mismas reglas aritméticas que son satisfechas por el producto punto. Con\(\text{u}\),\(\text{v}\),\(\text{w}\) vectores y\(c\) un escalar, estas reglas se pueden escribir como
\[(\text{u},\text{v})=(\text{v},\text{u}),\quad (\text{u}+\text{v},\text{w})=(\text{u},\text{w})+(\text{v},\text{w}),\quad (\text{cu},\text{v})=\text{c}(\text{u},\text{v})=(\text{u},\text{cv});\nonumber \]
y\((\text{u},\text{u})\geq 0\), donde la igualdad se mantiene si y sólo si\(\text{u}=0\).
Generalizando nuestras definiciones para matrices de columna, la norma de un vector\(\text{u}\) se define como
\[||\text{u}||=(\text{u},\text{u})^{1/2}.\nonumber \]
Un vector unitario es un vector cuya norma es uno. Se dice que los vectores unitarios están normalizados a la unidad, aunque a veces solo decimos que están normalizados. Decimos que dos vectores son ortogonales si su producto interno es cero. También decimos que una base es ortonormal (como en una base ortonormal) si todos los vectores son mutuamente ortogonales y están normalizados a la unidad. Para una base ortonormal que consiste en los vectores\(v_1,\: v_2,\cdots , v_n\), escribimos
\[(v_i,v_j)=\delta_{ij},\nonumber \]
donde\(\delta_{ij}\) se llama el delta de Kronecker, definido como
\[\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ll}1,&\text{if }i=j; \\ 0,&\text{if }i\neq j.\end{array}\right.\nonumber \]
A menudo, se utilizan vectores base que son ortogonales pero que se normalizan a otros valores además de la unidad.
Definir un producto interno para\(\mathbb{P}_n\).
Solución
Dejar\(p(x)\) y\(q(x)\) ser dos polinomios adentro\(\mathbb{P}_n\). Una posible definición de un producto interno viene dada por
\[(p,q)=\int_{-1}^1 p(x)q(x)dx.\nonumber \]
Se puede comprobar que todas las condiciones de un producto interno están satisfechas.
Mostrar que los primeros cuatro polinomios de Legendre forman una base ortogonal para\(\mathbb{P}_3\) usar el producto interno definido anteriormente.
Solución
Los primeros cuatro polinomios de Legendre están dados por
\[P_0(x)=1,\quad P_1(x)=x,\quad P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1),\quad P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x),\nonumber \]
y estos cuatro polinomios forman una base para\(\mathbb{P}_3\). Con un producto interno definido\(\mathbb{P}_n\) como
\[(p,q)=\int_{-1}^1p(x)q(x)dx,\nonumber \]
se puede demostrar mediante la integración explícita que
\[(P_m,P_n)=\frac{2}{2n+1}\delta_{m,n},\nonumber \]
de manera que los cuatro primeros polinomios de Legendre sean mutuamente ortogonales. Se normalizan para que\(P_n(1) = 1\).
Definir un producto interno sobre\(\mathbb{P}_n\) tal que los polinomios de Hermite sean ortogonales.
Solución
Por ejemplo, los cuatro primeros polinomios hermitas están dados por
\[H_0(x)=1,\quad H_1(x)=2x,\quad H_2(x)=4x^2-2,\quad H_3(x)=8x^3-12x,\nonumber \]
que también forman una base para\(\mathbb{P}_3\). Aquí, defina un producto interno\(\mathbb{P}_n\) como
\[(p,q)=\int_{-\infty}^\infty p(x)q(x)e^{-x^2}dx.\nonumber \]
Se puede demostrar que
\[(H_m,H_n)=2^n\pi^{1/2}n!\delta_{m,n},\nonumber \]
de manera que los polinomios hermitas son ortogonales con esta definición del producto interno. Estos polinomios hermitas se normalizan de manera que el coeficiente principal de\(H_n\) es dado por\(2^n\).