3.5: Espacios vectoriales de una matriz
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El espacio nulo de una matriz\(\text{A}\) es el espacio vectorial abarcado por todos los vectores\(\text{x}\) que satisfacen la ecuación matricial
\[\text{Ax}=0.\nonumber \]
Si la matriz\(\text{A}\) es\(m\) -by-\(n\), entonces el vector de columna\(\text{x}\) es\(n\) -por-uno y el espacio nulo de\(\text{A}\) es un subespacio de\(\mathbb{R}^n\). Si\(\text{A}\) es una matriz cuadrada invertible, entonces el espacio nulo consiste solo en el vector cero.
Para encontrar una base para el espacio nulo de una matriz no invertible, traemos\(\text{A}\) a la fila la forma de escalón reducido. Demostramos con el ejemplo. Considere la matriz de tres por cinco dada por
\[\text{A}=\left(\begin{array}{rrrrr}-3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&-1\\2&-4&5&8&-4\end{array}\right).\nonumber \]
Al permutar juiciosamente filas para simplificar la aritmética, una vía para construir\(\text{rref}(A)\) es
\[\begin{array}{l}\left(\begin{array}{rrrrr}-3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&-1\\2&-4&5&8&-4\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrrr}1&-2&2&3&-1\\-3&6&-1&1&-7\\2&-4&5&8&-4\end{array}\right)\to \\ \left(\begin{array}{rrrrr}1&-2&2&3&-1\\0&0&5&10&-10\\0&0&1&2&-2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrrr}1&-2&2&3&-1\\0&0&1&2&-2\\0&0&5&10&-10\end{array}\right)\to \\ \left(\begin{array}{rrrrr}1&-2&0&-1&3\\0&0&1&2&-2\\0&0&0&0&0\end{array}\right).\end{array}\nonumber \]
Ahora podemos escribir la ecuación matricial\(\text{Ax} = 0\) para el espacio nulo usando\(\text{rref}(\text{A})\). Escribiendo la variable asociada a las columnas pivotantes en el lado izquierdo de las ecuaciones, tenemos desde la primera y segunda filas
\[\begin{aligned}x_1&=2x_2+x_4-3x_5 \\ x_3&=-2x_4+2x_5.\end{aligned} \nonumber \]
Eliminando\(x_1\) y\(x_3\), ahora escribimos la solución general para vectores en el espacio nulo como
\[\left(\begin{array}{c}2x_2+x_4-3x_5 \\ x_2\\-2x_4&2x_5\\x_4\\x_5\end{array}\right)=x_2\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\\0\\0\end{array}\right)+x_4\left(\begin{array}{r}1\\0\\-2\\1\\0\end{array}\right)+x_5\left(\begin{array}{r}-3\\0\\2\\0\\1\end{array}\right),\nonumber \]
donde\(x_2\),\(x_4\), y\(x_5\) se llaman variables libres, y pueden tomar cualquier valor.
El vector que multiplica la variable libre\(x_2\) tiene uno en la segunda fila y todos los demás vectores tienen un cero en esta fila. Del mismo modo, el vector que multiplica la variable libre\(x_4\) tiene uno en la cuarta fila y todos los demás vectores tienen un cero en esta fila, y así sucesivamente. Por lo tanto, estos tres vectores deben ser linealmente independientes y formar una base para el espacio nulo. La base viene dada por
\[\left\{\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\\0\\0\end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{r}1\\0\\-2\\1\\0\end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{r}-3\\0\\2\\0\\1\end{array}\right)\right\}.\nonumber \]
El espacio nulo se ve como un subespacio tridimensional de\(\mathbb{R}^5\), y su dimensión es igual al número de variables libres de\(\text{rref}(\text{A})\). El número de variables libres es, por supuesto, igual al número de columnas menos el número de columnas pivotantes.
3.5.2 Aplicación del Espacio Nulo
Ver Aplicación del Espacio Nulo en YouTube
Un sistema subdeterminado de ecuaciones lineales\(\text{Ax} = \text{b}\) con más incógnitas que ecuaciones puede no tener una solución única. Si\(\text{u}\) es la forma general de un vector en el espacio nulo de\(\text{A}\), y\(\text{v}\) es cualquier vector que satisfaga\(\text{Av} = \text{b}\), entonces\(\text{x} = \text{u} + \text{v}\) satisface\(\text{Ax} = \text{A}(\text{u} + \text{v}) = \text{Au} + \text{Av} = 0 + b = b\). Por lo tanto, la solución general de\(\text{Ax} = \text{b}\) puede escribirse como la suma de un vector general en\(\text{Null}(\text{A})\) y un vector particular que satisface el sistema subdeterminado.
Como ejemplo, supongamos que queremos encontrar la solución general al sistema lineal de dos ecuaciones y tres incógnitas dadas por
\[\begin{aligned}2x_1+2x_2+x_3&=0,\\2x_1-2x_2-x_3&=1,\end{aligned} \nonumber \]
que en forma de matriz viene dada por
\[\left(\begin{array}{rrr}2&2&1\\2&-2&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right).\nonumber \]
Primero llevamos la matriz aumentada a la forma de escalón de fila reducida:
\[\left(\begin{array}{rrrr}2&2&1&0\\2&-2&-1&1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&1/4\\0&1&1/2&-1/4\end{array}\right).\nonumber \]
El espacio nulo se determina a partir de\(x_1 = 0\) y\(x_2 = −x_3/2\), y podemos escribir
\[\text{Null}(\text{A})=\text{span}\left\{\left(\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right)\right\}.\nonumber \]
Una solución particular para el sistema no homogéneo se encuentra resolviendo\(x_1 = 1/4\) y\(x_2 + x_3/2 = −1/4\). Aquí, simplemente tomamos la variable libre\(x_3\) para que sea cero, y encontramos\(x_1 = 1/4\) y\(x_2 = −1/4\). La solución general al sistema lineal subdeterminado original es la suma del espacio nulo y la solución particular y viene dada por
\[\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right)+\frac{1}{4}\left(\begin{array}{r}1\\-1\\0\end{array}\right).\nonumber \]
3.5.3 Espacio de Columna
Ver espacio de columnas en YouTube
El espacio de columna de una matriz es el espacio vectorial abarcado por las columnas de la matriz. Cuando una matriz se multiplica por un vector de columna, el vector resultante se encuentra en el espacio de columna de la matriz, como se puede ver en el ejemplo
\[\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax+by\\cx+dy\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{c}a\\c\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}b\\d\end{array}\right).\nonumber \]
En general,\(\text{Ax}\) es una combinación lineal de las columnas de\(\text{A}\), y la ecuación\(\text{Ax} = 0\) expresa la dependencia lineal de las columnas de\(\text{A}\).
Dada una\(n\) matriz\(m\) -by-\(\text{A}\), ¿cuál es la dimensión del espacio de columna de\(\text{A}\), y cómo encontramos una base? Tenga en cuenta que dado que\(\text{A}\) tiene\(m\) filas, el espacio de columna de\(\text{A}\) es un subespacio de\(\mathbb{R}^m\).
Afortunadamente, se\(\text{A}\) puede encontrar una base para el espacio de columna de\(\text{rref}(\text{A}\)). Consideremos el ejemplo de §3.5.1, donde
\[\text{A}=\left(\begin{array}{rrrrr}-3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&-1\\2&-4&5&8&-4\end{array}\right),\nonumber \]
y
\[\text{rref}(\text{A})=\left(\begin{array}{rrrrr}1&-2&0&-1&3\\0&0&1&2&-2\\0&0&0&0&0\end{array}\right).\nonumber \]
La ecuación matricial\(\text{Ax} = 0\) es equivalente a\(\text{rref}(\text{A})\text{x} = 0\), y esta última ecuación se puede expresar como
\[x_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{r}-2\\0\\0\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)+x_4\left(\begin{array}{r}-1\\2\\0\end{array}\right)+x_5\left(\begin{array}{r}3\\-2\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right).\nonumber \]
Sólo las columnas pivotantes de\(\text{rref}(\text{A})\), aquí la primera y tercera columnas, son linealmente independientes. Por ejemplo, la segunda columna es\(−2\) multiplicada por la primera columna; y cualesquiera que sean las relaciones de dependencia lineal que se\(\text{rref}(\text{A})\) mantengan para mantener verdaderas para la matriz original\(\text{A}\). (Puedes intentar verificar este hecho). La dimensión del espacio de columna de\(\text{A}\) es por lo tanto igual al número de columnas pivotantes de\(\text{A}\), y aquí es dos. Una base para el espacio de columna viene dada por la primera y tercera columnas de\(\text{A}\) (no\(\text{rref}(\text{A})\)), y es
\[\left\{\left(\begin{array}{r}-3\\1\\2\end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{r}-1\\2\\5\end{array}\right)\right\}.\nonumber \]
Recordemos que la dimensión del espacio nulo es el número de columnas no pivotantes, de manera que la suma de las dimensiones del espacio nulo y el espacio de columna es igual al número total de columnas. Una declaración de este teorema es la siguiente. Dejar\(\text{A}\) ser una\(n\) matriz\(m\) -by-. Entonces
\[\text{dim}(\text{Col}(\text{A}))+\text{dim}(\text{Null}(\text{A}))=n.\nonumber \]
3.5.4 Espacio de fila, espacio nulo izquierdo y rango
Ver espacio de filas, espacio nulo izquierdo y clasificación en YouTube
Además del espacio de columna y el espacio nulo, una matriz\(\text{A}\) tiene dos espacios vectoriales más asociados a ella, a saber, el espacio de columna y el espacio nulo de\(\text{A}^{\text{T}}\), que se denominan el espacio de fila y el espacio nulo izquierdo de\(\text{A}\).
Si\(\text{A}\) es una\(n\) matriz\(m\) -by-, entonces el espacio de fila y el espacio nulo son subespacios de\(\mathbb{R}^n\), y el espacio de columna y el espacio nulo izquierdo son subespacios de\(\mathbb{R}^m\).
El espacio nulo consiste en todos los vectores\(\text{x}\) tal que\(\text{Ax} = 0\), es decir, el espacio nulo es el conjunto de todos los vectores que son ortogonales al espacio de fila de\(\text{A}\). Decimos que estos dos espacios vectoriales son ortogonales.
Una base para el espacio de filas de una matriz se puede encontrar a partir de la computación\(\text{rref}(\text{A})\), y se encuentra que son filas de\(\text{rref}(\text{A})\) (escritas como vectores de columna) con columnas pivotantes. Por lo tanto, la dimensión del espacio de fila de\(\text{A}\) es igual al número de columnas pivotantes, mientras que la dimensión del espacio nulo de\(\text{A}\) es igual al número de columnas no pivotantes. La unión de estos dos subespacios conforman el espacio vectorial de todas las matrices\(n\) -por-una y decimos que estos subespacios son complementos ortogonales entre sí.
Además, la dimensión del espacio de columna de A también es igual al número de columnas pivotantes, de manera que las dimensiones del espacio de columna y el espacio de filas de una matriz son iguales. Tenemos
\[\text{dim}(\text{Col}(\text{A}))=\text{dim}(\text{Row}(\text{A})).\nonumber \]
Llamamos a esta dimensión el rango de la matriz\(\text{A}\). Este es un resultado sorprendente ya que el espacio de columna y el espacio de fila son subespacios de dos espacios vectoriales diferentes. En general, debemos tener\(\text{rank}(\text{A}) ≤ \text{min}(m, n)\). Cuando la igualdad se mantiene, decimos que la matriz es de rango completo. Y cuando\(\text{A}\) es una matriz cuadrada y de rango completo, entonces la dimensión del espacio nulo es cero y\(\text{A}\) es invertible.
Resumimos nuestros resultados en la siguiente tabla. El espacio nulo de también\(\text{A}^{\text{T}}\) se llama el espacio nulo izquierdo de\(\text{A}\) y el espacio de columna de también\(\text{A}^{\text{T}}\) se llama el espacio de fila de\(\text{A}\). El espacio nulo de\(\text{A}\) y el espacio de fila de\(\text{A}\) son complementos ortogonales como es el espacio nulo izquierdo de\(\text{A}\) y el espacio de columna de\(\text{A}\). La dimensión del espacio de columna de\(\text{A}\) es igual a la dimensión del espacio de fila de\(\text{A}\) y esta dimensión se llama el rango de\(\text{A}\).
Tabla\(\PageIndex{1}\): Los cuatro subespacios fundamentales de una\(n\) matriz\(m\) -by-
| espacio vectorial | subespacio de | dimensión |
|---|---|---|
| \(\text{Null}(\text{A})\) | \(\mathbb{R}^n\) | \(n\)- # de columnas pivotes |
| \(\text{Col}(\text{A})\) | \(\mathbb{R}^m\) | # de columnas pivotes |
| \(\text{Null}(\text{A}^{\text{T}})\) | \(\mathbb{R}^m\) | \(m\)- # de columnas pivotes |
| \(\text{Col}(\text{A}^{\text{T}})\) | \(\mathbb{R}^n\) | # de columnas pivotes |