3.6: Proceso Gram-Schmidt
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Ver ejemplo de proceso de Gram-Schmidt en YouTube
Dada cualquier base para un espacio vectorial, podemos usar un algoritmo llamado proceso Gram-Schmidt para construir una base ortonormal para ese espacio. Que los vectores\(\text{v}_1,\: \text{v}_2,\cdots , \text{v}_n\) sean una base para algún espacio vectorial\(n\) -dimensional. Asumiremos aquí que estos vectores son matrices de columna, pero este proceso también se aplica de manera más general.
Construiremos una base ortogonal\(\text{u}_1,\: \text{u}_2,\cdots , \text{u}_n\), y luego normalizaremos cada vector para obtener una base ortonormal. Primero, defina\(\text{u}_1 = \text{v}_1\). Para encontrar el siguiente vector de base ortogonal, defina
\[\text{u}_2=\text{v}_2-\frac{(\text{u}_1^{\text{T}}\text{v}_2)\text{u}_1}{\text{u}_1^{\text{T}}\text{u}_1}.\nonumber \]
Observe que\(\text{u}_2\) es igual a\(\text{v}_2\) menos el componente de\(\text{v}_2\) que es paralelo a\(\text{u}_1\). Al multiplicar ambos lados de esta ecuación con\(\text{u}_1^{\text{T}}\), es fácil verlo para\(u_1^{\text{T}}\text{u}_2 = 0\) que estos dos vectores sean ortogonales.
El siguiente vector ortogonal en la nueva base se puede encontrar en
\[\text{u}_3=\text{v}_3-\frac{(\text{u}_1^{\text{T}}\text{v}_3)\text{u}_1}{\text{u}_1^{\text{T}}\text{u}_1}-\frac{(\text{u}_2^{\text{T}}\text{v}_3)\text{u}_2}{\text{u}_2^{\text{T}}\text{u}_2}.\nonumber \]
Aquí,\(\text{u}_3\) es igual a\(\text{v}_3\) menos los componentes de\(\text{v}_3\) que son paralelos a\(\text{u}_1\) y\(\text{u}_2\). Podemos continuar de esta manera construyendo n vectores de base ortogonales. Estos vectores se pueden normalizar a través de
\[\hat{\text{u}}_1=\frac{\text{u}_1}{(\text{u}_1^{\text{T}}\text{u}_1)^{1/2}},\quad\text{etc.}\nonumber \]
Dado que\(\text{u}_k\) es una combinación lineal de\(\text{v}_1,\: \text{v}_2,\cdots , \text{v}_k\), el subespacio vectorial abarcado por los primeros vectores\(k\) base del espacio vectorial original es el mismo que el subespacio abarcado por los primeros vectores\(k\) ortonormales generados a través del proceso Gram-Schmidt. Podemos escribir este resultado como
\[\text{span}\{\text{u}_1,\:\text{u}_2,\cdots ,\text{u}_k\}=\text{span}\{\text{v}_1,\:\text{v}_2,\cdots ,\text{v}_k\}.\nonumber \]
Para dar un ejemplo del proceso Gram-Schmidt, considere un subespacio de\(\mathbb{R}^4\) con las siguientes bases:
\[W=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\1\end{array}\right)\right\}=\{\text{v}_1,\:\text{v}_2,\:\text{v}_3\}.\nonumber \]
Utilizamos el proceso Gram-Schmidt para construir una base ortonormal para este subespacio. Vamos\(\text{u}_1 = \text{v}_1\). Luego\(\text{u}_2\) se encuentra de
\[\begin{aligned}\text{u}_2&=\text{v}_2-\frac{(\text{u}_1^{\text{T}}\text{v}_2)\text{u}_1}{\text{u}_1^{\text{T}}\text{u}_1} \\ &=\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right)-\frac{3}{4}\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{r}-3\\1\\1\\1\end{array}\right).\end{aligned} \nonumber \]
Finalmente, calculamos\(\text{u}_3\):
\[\begin{aligned}\text{u}_3&=\text{v}_3-\frac{(\text{u}_1^{\text{T}}\text{v}_3)\text{u}_1}{\text{u}_1^{\text{T}}\text{u}_1}-\frac{(\text{u}_2^{\text{T}}\text{v}_3)\text{u}_2}{\text{u}_2^{\text{T}}\text{u}_2} \\ &=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\1\end{array}\right)-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)-\frac{1}{6}\left(\begin{array}{r}-3\\1\\1\\1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r}0\\-2\\1\\1\end{array}\right).\end{aligned} \nonumber \]
Normalizando los tres vectores, obtenemos la base ortonormal
\[W'=\left\{\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right),\quad\frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\begin{array}{r}-3\\1\\1\\1\end{array}\right),\quad\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{r}0\\-2\\1\\1\end{array}\right)\right\}.\nonumber \]