4.1: Determinantes dos por dos y tres por tres
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Nuestra primera introducción a los determinantes fue la definición de la matriz general de dos por dos
\[\text{A}=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right):\quad\det\text{A}=ad-bc.\nonumber \]
Otras notaciones ampliamente utilizadas para el determinante incluyen
\[\det\text{A}=\det\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)=|\text{A}|=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|.\nonumber \]
Por construcción explícita, hemos visto que una matriz de dos por dos\(\text{A}\) es invertible si y solo si\(\det\text{A}\neq= 0\). Si una matriz cuadrada\(\text{A}\) es invertible, entonces la ecuación\(\text{Ax} = \text{b}\) tiene la solución única\(\text{x} = \text{A}^{−1}\text{b}\). Pero si no\(\text{A}\) es invertible, entonces\(\text{Ax} = \text{b}\) puede que no tenga solución o un número infinito de soluciones. Cuando\(\det \text{A} = 0\), decimos que\(\text{A}\) es una matriz singular.
Aquí, nos gustaría extender la definición del determinante a una\(n\) matriz\(n\) -by-. Antes de hacerlo, mostremos el determinante para una matriz de tres por tres. Consideramos el sistema de ecuaciones\(\text{Ax} = 0\) y encontramos la condición para la cual\(\text{x} = 0\) es la única solución. Esta condición debe ser equivalente a\(\det \text{A}\neq 0\). Con
\[\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=0,\nonumber \]
uno puede hacer el álgebra desordenado de la eliminación para resolver por\(\text{x}_1\),\(\text{x}_2\), y\(\text{x}_3\). Se encuentra que\(\text{x}_1 = \text{x}_2 = \text{x}_3 = 0\) es la única solución cuando\(\det \text{A}\neq 0\), donde la definición viene dada por
\[\det\text{A}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\label{eq:1} \]
Una manera de recordar este resultado para la matriz de tres por tres es mediante la siguiente imagen:
La matriz\(\text{A}\) se extiende periódicamente dos columnas hacia la derecha, dibujadas explícitamente aquí pero generalmente solo imaginadas. Luego se hacen evidentes los seis términos que comprenden el determinante, con las líneas inclinadas hacia abajo hacia la derecha obteniendo los signos más y las líneas inclinadas hacia abajo hacia la izquierda obteniendo los signos menos. Desafortunadamente, esta mnemotécnica sólo es válida para matrices de tres por tres.