4.2: Expansión Laplace y Fórmula Leibniz
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Ver fórmula Leibniz para determinantes informáticos en YouTube
Hay dos formas de ver el determinante de tres por tres que de hecho generalizan a\(n\) -por-\(n\) matrices. La primera forma escribe
\[\begin{aligned}\det\text{A}&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh \\ &= a(ei − f h) − b(di − f g) + c(dh − eg) \\ &=a\left|\begin{array}{cc}e&f\\h&i\end{array}\right| -b\left|\begin{array}{cc}d&f\\g&i\end{array}\right|+c\left|\begin{array}{cc}d&e\\g&h\end{array}\right|.\end{aligned} \nonumber \]
El determinante de tres por tres se encuentra a partir de determinantes de orden inferior de dos por dos, y es posible una definición recursiva del determinante. Este método de computación de un determinante se llama expansión de Laplace, o expansión de cofactores, o expansión por menores. Los menores se refieren a los determinantes de orden inferior, y el cofactor se refiere a la combinación del menor con el signo más o menos apropiado. La regla aquí es que uno atraviesa la primera fila de la matriz, multiplicando cada elemento de la primera fila por el determinante de la matriz obtenida al tachar la fila y columna del elemento. El signo de los términos se alternan a medida que vamos cruzando la fila.
En lugar de ir a través de la primera fila, podríamos haber hecho la primera columna usando el mismo método para obtener
\[\det\text{A}=a\left|\begin{array}{cc}e&f \\ h&i\end{array}\right|-d\left|\begin{array}{cv}b&c\\h&i\end{array}\right|+g\left|\begin{array}{cc}b&c\\e&f\end{array}\right|,\nonumber \]
también equivalente a (4.1.1). De hecho, esta expansión por parte de menores se puede hacer a través de cualquier fila o abajo de cualquier columna. El signo de cada término en la expansión viene dado por\((−1)^{i+j}\) cuando el número que multiplica cada menor se extrae de la\(i\) fila\(j\) th y la -ésima columna. Una manera fácil de recordar los letreros es formar un patrón de tablero de ajedrez, exhibido aquí para la matriz de tres por tres:
\[\left(\begin{array}{ccc}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{array}\right).\nonumber \]
La segunda forma de generalizar el determinante se llama la fórmula de Leibniz, o más descriptivamente, la fórmula grande. Se nota que cada término en (4.1.1) tiene un solo elemento de cada fila y de cada columna. Como podemos elegir uno de tres elementos de la primera fila, luego uno de dos elementos de la segunda fila, y sólo un elemento de la tercera fila, hay\(3! = 6\) términos en la expansión. Para una\(n\) matriz general\(n\) -by- hay\(n!\) términos.
El signo de cada término depende de si deriva de una permutación par o impar de las columnas numeradas\(\{1,\: 2,\: 3,\cdots , n\}\), con permutaciones pares obteniendo un signo más y permutaciones impares obteniendo un signo menos. Una permutación par es aquella que se puede obtener conmutando pares de números en la secuencia\(\{1,\: 2,\: 3,\cdots , n\}\) un número par de veces, y una permutación impar corresponde a un número impar de conmutadores. Como ejemplos del caso de tres por tres, los términos\(aei,\: bfg,\) y\(cdh\) corresponden a las numeraciones de columnas\(\{1,\: 2,\: 3\},\: \{2,\: 3,\: 1\}\), y\(\{3,\: 1,\: 2\}\), que se puede ver que son incluso permutaciones de\(\{1,\: 2,\: 3\}\), y los términos\(ceg,\: bdi,\) y\(afh\) corresponden a las numeraciones de columnas\(\{3,\: 2,\: 1\},\: \{2,\: 1,\: 3\},\) y\(\{1,\: 3,\: 2\}\), que son permutaciones impares.
Ya sea la expansión de Laplace o la fórmula de Leibniz se pueden utilizar para definir el determinante de una\(n\) matriz\(n\) -by-.
Sin embargo, será más divertido definir el determinante a partir de tres propiedades más fundamentales. Estas propiedades nos llevarán a la condición más importante\(\det\text{A}\neq 0\) para una matriz invertible. Pero también vamos a dilucidar muchas otras propiedades útiles.