4.3: Propiedades del Determinante
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El determinante, como sabemos, es una función que mapea una\(n\) matriz\(n\) -by- a un escalar. Ahora definimos esta función determinante por las siguientes tres propiedades.
El determinante de la matriz de identidad es uno, es decir,
\[\det\text{I}=1.\nonumber \]
Esta propiedad normaliza esencialmente el determinante. La ilustración de dos por dos es
\[\left|\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right|=1\times 1-0\times 0=1.\nonumber \]
Los cambios determinantes firman cambio bajo fila. La ilustración de dos por dos es
\[\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|=ad-bc=-(cb-da)=-\left|\begin{array}{cc}c&d\\a&b\end{array}\right|.\nonumber \]
El determinante es una función lineal de la primera fila, manteniendo fijas todas las demás filas. La ilustración de dos por dos es
\[\left|\begin{array}{cc}ka&kb\\c&d\end{array}\right|=kad-kbc=k(ad-bc)=k\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|\nonumber \]
y
\[\left|\begin{array}{cc}a+a'&b+b' \\ c&d\end{array}\right|=(a+a')d-(b+b')c=(ad-bc)+(a'd-b'c)=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a'&b' \\ c&d\end{array}\right|.\nonumber \]
Notablemente, Properties\(\PageIndex{1}\) -\(\PageIndex{3}\) son todo lo que necesitamos para definir de manera única la función determinante. Se puede demostrar que estas tres propiedades se mantienen tanto en los casos de dos por dos como de tres por tres, y para la expansión de Laplace y la fórmula de Leibniz para el\(n\) caso general\(n\) -por-.
Ahora discutimos más propiedades que siguen de Propiedades\(\PageIndex{1}\) -\(\PageIndex{3}\). Continuaremos ilustrando estas propiedades usando una matriz de dos por dos.
El determinante es una función lineal de todas las filas, p.
\ [\ begin {align}
\ izquierda|\ begin {array} {cc}
a & b\
k c & k d
\ end {array}\ derecha| &=-\ izquierda|\ begin {array} {cc}
k c & k d\\
a & b
\ end {array}\ derecha|\ tag {Propiedad 2}\
\ [4pt]
&=-k\ izquierda|\ begin {array} {cc}
c & d\\
a & b
\ end {array}\ derecha|\ tag {Propiedad 3}\
\ [4pt]
&=k\ izquierda|\ begin {array} {ll}
a & b\\
c & d
\ end {array}\ derecha|,\ tag {Propiedad 2}
\ end {align}\ nonumber\]
y de manera similar para la segunda condición de linealidad.
Si una matriz tiene dos filas iguales, entonces el determinante es cero, p.
\[\begin{aligned}\left|\begin{array}{cc}a&b\\a&b\end{array}\right|&=-\left|\begin{array}{cc}a&b\\a&b\end{array}\right|\qquad\text{(Property 2)} \\ &=0,\end{aligned} \nonumber \]
ya que cero es el único número igual a su negativo.
Si agregamos\(k\) tiempos fila\(i\) a fila,\(j\) el determinante no cambia, por ejemplo,
\[\begin{aligned}\left|\begin{array}{cc}a&b\\c+ka&d+kb\end{array}\right|&=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cc}a&b\\a&b\end{array}\right|\qquad\text{(Property 4)} \\ &=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|.\qquad\text{(Property 5)}\end{aligned} \nonumber \]
Esta propiedad junto con Property\(\PageIndex{2}\) y nos\(\PageIndex{3}\) permite realizar la eliminación gaussiana sobre una matriz para simplificar el cálculo de un determinante.
El determinante de una matriz con una fila de ceros es cero, p.
\[\begin{aligned}\left|\begin{array}{cc}a&b\\0&0\end{array}\right|&=0\left|\begin{array}{cc}a&b\\0&0\end{array}\right|\qquad\text{(Property 4)} \\ &=0.\end{aligned} \nonumber \]
El determinante de una matriz diagonal es solo el producto de los elementos diagonales, p.
\[\begin{aligned}\left|\begin{array}{cc}a&0\\0&d\end{array}\right|&=ad\left|\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right|\qquad\text{(Property 4)} \\ &=ad.\qquad\text{(Property 1)}\end{aligned} \nonumber \]
El determinante de una matriz triangular superior o inferior es solo el producto de los elementos diagonales, p.
\[\begin{aligned} \left|\begin{array}{cc}a&b\\0&d\end{array}\right|&=\left|\begin{array}{cc}a&0\\0&d\end{array}\right|\qquad\text{(Property 6)} \\ &=ad.\qquad\text{(Property 8)}\end{aligned} \nonumber \]
En el cálculo anterior, Property\(\PageIndex{6}\) se aplica multiplicando la segunda fila por\(−b/d\) y agregándola a la primera fila.
Una matriz con un determinante distinto de cero es invertible. Una matriz con un determinante cero es singular. La reducción de fila (Propiedad\(\PageIndex{6}\)), el intercambio de filas (Propiedad\(\PageIndex{2}\)) y la multiplicación de una fila por un escalar distinto de cero (Propiedad\(\PageIndex{4}\)) pueden traer una matriz cuadrada a su forma de escalón de fila reducida. Si\(\text{rref}(\text{A}) = \text{I}\), entonces el determinante es distinto de cero y la matriz es invertible. Si\(\text{rref}(\text{A})\neq \text{I}\), entonces la última fila es todo ceros, el determinante es cero, y la matriz es singular.
El determinante del producto es igual al producto de los determinantes, es decir,
\[\operatorname{det} A B=\operatorname{det} A \operatorname{det} B . \nonumber \]
Esta identidad resulta muy útil, pero su prueba para una\(n\) matriz general\(n\) -by- es difícil. La prueba para una matriz de dos por dos se puede hacer directamente.
Let
\[\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right), \quad \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ll} e & f \\ g & h \end{array}\right) \nonumber \]
Entonces
\[\mathrm{AB}=\left(\begin{array}{ll} a e+b g & a f+b h \\ c e+d g & c f+d h \end{array}\right) \nonumber \]
y
\[\begin{aligned} \operatorname{det} \mathrm{AB} &=\left|\begin{array}{cc} a e+b g & a f+b h \\ c e+d g & c f+d h \end{array}\right| \\ &=\left|\begin{array}{cc} a e \\ c e+d g & c f+d h \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} a g & b h \\ c e+d g & c f+d h \end{array}\right| \\ &=\left|\begin{array}{ll} a e & a f \\ c e & c f \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} a e & a f \\ d g & d h \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} b g & b h \\ c e & c f \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} b g & b h \\ d g & d h \end{array}\right| \\ &=a c\left|\begin{array}{cc} e & f \\ e & f \end{array}\right|+a d\left|\begin{array}{ll} e & f \\ g & h \end{array}\right|+b c\left|\begin{array}{ll} g & h \\ e & f \end{array}\right|+b d\left|\begin{array}{ll} g & h \\ g & h \end{array}\right| \\ &=(a d-b c)\left|\begin{array}{ll} e & f \\ g & h \end{array}\right| \\ &=\operatorname{det} \mathrm{A} d e t \mathrm{~B} . \end{aligned} \nonumber \]
Conmutar dos matrices no cambia el valor del determinante, es decir,\(\operatorname{det} \mathrm{AB}=\operatorname{det} \mathrm{BA}\). La prueba es simplemente
\[\begin{aligned} \operatorname{det} \mathrm{AB} &=\operatorname{det} \mathrm{A} \operatorname{det} \mathrm{B} \\ &=\operatorname{det} \mathrm{B} \operatorname{det} \mathrm{A} \\ &=\operatorname{det} \mathrm{BA} . \end{aligned} \nonumber \]
El determinante de la inversa es la inversa del determinante, es decir, si A es invertible, entonces\(\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)=1 / \operatorname{det} \mathrm{A}\). La prueba es
\[\begin{aligned} 1 &=\operatorname{det} I \\ &=\operatorname{det}\left(\mathrm{AA}^{-1}\right) \\ &=\operatorname{det} \mathrm{A} \operatorname{det} \mathrm{A}^{-1} \end{aligned} \nonumber \]
Por lo tanto,
\[\operatorname{det} \mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} \mathrm{A}} \nonumber \]
El determinante de una matriz elevada a una potencia entera es igual al determinante de esa matriz, elevada a la potencia entera. Tenga en cuenta que\(\mathrm{A}^{2}=\mathrm{AA}\)\(\mathrm{A}^{3}=\mathrm{AAA}\),, etc. Esta propiedad en forma de ecuación viene dada por
\[\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{p}\right)=(\operatorname{det} \mathrm{A})^{p}, \nonumber \]
donde\(p\) es un número entero. Este resultado se desprende de la aplicación sucesiva de la Propiedad\(11 .\)
Si\(\mathrm{A}\) es una\(n\) matriz\(n\) -by-, entonces
\[\operatorname{det} k \mathrm{~A}=k^{n} \operatorname{det} \mathrm{A} . \nonumber \]
Tenga en cuenta que\(k\) A multiplica cada elemento de A por el escalar\(k\). Esta propiedad se sigue simplemente de Propiedad 4\(n\) tiempos aplicados.
El determinante de la matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz, i.e.
\[\operatorname{det} \mathrm{A}^{\mathrm{T}}=\operatorname{det} \mathrm{A} . \nonumber \]
Cuando\(\mathrm{A}=\mathrm{LU}\) sin ningún intercambio de fila, tenemos\(\mathrm{A}^{\mathrm{T}}=\mathrm{U}^{\mathrm{T}} \mathrm{L}^{\mathrm{T}}\) y
\[\begin{aligned} \operatorname{det} \mathrm{A}^{\mathrm{T}} &=\operatorname{det} \mathrm{U}^{\mathrm{T}} \mathrm{L}^{\mathrm{T}} \\ &=\operatorname{det} \mathrm{U}^{\mathrm{T}} \operatorname{det} \mathrm{L}^{\mathrm{T}} \\ &=\operatorname{det} \mathrm{U} \operatorname{det} \mathrm{L} \\ &=\operatorname{det} \mathrm{LU} \\ &=\operatorname{det} \mathrm{A} . \end{aligned} \nonumber \]
Se puede mostrar que el mismo resultado se mantiene incluso si se necesitan intercambios de filas. La implicación de la Propiedad 16 es que cualquier declaración sobre el determinante y las filas de A también se aplican a las columnas de A. Para calcular el determinante, ¡uno puede hacer ya sea reducción de fila o reducción de columna!
Es hora de algunos ejemplos. Comenzamos con una simple matriz de tres por tres e ilustramos algunos enfoques para un cálculo manual del determinante.
Compute el determinante de
\[A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 5 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \end{array}\right) \nonumber \]
Mostramos cálculos utilizando la fórmula de Leibniz y la expansión de Laplace.
Solución
Método 1 (fórmula de Leibniz): Calculamos los seis términos directamente extendiendo periódicamente la matriz y recordando que las diagonales inclinadas hacia la derecha obtienen signos más y las diagonales inclinadas hacia la izquierda obtienen signos menos. Tenemos\(\operatorname{det} \mathrm{A}=1 \cdot 4 \cdot 0+5 \cdot(-1) \cdot 0+0 \cdot 2 \cdot(-2)-0 \cdot 4 \cdot 0-5 \cdot 2 \cdot 0-1 \cdot(-1) \cdot(-2)=-2\)
Método 2 (expansión Laplace): Ampliamos utilizando menores. Deberíamos elegir una expansión a través de la fila o hacia abajo de la columna que tenga más ceros. Aquí, las opciones obvias son la tercera fila o la tercera columna, y podemos mostrar ambas. Al otro lado de la tercera fila, tenemos
\[\operatorname{det} \mathrm{A}=-(-2) \cdot\left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right|=-2 \nonumber \]
y bajando la tercera columna, tenemos
\[\operatorname{det} \mathrm{A}=-(-1) \cdot\left|\begin{array}{rr} 1 & 5 \\ 0 & -2 \end{array}\right|=-2 \nonumber \]
Compute el determinante de
\[\mathrm{A}=\left(\begin{array}{rrrrr} 6 & 3 & 2 & 4 & 0 \\ 9 & 0 & -4 & 1 & 0 \\ 8 & -5 & 6 & 7 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 3 & 2 & 0 \end{array}\right) \nonumber \]
Solución
Primero nos expandimos en menores a través de la cuarta fila:
\[\left|\begin{array}{rrrrr}6 & 3 & 2 & 4 & 0 \\ 9 & 0 & -4 & 1 & 0 \\ 8 & -5 & 6 & 7 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 3 & 2 & 0\end{array}\right|=-3\left|\begin{array}{rrrr}3 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & 0 \\ -5 & 6 & 7 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & 0\end{array}\right| \nonumber \]
Luego ampliamos en menores por la cuarta columna:
\[-3\left|\begin{array}{rrrr} 3 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & 0 \\ -5 & 6 & 7 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \end{array}\right|=3\left|\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 4 \\ 0 & -4 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{array}\right| . \nonumber \]
Luego podemos multiplicar la tercera columna por 4 y agregarla a la segunda columna:
\[=3\left|\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 4 \\ 0 & -4 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc} 3 & 18 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 11 & 2 \end{array}\right| \text {, } \nonumber \]
y finalmente expandirse en menores a través de la segunda fila:
\[3\left|\begin{array}{ccc} 3 & 18 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 11 & 2 \end{array}\right|=-3\left|\begin{array}{ll} 3 & 18 \\ 2 & 11 \end{array}\right|=-3(33-36)=9 \nonumber \]
La técnica aquí es intentar eliminar a cero todos los elementos en una fila o una columna excepto uno antes de proceder a expandirse por menores a través de esa fila o columna.
Recordemos la matriz Q de Fibonacci, que satisface
\[\mathrm{Q}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right), \quad \mathrm{Q}^{n}=\left(\begin{array}{cc} F_{n+1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n-1} \end{array}\right) \nonumber \]
donde\(F_{n}\) está el\(n\) número th de Fibonacci. Demostrar la identidad de Cassini
\[F_{n+1} F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n} . \nonumber \]
Solución
Nos repitió de Property 10 rendimientos\(\operatorname{det}\left(\mathrm{Q}^{n}\right)=(\operatorname{det} \mathrm{Q})^{n}\). La aplicación de esta identidad a la matriz Q de Fibonacci da como resultado la identidad de Cassini. Por ejemplo, con\(F_{5}=5, F_{6}=8\)\(F_{7}=13\),, tenemos\(13 \cdot 5-8^{2}=1\). La identidad de Cassini lleva a una divertida falacia de disección llamada el bamboozlement de Fibonacci, que no se discute más aquí.
Considera la matriz tridiagonal con unas en la diagonal principal, unas en la primera diagonal por debajo de la principal y negativas en la primera diagonal por encima de la principal. La matriz denotada por\(T_{n}\) es la\(n\) versión\(n\) -by- de esta matriz. Por ejemplo, las cuatro primeras matrices vienen dadas por
\[T_{1}=(1), \quad T_{2}=\left(\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right), \quad T_{3}=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad T_{4}=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \nonumber \]
\(\left|T_{n}\right|=F_{n+1}\)Demuéstralo.
Solución
Calculemos los tres primeros determinantes. Tenemos\(\left|T_{1}\right|=1=F_{2}\) y\(\left|T_{2}\right|=2=F_{3}\). Calculamos\(\left|T_{3}\right|\) yendo a través de la primera fila usando menores:
\[\left|T_{3}\right|=1\left|\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right|+1\left|\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right|=2+1=3=F_{4} . \nonumber \]
Para probarlo\(\left|T_{n}\right|=F_{n+1}\), sólo necesitamos probarlo\(\left|T_{n+1}\right|=\left|T_{n}\right|+\left|T_{n-1}\right|\). Nos expandimos\(\left|T_{n+1}\right|\) en menores a través de la primera fila. Usando\(\left|T_{4}\right|\) como ejemplo, es fácil ver que
\[\left|T_{n+1}\right|=\left|T_{n}\right|+\left|\begin{array}{rrrrrr} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & \ldots \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ldots \end{array}\right| . \nonumber \]
El determinante restante se puede expandir por la primera columna para obtener\(\left|T_{n-1}\right|\) así que\(\left|T_{n+1}\right|=\left|T_{n}\right|+\left|T_{n-1}\right|\).
Esta relación de recursión de Fibonacci junto con\(\left|T_{1}\right|=\) 1 y\(\left|T_{2}\right|=2\) resulta en\(\left|T_{n}\right|=F_{n+1}\).