8.3: El Wronskian
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\[x\left(t_{0}\right)=x_{0}, \quad \dot{x}\left(t_{0}\right)=u_{0}, \nonumber \]
para cualquier tiempo inicial\(t_{0}\), y valores iniciales\(x_{0}\) y\(u_{0}\). Aplicando estas condiciones iniciales a\(Equation \ref{8.5}\), obtenemos
\[\begin{aligned} &c_{1} X_{1}\left(t_{0}\right)+c_{2} X_{2}\left(t_{0}\right)=x_{0} \\ &c_{1} \dot{X}_{1}\left(t_{0}\right)+c_{2} \dot{X}_{2}\left(t_{0}\right)=u_{0} \end{aligned} \nonumber \]
que es un sistema de dos ecuaciones lineales para las dos incógnitas\(c_{1}\) y\(c_{2}\). En forma de matriz,
\[\left(\begin{array}{ll} X_{1}\left(t_{0}\right) & X_{2}\left(t_{0}\right) \\ \dot{X}_{1}\left(t_{0}\right) & \dot{X}_{2}\left(t_{0}\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} c_{1} \\ c_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} x_{0} \\ u_{0} \end{array}\right) . \nonumber \]
Podemos resolver la Ecuación\ ref {8.8} para cualquier valor especificado de\(t_{0}, x_{0}\) y\(u_{0}\) si la matriz 2-por-2 es invertible, y ese será el caso si su determinante es distinto de cero. El determinante se llama Wronskiano y se define por
\[W=X_{1} \dot{X}_{2}-\dot{X}_{1} X_{2} \nonumber \]
En el lenguaje del álgebra lineal, cuando\(W \neq 0\) las funciones\(X_{1}=X_{1}(t)\) y\(X_{2}=X_{2}(t)\) son linealmente independientes y abarcan el espacio de solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden dada por la ecuación\ ref {8.4}. El espacio de solución de la oda satisface las condiciones de un espacio vectorial y las dos soluciones\(X_{1}\) y\(X_{2}\) actúa como vectores de base para este espacio. La dimensión de este espacio es dos, correspondiente al orden de la ecuación diferencial.
Ejemplo: Mostrar que las funciones\(X_{1}(t)=\cos \omega t\) y\(X_{2}(t)=\sin \omega t\) tienen un Wronskian distinto de cero cuando\(\omega \neq 0\).
Tenemos
\[\begin{array}{ll} X_{1}(t)=\cos \omega t, & X_{2}(t)=\sin \omega t \\ \dot{X}_{1}(t)=-\omega \sin \omega t, & \dot{X}_{2}(t)=\omega \cos \omega t \end{array} \nonumber \]
El Wronskian viene dado por
\[W=\left|\begin{array}{cc} \cos \omega t & \sin \omega t \\ -\omega \sin \omega t & \omega \cos \omega t \end{array}\right|=\omega\left(\cos ^{2} \omega t+\sin ^{2} \omega t\right)=\omega \nonumber \]
para que\(W \neq 0\) cuando\(\omega \neq 0\).
Ejemplo: Mostrar que las funciones\(X_{1}(t)=e^{a t}\) y\(X_{2}(t)=e^{b t}\) tienen un Wronskian distinto de cero cuando\(a \neq b\).
Tenemos
\[\begin{array}{ll} X_{1}(t)=e^{a t}, & X_{2}(t)=e^{b t} \\ \dot{X}_{1}(t)=a e^{a t}, & \dot{X}_{2}(t)=b e^{b t} \end{array} \nonumber \]
El Wronskian viene dado por
\[W=\left|\begin{array}{cc} e^{a t} & e^{b t} \\ a e^{a t} & b e^{b t} \end{array}\right|=(b-a) e^{(a+b) t} \nonumber \]
para que\(W \neq 0\) cuando\(a \neq b\).
Ejemplo: Mostrar que las funciones\(X_{1}(t)=1\) y\(X_{2}(t)=t\) tienen un Wronskian distinto de cero.
Tenemos
\[\begin{array}{ll} X_{1}(t)=1, & X_{2}(t)=t \\ \dot{X}_{1}(t)=0, & \dot{X}_{2}(t)=1 \end{array} \nonumber \]
El Wronskian viene dado por
\[W=\left|\begin{array}{ll} 1 & t \\ 0 & 1 \end{array}\right|=1 \nonumber \]