8.4: Oda lineal homogénea de segundo orden con coeficientes de concentración

Ver tutorial en YouTube

Ahora estudiamos soluciones de la oda de coeficiente homogéneo y constante, escrita como

\[a \ddot{x}+b \dot{x}+c x=0, \nonumber \]

con\(a, b\), y\(c\) constantes. Tal ecuación surge para la carga en un condensador en un circuito eléctrico RLC sin alimentación, o para la posición de una masa de fricción libre oscilante en un resorte, o para un péndulo amortiguado. Nuestro método de solución encuentra dos soluciones linealmente independientes a la Ecuación\ ref {8.10}, multiplica cada una de estas soluciones por una constante y las agrega. Las dos constantes libres se pueden usar para satisfacer dos condiciones iniciales dadas.

Debido a las propiedades diferenciales de la función exponencial, un ansatz natural, o conjetura educada, para la forma de la solución a la Ecuación\ ref {8.10}\(r\) es\(x=e^{r t}\), donde es una constante por determinar. La diferenciación sucesiva da como resultado\(\dot{x}=r e^{r t}\) y\(\ddot{x}=r^{2} e^{r t}\), y la sustitución en rendimientos de la ecuación\ ref {8.10}

\[a r^{2} e^{r t}+b r e^{r t}+c e^{r t}=0 . \nonumber \]

Nuestra elección de la función exponencial ahora es recompensada por la cancelación explícita en la Ecuación\ ref {8.11} de\(e^{r t}\). El resultado es una ecuación cuadrática para la constante desconocida\(r\):

\[a r^{2}+b r+c=0 . \nonumber \]

Nuestro ansatz ha convertido así una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Ecuación La ecuación\ ref {8.12} se llama la ecuación característica de la ecuación\ ref {8.10}. Usando la fórmula cuadrática, las dos soluciones de la ecuación característica Ecuación\ ref {8.12} vienen dadas por

\[r_{\pm}=\frac{1}{2 a}\left(-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}\right) . \nonumber \]

Hay tres casos a considerar: (1) si\(b^{2}-4 a c>0\), entonces las dos raíces son distintas y reales; (2) si\(b^{2}-4 a c<0\), entonces las dos raíces son conjugados complejos (3) si\(b^{2}-\)\(4 a c=0\), entonces las dos raíces son degeneradas y solo hay una raíz real. Consideraremos estos tres casos a su vez.

8.4.1. Distintas raíces reales

Cuando\(r_{+} \neq r_{-}\) son raíces reales, entonces la solución general a la Ecuación\ ref {8.10} puede escribirse como una superposición lineal de las dos soluciones\(e^{r+t}\) y\(e^{r-t}\); es decir,

\[x(t)=c_{1} e^{r_{+} t}+c_{2} e^{r-t} . \nonumber \]

Las constantes desconocidas\(c_{1}\) y luego\(c_{2}\) pueden ser determinadas por las condiciones iniciales dadas\(x\left(t_{0}\right)=x_{0}\) y\(\dot{x}\left(t_{0}\right)=u_{0}\). Presentamos ahora dos ejemplos.

Ejemplo 1: Resuelve\(\ddot{x}+5 \dot{x}+6 x=0\) con\(x(0)=2, \dot{x}(0)=3\), y encuentra el valor máximo alcanzado por\(x\).

Ver tutorial en YouTube

Tomamos como nuestro ansatz\(x=e^{r t}\) y obtenemos la ecuación característica

\[r^{2}+5 r+6=0 \nonumber \]

qué factores

\[(r+3)(r+2)=0 \nonumber \]

La solución general a la oda es así

\[x(t)=c_{1} e^{-2 t}+c_{2} e^{-3 t} \nonumber \]

La solución para\(\dot{x}\) obtener por diferenciación es

\[\dot{x}(t)=-2 c_{1} e^{-2 t}-3 c_{2} e^{-3 t} . \nonumber \]

El uso de las condiciones iniciales resulta entonces en dos ecuaciones para las dos constantes desconocidas\(c_{1}\) y\(c_{2}\):

\[\begin{aligned} c_{1}+c_{2} &=2 \\ -2 c_{1}-3 c_{2} &=3 . \end{aligned} \nonumber \]

Agregar tres veces la primera ecuación a la segunda ecuación rinde\(c_{1}=9\); y la primera ecuación luego rinde\(c_{2}=2-c_{1}=-7\). Por lo tanto, la solución única que satisface tanto la oda como las condiciones iniciales es

\[\begin{aligned} x(t) &=9 e^{-2 t}-7 e^{-3 t} \\ &=9 e^{-2 t}\left(1-\frac{7}{9} e^{-t}\right) . \end{aligned} \nonumber \]

Obsérvese que aunque ambos términos exponenciales decaen en el tiempo, su suma aumenta inicialmente desde entonces\(\dot{x}(0)>0\). El valor máximo de\(x\) ocurre en el\(t_{m}\) momento en que\(\dot{x}=0\), o

\[t_{m}=\ln (7 / 6) \text {. } \nonumber \]

Luego\(x_{m}=x\left(t_{m}\right)\) se determina que el máximo es

\[x_{m}=108 / 49 . \nonumber \]

Ejemplo 2: Resolver\(\ddot{x}-x=0\) con\(x(0)=x_{0}, \dot{x}(0)=u_{0}\).

Nuevamente nuestro ansatz es\(x=e^{r t}\), y obtenemos la ecuación característica

\[r^{2}-1=0 \nonumber \]

con solución\(r_{\pm}=\pm 1\). Por lo tanto, la solución general para\(x\) es

\[x(t)=c_{1} e^{t}+c_{2} e^{-t} \nonumber \]

y el derivado satisface

\[\dot{x}(t)=c_{1} e^{t}-c_{2} e^{-t} \nonumber \]

Se cumplen las condiciones iniciales cuando

\[\begin{aligned} &c_{1}+c_{2}=x_{0} \\ &c_{1}-c_{2}=u_{0} . \end{aligned} \nonumber \]

Sumando y restando estas ecuaciones, determinamos

\[c_{1}=\frac{1}{2}\left(x_{0}+u_{0}\right), \quad c_{2}=\frac{1}{2}\left(x_{0}-u_{0}\right) \nonumber \]

para que después de reordenar los términos

\[x(t)=x_{0}\left(\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\right)+u_{0}\left(\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\right) \nonumber \]

Los términos entre paréntesis son las definiciones habituales de las funciones coseno y seno hiperbólicas; es decir,

\[\cosh t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}, \quad \sinh t=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2} . \nonumber \]

Por lo tanto, nuestra solución puede ser reescrita como

\[x(t)=x_{0} \cosh t+u_{0} \sinh t \nonumber \]

Obsérvese que las relaciones entre las funciones trigonométricas y los exponenciales complejos fueron dadas por

\[\cos t=\frac{e^{i t}+e^{-i t}}{2}, \quad \sin t=\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2 i} \nonumber \]

para que

\[\cosh t=\cos i t, \quad \sinh t=-i \sin i t . \nonumber \]

También tenga en cuenta que las funciones trigonométricas hiperbólicas satisfacen las ecuaciones diferenciales

\[\frac{d}{d t} \sinh t=\cosh t, \quad \frac{d}{d t} \cosh t=\sinh t \nonumber \]

que aunque similar a las ecuaciones diferenciales satisfechas por las funciones trigonométricas más utilizadas, carece de un signo menos.

8.4.2. Distintas raíces complejo-conjugadas

Ver tutorial en YouTube

Consideramos ahora una ecuación característica Ecuación\ ref {8.12} con\(b^{2}-4 a c<0\), por lo que las raíces ocurren como pares conjugados complejos. Con

\[\lambda=-\frac{b}{2 a}, \quad \mu=\frac{1}{2 a} \sqrt{4 a c-b^{2}} \nonumber \]

las dos raíces de la ecuación característica son\(\lambda+i \mu\) y\(\lambda-i \mu\). Hemos encontrado así las siguientes dos soluciones exponenciales complejas a la ecuación diferencial:

\[Z_{1}(t)=e^{\lambda t} e^{i \mu t}, \quad Z_{2}(t)=e^{\lambda t} e^{-i \mu t} . \nonumber \]

Aplicando el principio de superposición, cualquier combinación lineal de\(Z_{1}\) y también\(Z_{2}\) es una solución a la oda de segundo orden

Recordemos que si\(z=x+i y\), entonces\(\operatorname{Re} z=(z+\bar{z}) / 2\) y\(\operatorname{Im} z=(z-\bar{z}) / 2 i\). Por lo tanto, podemos formar dos combinaciones lineales diferentes de\(Z_{1}(t)\) y\(Z_{2}(t)\) que son reales, a saber\(X_{1}(t)=\operatorname{Re} Z_{1}(t)\) y\(X_{2}(t)=\operatorname{Im} Z_{1}(t)\). Tenemos

\[X_{1}(t)=e^{\lambda t} \cos \mu t, \quad X_{2}(t)=e^{\lambda t} \sin \mu t . \nonumber \]

Habiendo encontrado estas dos soluciones reales,\(X_{1}(t)\) y\(X_{2}(t)\), entonces podemos aplicar el principio de superposición por segunda vez para determinar la solución general para\(x(t)\):

\[x(t)=e^{\lambda t}(A \cos \mu t+B \sin \mu t) . \nonumber \]

Lo mejor es memorizar este resultado. La parte real de las raíces de la ecuación característica entra en la función exponencial; la parte imaginaria entra en el argumento de coseno y seno.

Ejemplo 1: Resolver\(\ddot{x}+x=0\) con\(x(0)=x_{0}\) y\(\dot{x}(0)=u_{0}\).

Ver tutorial en YouTube

La ecuación característica es

\[r^{2}+1=0 \nonumber \]

con raíces

\[r_{\pm}=\pm i \nonumber \]

La solución general de la oda es, por lo tanto

\[x(t)=A \cos t+B \sin t . \nonumber \]

El derivado es

\[\dot{x}(t)=-A \sin t+B \cos t . \nonumber \]

Aplicando las condiciones iniciales:

\[x(0)=A=x_{0}, \quad \dot{x}(0)=B=u_{0} ; \nonumber \]

para que la solución final sea

\[x(t)=x_{0} \cos t+u_{0} \sin t . \nonumber \]

Recordemos que escribimos la solución análoga a la oda\(\ddot{x}-x=0\) como\(x(t)=\)\(x_{0} \cosh t+u_{0} \sinh t\).

Ejemplo 2: Resolver\(\ddot{x}+\dot{x}+x=0\) con\(x(0)=1\) y\(\dot{x}(0)=0\).

La ecuación característica es

\[r^{2}+r+1=0 \nonumber \]

con raíces

\[r_{\pm}=-\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} . \nonumber \]

La solución general de la oda es, por lo tanto

\[x(t)=e^{-\frac{1}{2} t}\left(A \cos \frac{\sqrt{3}}{2} t+B \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t\right) \nonumber \]

El derivado es

\[\begin{aligned} \dot{x}(t)=-\frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2} t}\left(A \cos \frac{\sqrt{3}}{2} t+B \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t\right) \\ &+\frac{\sqrt{3}}{2} e^{-\frac{1}{2} t}\left(-A \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t+B \cos \frac{\sqrt{3}}{2} t\right) . \end{aligned} \nonumber \]

Aplicando las condiciones iniciales\(x(0)=1\) y\(\dot{x}(0)=0\):

\[\begin{gathered} A=1 \\ -\frac{1}{2} A+\frac{\sqrt{3}}{2} B=0 \end{gathered} \nonumber \]

o

\[A=1, \quad B=\frac{\sqrt{3}}{3} \nonumber \]

Por lo tanto,

\[x(t)=e^{-\frac{1}{2} t}\left(\cos \frac{\sqrt{3}}{2} t+\frac{\sqrt{3}}{3} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t\right) \nonumber \]

8.4.3. Raíces degeneradas

Ver tutorial en YouTube

Por último, consideramos la ecuación característica,

\[a r^{2}+b r+c=0, \nonumber \]

con\(b^{2}-4 a c=0\). La raíz degenerada es dada entonces por

\[r=-\frac{b}{2 a} \nonumber \]

produciendo solo una única solución a la oda:

\[x_{1}(t)=\exp \left(-\frac{b t}{2 a}\right) . \nonumber \]

Para satisfacer dos condiciones iniciales, se debe encontrar una segunda solución independiente con Wronskian distinto de cero, y aparentemente esta segunda solución no es de la forma de nuestro ansatz\(x=\exp (r t)\).

Un método para determinar esta segunda solución faltante es probar el ansatz

\[x(t)=y(t) x_{1}(t), \nonumber \]

donde\(y(t)\) es una función desconocida que satisface la ecuación diferencial obtenida sustituyendo la Ecuación\ ref {8.15} por la Ecuación\ ref {8.10}. Esta técnica estándar se denomina método de reducción de orden y permite encontrar una segunda solución de una ecuación diferencial lineal homogénea si se conoce una solución. Si la ecuación diferencial original es de orden\(n\), la ecuación diferencial para\(y=y(t)\) reduce a un orden uno inferior, es decir,\(n-1\).

Aquí, sin embargo, determinaremos esta segunda solución faltante a través de un proceso limitante. Comenzamos con la solución obtenida para raíces complejas de la ecuación característica, para luego llegar a la solución obtenida para raíces degeneradas tomando el límite\(\mu \rightarrow 0\).

Ahora, la solución general para raíces complejas fue dada por la Ecuación\ ref {8.13}, y para limitar adecuadamente esta solución como\(\mu \rightarrow 0\) requiere primero satisfacer las condiciones iniciales específicas\(x(0)=x_{0}\) y\(\dot{x}(0)=u_{0}\). Resolviendo para\(A\) y\(B\), la solución general dada por la Ecuación\ ref {8.13} se convierte en la solución específica

\[x(t ; \mu)=e^{\lambda t}\left(x_{0} \cos \mu t+\frac{u_{0}-\lambda x_{0}}{\mu} \sin \mu t\right) \nonumber \]

Aquí, hemos escrito\(x=x(t ; \mu)\) para mostrar explícitamente de eso\(x\) depende\(\mu\).

Tomando el límite como\(\mu \rightarrow 0\), y usando\(\lim _{\mu \rightarrow 0} \mu^{-1} \sin \mu t=t\), tenemos

\[\lim _{\mu \rightarrow 0} x(t ; \mu)=e^{\lambda t}\left(x_{0}+\left(u_{0}-\lambda x_{0}\right) t\right) . \nonumber \]

Se observa que la segunda solución es una constante,\(u_{0}-\lambda x_{0}\), veces\(t\) veces la primera solución,\(e^{\lambda t}\). Nuestra solución general a la oda\(Equation \ref{8.10}\) cuando por lo tanto se\(b^{2}-4 a c=0\) puede escribir en la forma

\[x(t)=\left(c_{1}+c_{2} t\right) e^{r t}, \nonumber \]

donde\(r\) está la raíz repetida de la ecuación característica. El principal resultado a recordar es que para el caso de raíces repetidas, la segunda solución es\(t\) por la primera solución.

Ejemplo: Resolver\(\ddot{x}+2 \dot{x}+x=0\) con\(x(0)=1\) y\(\dot{x}(0)=0\).

La ecuación característica es

\[\begin{aligned} r^{2}+2 r+1 &=(r+1)^{2} \\ &=0 \end{aligned} \nonumber \]

que tiene una raíz repetida dada por\(r=-1\). Por lo tanto, la solución general a la oda es

\[x(t)=c_{1} e^{-t}+c_{2} t e^{-t} \nonumber \]

con derivado

\[\dot{x}(t)=-c_{1} e^{-t}+c_{2} e^{-t}-c_{2} t e^{-t} . \nonumber \]

Aplicando las condiciones iniciales, tenemos

\[\begin{gathered} c_{1}=1, \\ -c_{1}+c_{2}=0, \end{gathered} \nonumber \]

así que eso\(c_{1}=c_{2}=1\). Por lo tanto, la solución es

\[x(t)=(1+t) e^{-t} . \nonumber \]