10.4: Valores propios de Complejo-Conjugado Distinto
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Las ecuaciones en forma de matriz son
\[\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -1 / 2 & 1 \\ -1 & -1 / 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \nonumber \]
El ansatz\(\mathrm{x}=v e^{\lambda t}\) lleva a la ecuación
\[\begin{aligned} 0 &=\operatorname{det}(\mathrm{A}-\lambda \mathrm{I}) \\ &=\lambda^{2}+\lambda+\frac{5}{4} \end{aligned} \nonumber \]
Por lo tanto,\(\lambda=-1 / 2 \pm i\); y observamos que los valores propios ocurren como un par conjugado complejo. Denotaremos los dos valores propios como
\[\lambda=-\frac{1}{2}+i \quad \text { and } \quad \bar{\lambda}=-\frac{1}{2}-i \nonumber \]
Ahora bien, si es\(\mathrm{A}\) una matriz real, entonces\(\mathrm{Av}=\lambda_{\mathrm{v}}\) implica\(\mathrm{A} \overline{\mathrm{v}}=\bar{\lambda} \overline{\mathrm{v}}\), por lo que los vectores propios también ocurren como un par conjugado complejo. El vector propio\(v\) asociado con el valor propio\(\lambda\) satisface\(-i v_{1}+v_{2}=0\), y normalizando con\(v_{1}=1\), tenemos
\[\mathrm{v}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ i \end{array}\right) \nonumber \]
Por lo tanto, hemos determinado dos soluciones complejas independientes a la oda, es decir,
\[\mathrm{v} e^{\lambda t} \text { and } \overline{\mathrm{v}} e^{\bar{\lambda} t}, \nonumber \]
y podemos formar una combinación lineal de estas dos soluciones complejas para construir dos soluciones reales independientes. Es decir, si las funciones complejas\(z(t)\) y\(\bar{z}(t)\) se escriben como
\[z(t)=\operatorname{Re}\{z(t)\}+i \operatorname{Im}\{z(t)\}, \quad \bar{z}(t)=\operatorname{Re}\{z(t)\}-i \operatorname{Im}\{z(t)\}, \nonumber \]
entonces se pueden construir dos funciones reales a partir de las siguientes combinaciones lineales de\(z\) y\(\bar{z}\):
\[\frac{z+\bar{z}}{2}=\operatorname{Re}\{z(t)\} \quad \text { and } \quad \frac{z-\bar{z}}{2 i}=\operatorname{Im}\{z(t)\} . \nonumber \]
Así, las dos funciones vectoriales reales que se pueden construir a partir de nuestras dos funciones vectoriales complejas son
\[\begin{aligned} \operatorname{Re}\left\{\mathbf{v} e^{\lambda t}\right\} &=\operatorname{Re}\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ i \end{array}\right) e^{\left(-\frac{1}{2}+i\right) t}\right\} \\ &=e^{-\frac{1}{2} t} \operatorname{Re}\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ i \end{array}\right)(\cos t+i \sin t)\right\} \\ &=e^{-\frac{1}{2} t}\left(\begin{array}{r} \cos t \\ -\sin t \end{array}\right) ; \end{aligned} \nonumber \]
y
\[\begin{aligned} \operatorname{Im}\left\{\mathbf{v} e^{\lambda t}\right\} &=e^{-\frac{1}{2} t} \operatorname{Im}\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ i \end{array}\right)(\cos t+i \sin t)\right\} \\ &=e^{-\frac{1}{2} t}\left(\begin{array}{c} \sin t \\ \cos t \end{array}\right) . \end{aligned} \nonumber \]
Tomando una superposición lineal de estas dos soluciones reales da como resultado la solución general a la oda, dada por
\[x=e^{-\frac{1}{2} t}\left[A\left(\begin{array}{r} \cos t \\ -\sin t \end{array}\right)+B\left(\begin{array}{l} \sin t \\ \cos t \end{array}\right)\right] \nonumber \]
El retrato de fase correspondiente se muestra en la Fig. 10.2. Decimos que el origen es un punto espiral. Si la parte real del valor propio complejo es negativa, como es el caso aquí, entonces las soluciones se adentran en espiral hacia el origen. Si la parte real del valor propio es positiva, entonces las soluciones salen en espiral del origen.
La dirección de la espiral, aquí, es en sentido horario, se puede determinar fácilmente. Si examinamos la oda con\(x_{1}=0\) y\(x_{2}=1\), vemos que\(\dot{x}_{1}=1\) y\(\dot{x}_{2}=-1 / 2\). La trayectoria en el punto\((0,1)\) se mueve hacia la derecha y hacia abajo, y esto solo es posible si la espiral está en el sentido de las agujas del reloj. Una trayectoria en sentido antihorario se estaría moviendo hacia la izquierda y hacia abajo.