10.5: Valores propios repetidos con un vector propio
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Las ecuaciones en forma de matriz son
\[\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \nonumber \]
El ansatz\(\mathrm{x}=\mathrm{v} e^{\lambda t}\) conduce a la ecuación característica
\[\begin{aligned} 0 &=\operatorname{det}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) \\ &=\lambda^{2}-4 \lambda+4 \\ &=(\lambda-2)^{2} . \end{aligned} \nonumber \]
Por lo tanto,\(\lambda=2\) es un valor propio repetido. El vector propio asociado se encuentra a partir de\(-v_{1}-v_{2}=0\), o\(v_{2}=-v_{1} ;\) y normalizando con\(v_{1}=1\), tenemos
\[\lambda=2, \quad \mathrm{v}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right) \nonumber \]
Hemos encontrado así una única solución a la oda, dada por
\[\mathrm{x}_{1}(t)=c_{1}\left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right) e^{2 t} \nonumber \]
y necesitamos encontrar la segunda solución que falta para poder satisfacer las condiciones iniciales. Un ansatz de\(t\) veces la primera solución es tentadora, pero fallará. Aquí, haremos trampa y encontraremos la segunda solución faltante resolviendo la ecuación diferencial equivalente de segundo orden, homogénea y de coeficiente constante.
Si solo\(A\) tiene un único vector propio linealmente independiente\(v\), entonces la Ecuación\ ref {10.13} se puede resolver para\(w\) (de lo contrario, no puede). Usando\(A, \lambda\) y\(v\) de nuestro ejemplo actual, la Ecuación\ ref {10.13} es el sistema de ecuaciones dado por
\[\left(\begin{array}{rr} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} w_{1} \\ w_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right) \nonumber \]
La primera y la segunda ecuación son las mismas, así que eso\(w_{2}=-\left(w_{1}+1\right)\). Por lo tanto,
\[\begin{aligned} w &=\left(\begin{array}{c} w_{1} \\ -\left(w_{1}+1\right) \end{array}\right) \\ &=w_{1}\left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{r} 0 \\ -1 \end{array}\right) \end{aligned} \nonumber \]
Observe que el primer término repite la primera solución encontrada, es decir, una constante multiplicada por el vector propio, y el segundo término es nuevo. Por lo tanto, tomamos\(w_{1}=0\) y obtenemos
\[\mathrm{w}=\left(\begin{array}{r} 0 \\ -1 \end{array}\right) \nonumber \]
como antes.
El retrato de fase para esta oda se muestra en la Fig. 10.3. La línea oscura es el único vector propio\(\mathbf{v}\) de la matriz\(\mathbf{A}\). Cuando solo hay un único vector propio, el origen se denomina nodo incorrecto.