1: Primeros pasos - El lenguaje de las ODEs
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Este es un curso sobre ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs). Entonces comenzamos definiendo a qué nos referimos con este término.
Definición 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
Una ecuación diferencial ordinaria (ODE) es una ecuación para una función de una variable que involucra (''ordinaria') derivadas de la función (y, posiblemente, funciones conocidas de la misma variable).
Damos varios ejemplos a continuación.
- \(\frac{d^{2}x}{dt^2}+\omega^{2}x = 0\)
- \(\frac{d^{2}x}{dt^2}-\alpha x\frac{dx}{dt}-x+x^3 = \sin(\omega t)\)
- \(\frac{d^{2}x}{dt^2}- \mu(1-x^2)\frac{dx}{dt}+x = 0\)
- \(\frac{d^{3}f}{d\eta^3} +f\frac{d^{2}f}{d\eta^2}+ \beta(1-(\frac{d^{2}f}{d\eta^2})^2) = 0\)
- \(\frac{d^{4}y}{dx^4}+x^2\frac{d^{2}y}{dx^2}+x^5 = 0\)
Las ODE se pueden escribir sucintamente adoptando una notación más compacta para las derivadas. Reescribimos los ejemplos anteriores con esta notación taquigráfica.
- \(\ddot{x}+ \omega^{2}x = 0\)
- \(\ddot{x}-\alpha x\dot{x}-x+x^3 = \sin(\omega t)\)
- \(\ddot{x}-\mu(1-x^2)\dot{x}+x = 0\)
- \(f'''+ff''+\beta(1-(f'')^2) = 0\)
- \(y''''+x^{2}y''+x^5 = 0\)
Caracterización de las ODEs
Ahora que hemos definido la noción de una ODE, necesitaremos desarrollar algunos conceptos adicionales para describir más profundamente la estructura de las ODE. Las nociones de “estructura” son importantes ya que veremos que juegan un papel clave en cómo entendemos la naturaleza del comportamiento de las soluciones de las ODE.
DEFINICIÓN 2: VARIABLE
El valor de la función, por ejemplo, por ejemplo 1,\(x(t)\).
DEFINICIÓN 3: VARIABLE
El argumento de la función, por ejemplo, por ejemplo 1, t.
Resumimos una lista de las variables dependientes e independientes en los cinco ejemplos de ODE dados anteriormente.
| Ejemplo | Variable dependiente | Variable independiente |
|---|---|---|
| 1 | \(x\) | \(t\) |
| 2 | \(x\) | \(t\) |
| 3 | \(x\) | \(t\) |
| 4 | \(f\) | \(\eta\) |
| 5 | \(y\) | \(x\) |
La noción de “orden” es una característica importante de las ODE.
DEFINICIÓN 4: ORDEN DE UNA OD
El número asociado con la mayor derivada de la variable dependiente en la ODE.
Damos el orden de cada una de las ODE en los cinco ejemplos anteriores.
| Ejemplo | Orden |
|---|---|
| 1 | Segunda Orden |
| 2 | Segunda Orden |
| 3 | Segunda Orden |
| 4 | Tercer Orden |
| 5 | Cuarta Orden |
Distinguir entre las variables independientes y dependientes permite definir la noción de ODE autónomas y no autónomas.
DEFINICIÓN 5: AUTÓNOMO Y
Se dice que una ODE es autónoma si ninguno de los coeficientes (es decir, funciones) que multiplican la variable dependiente, o cualquiera de sus derivadas, dependen explícitamente de la variable independiente, y también si ningún término que no dependa de la variable dependiente o cualquiera de sus derivadas depende explícitamente de la independiente variable. De lo contrario, se dice que es no autónomo.
O, más sucintamente, una ODE es autónoma si la variable independiente no aparece explícitamente en la ecuación. De lo contrario, es no autónomo. Aplicamos esta definición a los cinco ejemplos anteriores, y resumimos los resultados en la siguiente tabla.
| Ejemplo | Orden |
|---|---|
| 1 | autónomo |
| 2 | no autónomo |
| 3 | autónomo |
| 4 | autónomo |
| 5 | no autónomo |
Todas las ODEs escalares, es decir, el valor de la variable dependiente es un escalar, se pueden escribir como ecuaciones de primer orden donde la nueva variable dependiente es un vector que tiene la misma dimensión que el orden de la ODE. Esto se hace construyendo un vector cuyos componentes consisten en la variable dependiente y todas sus derivadas por debajo del orden más alto. Este vector es la nueva variable dependiente. Esto lo ilustramos para los cinco ejemplos anteriores.
- \(\dot{x} = v\),
\(\dot{v} = -w^{2}x, (x, v) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\).
- \(\dot{x} = v\),
\(\dot{v} = \alpha xv+x-x^3+sin(\omega t), (x, v) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\).
- \(\dot{x} = v\),
\(\dot{v} = \mu(1-x^2)v-x, (x, v) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\).
- f' = v,
f” = u,
\(f''' = -ff''-\beta(1-(f'')^2)\)
o
f' = v,
v' = f” = u,
\(u' = f''' = -fu-\beta(1-u^2)\)
o
\(\begin{pmatrix} {f'}\\ {v'}\\ {u'} \end{pmatrix}\)=\(\begin{pmatrix} {v}\\ {u}\\ {-fu-\beta(1-u^2)} \end{pmatrix}\),\((f, v, u) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}\)
- y' = w,
y” = v,
y"' = u,
\(y'''' = -x^{2}y''-x^5\)o
y' = w,
w' = y” = v,
v' = y"' = u,
\(u' = y'''' = -x^{2}v-x^5\)o
\(\begin{pmatrix} {y'}\\ {w'}\\ {v'}\\ {u'} \end{pmatrix}\)=\(\begin{pmatrix} {w}\\ {v}\\ {u}\\ {-x^{2}v-x^5} \end{pmatrix}\),\((y, w, v, u) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}\)
Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, la forma general de la ODE que estudiaremos puede expresarse como un vector de primer orden ODE:
\[\dot{x} = f(x), x(t_{0}) \equiv x_{0}, x \in \mathbb{R}^{n}, autonomous, \label{1.1}\]
\[\dot{x} = f (x, t), x(t_{0}) \equiv x_{0}, x \in \mathbb{R}^{n}, nonautonomous, \label{1.2}\]
donde\(x(t_{0}) \equiv x_{0}\), se denomina condición inicial.
Esta forma vectorial de primer orden de las ODEs nos permite discutir muchas propiedades de las ODEs de una manera que es independiente del orden de la ODE. También se presta a una descripción geométrica natural de las soluciones de ODEs que veremos en breve.
Una característica clave de las ODE es si son o no lineales o no lineales.
Definición: ODAS LINEALES Y NO LINEALES
Se dice que una ODE es lineal si es una función lineal de la variable dependiente. Si no es lineal, se dice que es no lineal.
Tenga en cuenta que la variable independiente no juega un papel en si la ODE es lineal o no lineal.
| Ejemplo | Orden |
|---|---|
| 1 | lineal |
| 2 | no lineal |
| 3 | no lineal |
| 4 | no lineal |
| 5 | lineal |
Cuando se escribe como una ecuación vectorial de primer orden, el espacio (vector) de variables dependientes se conoce como el espacio de fase de la ODE. La ODE tiene entonces la interpretación geométrica como un campo vectorial sobre el espacio de fase. La estructura del espacio de fase, por ejemplo su dimensión y geometría, puede tener una influencia significativa en la naturaleza de las soluciones de ODE. Encontraremos ODEs definidos en diferentes tipos de espacio de fase, y de diferentes dimensiones. Algunos ejemplos se dan en las siguientes listas.
1-dimensión
- \(\mathbb{R}\)—la línea real,
- \(\mathbb{I} \in \mathbb{R}\)—un intervalo en la línea real,
- \(S^{1}\)—el círculo.
''Resolver” ODEs autónomas unidimensionales. Formalmente (explicaremos lo que eso significa en breve) se puede obtener por integración una expresión para la solución de una ODE autónoma unidimensional. Te explicamos cómo se hace esto, y qué significa. Dejar\(\mathbb{P}\) denotar uno de los espacios de fase unidimensionales descritos anteriormente. Consideramos el campo vectorial autónomo definido en P de la siguiente manera:
\[\dot{x} = \frac{dx}{dt} = f(x) , x(t_{0}) = x_{0}, x \in P \label{1.3}\]
Este es un ejemplo de una ODE separable unidimensional que se puede escribir de la siguiente manera:
\[\int_{x(t_{0})}^{x(t)} \frac{dx'}{f(x')} = \int_{t_{0}}^{t} dt' = t-t_{0}. \label{1.4}\]
Si podemos calcular la integral en el lado izquierdo de (1.4), entonces puede ser posible resolver para x (t). No obstante, sabemos que no todas las funciones se\(\frac{1}{f(x)}\) pueden integrar. Esto es lo que queremos decir con que podemos resolver ''formalmente” para la solución para este ejemplo. Es posible que no podamos representar la solución en una forma que sea útil.
Los espacios de fase de dimensiones superiores que consideraremos se construirán como productos cartesianos de estos tres espacios de fase unidimensionales básicos.
2 -dimensiones
- \(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\)—el avión,
- \(\mathbb{T}^2 = \mathbb{S} \times \mathbb{S}\)—los dos toro,
- \(\mathbb{C} = \mathbb{I} \times \mathbb{S}\)— el cilindro (finito),
- \(\mathbb{C} = \mathbb{R} \times \mathbb{S}\)—el cilindro (infinito).
En muchas aplicaciones de ODEs la variable independiente tiene la interpretación del tiempo, razón por la cual la variable t se usa a menudo para denotar la variable independiente. La dinámica es el estudio de cómo cambian los sistemas en el tiempo. Cuando se escribe como un sistema de primer orden, las ODE a menudo se denominan sistemas dinámicos, y se dice que las ODE generan campos vectoriales en el espacio de fase. Por esta razón las frases ODE y campo vectorial\(t\) terminan para ser utilizadas como sinónimos.
Existencia de Soluciones
Varias preguntas naturales surgen al analizar una ODE. “¿La ODE tiene una solución?” “¿Las soluciones son únicas?” (¿Y qué significa “único”?) La forma estándar de tratar esto en un curso de ODE es “probar un gran teorema” sobre la existencia y la singularidad. Más bien, que hacer eso (puedes encontrar la prueba en cientos de libros, así como en muchos sitios en internet), consideraremos algunos ejemplos que ilustran los principales temas relacionados con lo que significan estas preguntas, y luego describiremos las condiciones suficientes para que una ODA tenga una solución única (y luego considerar lo que significa “singularidad”).
Primero, ¿las ODE tienen soluciones? No necesariamente, como muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): An example of an ODE that has no solutions
Considere la siguiente ODE definida en\(\mathbb{R}\):
\[\dot{x}^2+x^2+t^2 = -1, x \in \mathbb{R}. \nonumber\]
Esta ODE no tiene soluciones ya que el lado izquierdo no es negativo y el lado derecho es estrictamente negativo.
Entonces puedes hacer la pregunta: “si la ODE tiene soluciones, ¿son únicas?” Nuevamente, la respuesta es “no necesariamente”, como muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): An example illustrating the meaning of uniqueness
\[\dot{x} = ax , x \in \mathbb{R}^n, \nonumber\]
donde a es una constante arbitraria. La solución viene dada por
\[x(t) = ce^{at}. \label{1.6}\]
Entonces vemos que hay un número infinito de soluciones, dependiendo de la elección de la constante\(c\). Entonces, ¿qué podría significar la singularidad de las soluciones? Si evaluamos la solución en la Ecuación\ ref {1.6} en\(t = 0\) vemos que
\[x(0) = c \nonumber\]
Sustituyendo esto en la solución en la Ecuación\ ref {1.6}, la solución tiene la forma:
\[x(t) = x(0)e^{at}. \label{1.8}\]
A partir de la forma de Ecuación\ ref {1.8} podemos ver exactamente lo que significa “singularidad de soluciones”. Para una condición inicial dada, existe exactamente una solución de la ODE que satisface esa condición inicial.
Ejemplo\(\PageIndex{8}\)
Un ejemplo de una ODE con soluciones no únicas. Considere la siguiente ODE definida en R:
\[\dot{x} = 3x^{\frac{2}{3}}, x(0) = 0, x \in \mathbb{R}. \nonumber\]
Es fácil ver que una solución satisfactoria\(x(0) = 0\) es\(x = 0\). Sin embargo, se puede verificar directamente sustituyendo en la ecuación que la siguiente es también una solución satisfactoria\(x(0) = 0\):
\[x(t) = \left\{\begin{array}{ll}{0,} & {t \le a} \\ {(t-a)^3,} & {t>a} \end{array}\right\} \nonumber\]
para cualquier\(a > 0\). De ahí que en este ejemplo, haya un número infinito de soluciones que satisfacen la misma condición inicial. Este ejemplo ilustra precisamente lo que entendemos por singularidad. Dada una condición inicial, solo una solución (''unicidad”) satisface la condición inicial en el momento inicial elegido.
Hay otra pregunta que surge. Si tenemos una solución única ¿existe para siempre? No necesariamente, como muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{9}\): An example of an ODE with unique solutions that exists only for a finite time
Considere la siguiente ODE sobre\(\mathbb{R}\):
\[\dot{x} = x^2, x(0) = x_{0}, x \in \mathbb{R} \nonumber \]
Podemos integrar fácilmente esta ecuación (es separable) para obtener la siguiente solución satisfaciendo la condición inicial:
\[x(t) = \frac{x_{0}}{1-x_{0}t}. \nonumber\]
La solución se vuelve infinita, o “no existe” o “explota” en\(t\). Esto\(x_{0}\) es lo que significa “no existe”. Entonces la solución sólo existe por un tiempo finito, y este “tiempo de existencia” depende de la condición inicial.
Singularidad de las soluciones
Estos tres ejemplos contienen la esencia de los “temas de existencia” para las ODE que nos ocuparán. Son los “ejemplos estándar” que se pueden encontrar en muchos libros de texto. Ahora vamos a exponer el teorema estándar de “existencia y singularidad” para las ODEs. La declaración es un ejemplo del poder y flexibilidad de expresar una ODE general como una ecuación vectorial de primer orden. La sentencia es válida para cualquier dimensión (finita).
Consideramos el campo vectorial general en\(\mathbb{R}^n\)
\[\dot{x} = f(x,t), x(t_{0}) = x_{0}, x \in \mathbb{R}. \label{1.13}\]
Es importante tener en cuenta que para el resultado general vamos a exponer no importa si la ODE es autónoma o no autónoma.
Definimos el dominio del campo vectorial. Dejar\(\mathbb{U} \rightarrow \mathbb{R}^n\) ser un conjunto abierto y dejar\(\mathbb{I} \rightarrow \mathbb{R}\) ser un intervalo. Entonces expresamos que el campo vectorial n-dimensional se define en este dominio de la siguiente manera:
\(f: \mathbb{U} \rightarrow \mathbb{R}^n\),
\((x, t) \rightarrow f(x, t)\)
Necesitamos una definición para describir la “regularidad” del campo vectorial.
DEFINICIÓN 7:\(C^R\) FUNCTION
Decimos que f (x, t) está\(C^r\) encendido\(\mathbb{U} \times \mathbb{I} \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}\) si es diferenciable\(r\) por tiempos y cada derivada es una función continua (en el mismo dominio). Si r = 0, simplemente se dice que f (x, t) es continuo.
Ahora podemos exponer condiciones suficientes para que (1.13) tenga una solución única. Suponemos que f (x, t) es\(C^r\),\(r \ge 1\). Elegimos cualquier punto\((x_{0}, t_{0})\)\(\in \mathbb{U} \times \mathbb{I}\). Entonces existe una solución única de (1.13) satisfacer esta condición inicial. Denotamos esta solución por\(x(t, t_{0}, x_{0})\), y reflejamos en la notación que satisface la condición inicial por\(x(t_{0}, t_{0}, x_{0}) = x_{0}\). Esta solución única existe por un intervalo de tiempo centrado en el tiempo inicial t0, denotado por\((t_{0}-\epsilon, t_{0}+\epsilon)\), para algunos\(\epsilon > 0\). Además, esta solución,\(x(t, t_{0}, x_{0})\), es una\(C^r\) función de t,\(t_{0}\),\(x_{0}\). Tenga en cuenta que a partir del Ejemplo 9\(\epsilon\) puede depender de\(x_{0}\). Esto también explica cómo una solución ''falla en existir” —se vuelve sin límites (''explotar') en un tiempo finito.
Finalmente, remarcamos que la existencia y singularidad de las ODE es la manifestación matemática del determinismo. Si se especifica la condición inicial (con 100% de precisión), entonces el pasado y el futuro se determinan de manera única. La frase clave aquí es "100% de precisión”. Los números no se pueden especificar con una precisión del 100%. Siempre habrá alguna imprecisión en la especificación de la condición inicial. Los sistemas dinámicos caóticos son sistemas dinámicos deterministas que tienen la propiedad de que las imprecisiones en las condiciones iniciales pueden ser magnificadas por la evolución dinámica, lo que lleva a un comportamiento aparentemente aleatorio (aunque el sistema sea completamente determinista).