1.4: Ecuaciones lineales y el factor integrador

Uno de los tipos de ecuaciones más importantes que aprenderemos a resolver son las llamadas ecuaciones lineales. De hecho, la mayor parte del curso trata sobre ecuaciones lineales. En esta conferencia nos centramos en la ecuación lineal de primer orden. Una ecuación de primer orden es lineal si podemos ponerla en la forma:

\[\label{eq:1}y' + p(x)y = f(x). \]

Aquí la palabra “lineal” significa lineal en\(y\) y\(y'\); no hay poderes superiores ni funciones de\(y\) ni\(y'\) aparecen. La dependencia de\(x\) puede ser más complicada.

Las soluciones de ecuaciones lineales tienen buenas propiedades. Por ejemplo, la solución existe donde quiera\(p(x)\) y\(f(x)\) se definan, y tiene la misma regularidad (léase: es igual de agradable). Pero lo más importante para nosotros en este momento, existe un método para resolver ecuaciones lineales de primer orden. El truco es reescribir el lado izquierdo de\(\eqref{eq:1}\) como derivado de un producto de\(y\) con otra función. Para ello encontramos una función\(r(x)\) tal que

\[r(x)y' + r(x)p(x)y = \frac{d}{dx}\left[r(x)y\right] \nonumber \]

Este es el lado izquierdo de\(\eqref{eq:1}\) multiplicado por\(r(x)\). Entonces, si multiplicamos\(\eqref{eq:1}\) por\(r(x)\), obtenemos

\[\frac{d}{dx}\left[r(x)y\right] = r(x)f(x) \nonumber \]

Ahora integramos ambos lados. El lado derecho no depende de\(y\) y el lado izquierdo se escribe como una derivada de una función. Después, resolvemos para\(y\). La función\(r(x)\) se llama factor de integración y el método se llama método de factor de integración.

Estamos buscando una función\(r(x)\), tal que si la diferenciamos, volvamos a obtener la misma función multiplicada por\(p(x)\). ¡Eso parece un trabajo para la función exponencial! Let

\[r(x) = e^{\int p(x)dx} \nonumber \]

Calculamos:

\[\begin{align}\begin{aligned} y' + p(x)y &= f(x), \\ e^{\int p(x)dx}y' + e^{\int p(x)dx}p(x)y &= e^{\int p(x)dx}f(x), \\ \frac{d}{dx}\left[e^{\int p(x)dx}y\right] &= e^{\int p(x)dx}f(x), \\ e^{\int p(x)dx}y &= \int e^{\int p(x)dx}f(x)dx + C, \\ y &= e^{-\int p(x)dx}\left( \int e^{\int p(x)dx}f(x)dx + C \right).\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Por supuesto, para obtener una fórmula de forma cerrada para\(y\), necesitamos poder encontrar una fórmula de forma cerrada para las integrales que aparecen arriba.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resolver

\[y' + 2xy = e^{x-x^2}, \quad y(0) = -1 \nonumber \]

Solución

Primero tenga en cuenta que\(p(x) = 2x\) y\(f(x) = e^{x-x^2}\). El factor integrador es\(r(x) = e^{\int p(x)dx} = e^{x^2}\). Multiplicamos ambos lados de la ecuación por\(r(x)\) para obtener

\[\begin{align}\begin{aligned} e^{x^2}y' + 2xe^{x^2}y &= e^{x-x^2}e^{x^2}, \\ \frac{d}{dx}\left [ e^{x^2}y\right] &= e^{x}.\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Integramos\[\begin{align} \begin{aligned} e^{x^2} y &= e^x +C , \\ y &= e^{x-x^2} + C e^{-x^2} .\end{aligned}\end{align} \nonumber \] Next, resolvemos para la condición inicial\(-1 = y(0) = 1 + C\), entonces\(C=-2\). La solución es\[y = e^{x-x^2} - 2 e^{-x^2} . \nonumber \]

Tenga en cuenta que no nos importa qué antiderivado tomamos a la hora de computar\(e^{\int p(x) dx}\). Siempre se puede agregar una constante de integración, pero esas constantes no importarán al final.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¡Pruébalo! Agrega una constante de integración a la integral en el factor integrador y demuestra que la solución que obtienes al final es la misma que la que obtuvimos anteriormente. Un consejo: No trates de recordar la fórmula en sí, eso es demasiado difícil. Es más fácil recordar el proceso y repetirlo.

Dado que no siempre podemos evaluar las integrales en forma cerrada, es útil saber cómo escribir la solución en forma integral definida. Una integral definitiva es algo que puedes conectar a una computadora o a una calculadora. Supongamos que nos dan\[y' + p(x)y = f(x), \quad y(x_0) = y_0 \nonumber \]. Mira la solución y escribe las integrales como integrales definitivas. \[ \label{eq:17}y(x) = e^{\int-_{x_0}^x p(s)ds} \left(\int_{x_0}^x e^{\int_{x_0}^t p(s)ds} f(t) dt + y_0 \right) \]Debes tener cuidado de usar correctamente las variables ficticias aquí. Si ahora enchufa una fórmula de este tipo a una computadora o a una calculadora, estará encantado de darle respuestas numéricas.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Compruébalo\(y(x_0) = y_0\) en fórmula\(\eqref{eq:17}\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Escribe la solución del siguiente problema como una integral definitiva, pero trata de simplificar en la medida de lo posible. No podrás encontrar la solución en forma cerrada.

\[y' + y = e^{x^2-x}, \quad y(0) = 10 \nonumber \]

Nota

Antes de seguir adelante, debemos tener en cuenta algunas propiedades interesantes de las ecuaciones lineales. Primero, para el problema del valor inicial lineal\(y' + p(x) y = f(x)\)\(y(x_0) = y_0\),, siempre hay una fórmula explícita\(\eqref{eq:17}\) para la solución. Segundo, se deduce de la fórmula\(\eqref{eq:17}\) que si\(p(x)\) y\(f(x)\) son continuos en algún intervalo\((a,b)\), entonces la solución\(y(x)\) existe y es diferenciable en\((a,b)\). Comparar con el ejemplo no lineal simple que hemos visto anteriormente,\(y'=y^2\), y comparar con el Teorema 1.2.1.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Discutamos una simple aplicación común de ecuaciones lineales. Este tipo de problema se usa a menudo en la vida real. Por ejemplo, las ecuaciones lineales se utilizan para determinar la concentración de químicos en cuerpos de agua (ríos y lagos).

Figura\(\PageIndex{1}\)

Un tanque de\(100\) litro contiene\(10\) kilogramos de sal disueltos en\(60\) litros de agua. Solución de agua y sal (salmuera) con concentración de\(0.1\) kilogramos por litro fluye a razón de\(5\) litros por minuto. La solución en el tanque está bien agitada y fluye hacia fuera a razón de\(3\) litros por minuto. ¿Cuánta sal hay en el tanque cuando el tanque está lleno?

Solución

Vamos a llegar a la ecuación. Dejar\(x\) denotar los kilogramos de sal en el tanque, dejar\(t\) denotar el tiempo en minutos. Para un pequeño cambio\( \Delta t\) en el tiempo, el cambio en\(x\) (denotado\( \Delta x\)) es aproximadamente

\[ \Delta x \approx \text{(rate in x concentration in)}\Delta t - \text{(rate out x concentration out)}\Delta t. \nonumber \]

Dividiendo por\(\Delta t\) y tomando el límite\(\Delta t \rightarrow 0\) vemos que

\[\frac{dx}{dt} = \text{(rate in x concentration in)} - \text{(rate out x concentration out)} \nonumber \]

En nuestro ejemplo, tenemos

\[\begin{align}\begin{aligned} \text{rate in} &= 5, \\ \text{concentration in} &= 0.1, \\ \text{rate out} &= 3, \\ \text{concentration out} &= \frac{x}{\text{volume}} = \frac{x}{60 + (5 - 3)t} .\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Nuestra ecuación es, por lo tanto,

\[\frac{dx}{dt} = \text{(5 x 0.1)} - \left ( 3 \frac{x}{60 + 2t} \right) \nonumber \]

O en la forma\(\eqref{eq:1}\)

\[\frac{dx}{dt} + \frac{3}{60 + 2t}x = 0.5 \nonumber \]

Vamos a resolver. El factor integrador es

\[r(t) = \text{exp} \left ( \int \frac{3}{60 + 2t} dt \right ) = \text{exp} \left ( \frac{3}{2} \ln (60 + 2t) \right ) = {(60 + 2t)}^{3/2} \nonumber \]

Multiplicamos ambos lados de la ecuación para obtener

\[\begin{align}\begin{aligned} (60 + 2t)^{3/2} \frac{dx}{dt} + (60 + 2t)^{3/2} \frac{3}{60 + 2t}x &= 0.5(60 + 2t)^{3/2}, \\ \frac{d}{dt} \left [ (60 +2t)^{3/2}x \right ] &= 0.5(60 + 2t)^{3/2}, \\ (60 + 2t)^{3/2} x&= \int 0.5(60 + 2t)^{3/2}dt + C, \\ x &= (60 + 2t)^{-3/2} \int \frac {(60 + 2t)^{3/2}}{2}dt + C(60 + 2t)^{-3/2} , \\ x &= (60 + 2t)^{-3/2} \frac{1}{10} (60 + 2t)^{5/2} + C(60 + 2t)^{-3/2}, \\ x &= \frac {(60 + 2t)}{10} + C(60 + 2t)^{-3/2}.\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Tenemos que encontrar\(C\). Lo sabemos en\(t = 0\),\(x = 10\). Entonces

\[10 = x(0) = \frac {60}{10} + C{(60)}^{-3/2} = 6 + C{(60)}^{-3/2} \nonumber \]

o

\[C = 4({60}^{3/2}) \approx 1859.03. \nonumber \]

Nos interesa\(x\) cuando el tanque está lleno. Por lo que notamos que el tanque está lleno cuando\(60 + 2t = 100\), o cuando\(t = 20\). Entonces

\[\begin{align}\begin{aligned} x(20) &= \frac{60 + 40}{10} + C{(60 + 40)}^{-3/2}\\ & \approx 10 + 1859.03{(100)}^{-3/2} \approx 11.86.\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Ver Figura\(\PageIndex{2}\) para la gráfica de\(x\) más\(t\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Gráfica de la solución\(x\) kilogramos de sal en el tanque a la vez\(t\).

La concentración al final es de aproximadamente\(0.1186\) ^kg/_litro y empezamos con\(\frac{1}{6}\) o\(0.167\) ^kg/_litro.