4.5: Aplicaciones de la Serie de Fourier

Oscilación forzada periódicamente

Volvamos a las oscilaciones forzadas. Considere un sistema masa-resorte como antes, donde tenemos una masa\(m\) en un resorte con constante de resorte\(k\), con amortiguación\(c\), y una fuerza\(F(t)\) aplicada a la masa. Supongamos que la función de forzamiento\(F(t)\) es\(2L\) -periódica para algunos\(L>0\). Ya hemos visto este problema en el capítulo 2 con un sencillo\(F(t)\).

Figura\(\PageIndex{1}\)

La ecuación que rige esta configuración en particular es

\[\label{eq:1} mx''(t)+cx'(t)+kx(t)=F(t). \]

La solución general\(\eqref{eq:1}\) consiste en la solución complementaria\(x_c\), que resuelve la ecuación homogénea asociada\( mx''+cx'+kx=0\), y una solución particular de Ecuación\(\eqref{eq:1}\) que llamamos\(x_p\). Porque\(c>0\), la solución complementaria\(x_c\) decaerá a medida que pase el tiempo. Por lo tanto, nos interesa mayormente una solución particular\(x_p\) que no decae y es periódica con el mismo periodo que\(F(t)\). Llamamos a esta solución particular la solución periódica constante y la escribimos\(x_{sp}\) como antes. Lo nuevo en esta sección es que consideramos una función de forzamiento arbitrario\(F(t)\) en lugar de un simple coseno.

Por simplicidad, supongamos eso\(c=0\). El problema con\(c>0\) es muy similar. La ecuación

\[ mx''+kx=0 \nonumber \]

tiene la solución general

\[ x(t)= A \cos(\omega_0 t)+ B \sin(\omega_0 t), \nonumber \]

donde\( \omega_0= \sqrt{\dfrac{k}{m}}\). Cualquier solución a\(mx''(t)+kx(t)=F(t)\) es de la forma\(A \cos(\omega_0 t)+ B \sin(\omega_0 t)+x_{sp}\). La solución periódica constante\(x_{sp}\) tiene el mismo periodo que\(F(t)\).

En el espíritu de la última sección y la idea de coeficientes indeterminados escribimos primero

\[ F(t)= \dfrac{c_0}{2}+ \sum^{\infty}_{n=1} c_n \cos \left(\dfrac{n \pi}{L}t \right)+ d_n \sin \left(\dfrac{n \pi}{L}t \right). \nonumber \]

Luego escribimos una propuesta de solución periódica constante\(x\) como

\[ x(t)= \dfrac{a_0}{2}+ \sum^{\infty}_{n=1} a_n \cos \left(\dfrac{n \pi}{L}t \right)+ b_n \sin \left(\dfrac{n \pi}{L}t \right), \nonumber \]

donde\(a_n\) y\(b_n\) son incógnitas. Nos conectamos\(x\) a la ecuación diferencial y resolvemos para\(a_n\) y\(b_n\) en términos de\(c_n\) y\(d_n\). Tal vez este proceso se entienda mejor con el ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\( k=2\), y\( m=1\). Las unidades son nuevamente las unidades mks (metros-kilogramos-segundos). Hay un jetpack amarrado a la masa, que dispara con una fuerza de 1 newton por 1 segundo y luego se apaga por 1 segundo, y así sucesivamente. Queremos encontrar la solución periódica constante.

Solución

La ecuación es, por lo tanto,

\[x''+2x=F(t), \nonumber \]

donde\(F(t)\) esta la función de paso

\[F(t)= \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & {\rm{if}} & -1<t<0, \\ 1 & {\rm{if}} & 0<t<1, \end{array} \right. \nonumber \]

extendido periódicamente. Escribimos

\[ F(t)= \dfrac{c_0}{2}+ \sum^{\infty}_{n=1} c_n \cos(n \pi t)+ d_n \sin(n \pi t). \nonumber \]

Nosotros computamos

\[\begin{align}\begin{aligned} c_n &= \int^1_{-1} F(t) \cos(n \pi t)dt= \int^1_{0} \cos(n \pi t)dt= 0 ~~~~~ {\rm{for}}~ n \geq 1, \\ c_0 &= \int^1_{-1} F(t) dt= \int^1_{0} dt=1, \\ d_n &= \int^1_{-1} F(t) \sin(n \pi t)dt \\ &= \int^1_{0} \sin(n \pi t)dt \\ &= \left[ \dfrac{- \cos(n \pi t)}{n \pi}\right]^1_{t=0} \\ &= \dfrac{1-(-1)^n}{\pi n}= \left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{2}{\pi n} & {\rm{if~}} n {\rm{~odd}}, \\ 0 & {\rm{if~}} n {\rm{~even}}. \end{array} \right.\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Entonces

\[ F(t)= \dfrac{1}{2}+ \sum^{\infty}_{ \underset{n ~\rm{odd}}{n=1} }\dfrac{2}{\pi n} \sin(n \pi t). \nonumber \]

Queremos probar

\[ x(t)= \dfrac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n \pi t)+ b_n \sin(n \pi t). \nonumber \]

Una vez que nos conectamos a la ecuación diferencial\( x'' + 2x = F(t)\), es claro que\(a_n=0\) para\(n \geq 1\) como no hay términos correspondientes en la serie para\(F(t)\). Del mismo modo\(b_n=0\) para\(n\) par. De ahí que intentemos

\[ x(t)= \dfrac{a_0}{2}+ \sum_{\underset{n ~\rm{odd}}{n=1}}^{\infty} b_n \sin(n \pi t). \nonumber \]

Nos conectamos a la ecuación diferencial y obtenemos

\[\begin{align}\begin{aligned} x''+2x &= \sum_{\underset{n ~\rm{odd}}{n=1}}^{\infty} \left[ -b_n n^2 \pi^2 \sin(n \pi t) \right] +a_0+2 \sum_{\underset{n ~\rm{odd}}{n=1}}^{\infty} \left[ b_n \sin(n \pi t) \right] \\ &= a_0+ \sum_{\underset{n ~\rm{odd}}{n=1}}^{\infty} b_n(2-n^2 \pi^2) \sin(n \pi t) \\ &= F(t)= \dfrac{1}{2}+ \sum_{\underset{n ~\rm{odd}}{n=1}}^{\infty} \dfrac{2}{\pi n} \sin(n \pi t).\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Entonces\(a_0= \dfrac{1}{2}\),\(b_n= 0\) para par\(n\), y para impar\(n\) obtenemos

\[ b_n= \dfrac{2}{\pi n(2-n^2 \pi^2)}. \nonumber \]

La solución periódica constante tiene la serie de Fourier

\[ x_{sp}(t)= \dfrac{1}{4}+ \sum_{\underset{n ~\rm{odd}}{n=1}}^{\infty} \dfrac{2}{\pi n(2-n^2 \pi^2)} \sin(n \pi t). \nonumber \]

Sabemos que esta es la solución periódica constante ya que no contiene términos de la solución complementaria y es periódica con el mismo periodo que\(F(t)\) él mismo. Ver Figura\(\PageIndex{1}\) para la gráfica de esta solución.

Figura\(\PageIndex{1}\): Gráfica de la solución periódica estable\(x_{sp}\) del Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

Resonancia

Al igual que cuando la función de forzamiento era un simple coseno, la resonancia aún podía suceder. Supongamos\(c=0\) y discutiremos sólo pura resonancia. De nuevo, toma la ecuación

\[ mx''(t)+kx(t)=F(t). \nonumber \]

Cuando nos expandimos\(F(t)\) y encontramos que algunos de sus términos coinciden con la solución complementaria a\( mx''+kx=0\), no podemos usar esos términos en la suposición. Al igual que antes, desaparecerán cuando nos conectemos al lado izquierdo y obtendremos una ecuación contradictoria (como\(0=1\)). Es decir, supongamos

\[ x_c=A \cos(\omega_0 t)+B \sin(\omega_0 t), \nonumber \]

donde\( \omega_0= \dfrac{N \pi}{L}\) para algún entero positivo\(N\). En este caso tenemos que modificar nuestra conjetura e intentar

\[ x(t)= \dfrac{a_0}{2}+t \left( a_N \cos \left( \dfrac{N \pi}{L}t \right)+ b_N \sin \left( \dfrac{N \pi}{L}t \right) \right) + \sum_{\underset{n \neq N}{n=1}}^{\infty} a_n \cos \left( \dfrac{n \pi}{L}t \right)+ b_n \sin \left( \dfrac{n \pi}{L}t \right). \nonumber \]

En otras palabras, multiplicamos el término infractor por\(t\). A partir de entonces, procedemos como antes.

Por supuesto, la solución no será una serie de Fourier (ni siquiera será periódica) ya que contiene estos términos multiplicados por\(t\). Además, los términos eventualmente\( t \left( a_N \cos \left( \dfrac{N \pi}{L}t \right)+ b_N \sin \left( \dfrac{N \pi}{L}t \right) \right) \) dominarán y conducirán a oscilaciones salvajes. Como antes, este comportamiento se llama resonancia pura o simplemente resonancia.

Tenga en cuenta que ahora puede haber infinitamente muchas frecuencias de resonancia para golpear. Es decir, a medida que cambiamos la frecuencia de\(F\) (cambiamos\(L\)), diferentes términos de la serie de Fourier de\(F\) pueden interferir con la solución complementaria y causarán resonancia. No obstante, hay que señalar que como todo es una aproximación y en particular nunca\(c\) es realmente cero sino algo muy cercano a cero, sólo las primeras frecuencias de resonancia van a importar.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentre la solución periódica constante a la ecuación

\[\label{eq:19} 2x''+18 \pi^2 x=F(t), \]

donde

\[F(t)= \left\{ \begin{array}{ccc} -1 & {\rm{if}} & -1<t<0, \\ 1 & {\rm{if}} & 0<t<1, \end{array} \right. \nonumber \]

extendido periódicamente. Observamos que

\[ F(t)= \sum^{\infty}_{ \underset{n ~\rm{odd}}{n=1} } \dfrac{4}{\pi n} \sin(n \pi t). \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Calcula la serie de Fourier\(F\) para verificar la ecuación anterior.

Como\(\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{18\pi ^{2}}{2}}=3\pi\), la solución\(\eqref{eq:19}\) es

\[ x(t)= c_1 \cos(3 \pi t)+ c_2 \sin(3 \pi t)+x_p(t) \nonumber \]

para alguna solución particular\(x_p\).

Si solo intentamos un\(x_{p}\) dado como una serie de Fourier con\(\sin (n\pi t)\) como de costumbre, la ecuación complementaria,\(2x''+18\pi^{2}x=0\), se come nuestro\(3^{\text{rd}}\) armónico. Es decir, el término con ya\(\sin (3\pi t)\) está en nuestra solución complementaria. Por lo tanto, sacamos ese término y lo multiplicamos por\(t\). También agregamos un término coseno para que todo esté bien. Es decir, intentamos

\[ x_p(t)= a_3 t \cos(3 \pi t) + b_3 t \sin(3 \pi t) + \sum^{\infty}_{ \underset{\underset{n \neq 3}{n ~\rm{odd}}}{n=1} } b_n \sin(n \pi t). \nonumber \]

Calculemos la segunda derivada.

\[ x_p''(t)= -6a_3 \pi \sin(3 \pi t) -9 \pi^2 a_3 t \cos(3 \pi t) + 6b_3 \pi \cos(3 \pi t) -9 \pi^2 b_3 t \sin(3 \pi t) +\sum^{\infty}_{ \underset{\underset{n \neq 3}{n ~\rm{odd}}}{n=1} } (-n^2 \pi^2 b_n) \sin(n \pi t). \nonumber \]

Ahora nos conectamos al lado izquierdo de la ecuación diferencial.

\[\begin{align}\begin{aligned} 2x_p'' + 18\pi^2 x_p = & - 12 a_3 \pi \sin (3 \pi t) - 18\pi^2 a_3 t \cos (3 \pi t) + 12 b_3 \pi \cos (3 \pi t) - 18\pi^2 b_3 t \sin (3 \pi t) \\ & \phantom{\, - 12 a_3 \pi \sin (3 \pi t)} ~ {} + 18 \pi^2 a_3 t \cos (3 \pi t) \phantom{\, + 12 b_3 \pi \cos (3 \pi t)} ~ {} + 18 \pi^2 b_3 t \sin (3 \pi t) \\ & {} + \sum_{\substack{n=1 \\ n~\text{odd} \\ n\not= 3}}^\infty (-2n^2 \pi^2 b_n + 18\pi^2 b_n) \, \sin (n \pi t) . \end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Si simplificamos obtenemos

\[ 2x_p'' +18 \pi^2 x= -12a_3 \pi \sin(3 \pi t)+ 12b_3 \pi \cos(3 \pi t) +\sum^{\infty}_{ \underset{\underset{n \neq 3}{n ~\rm{odd}}}{n=1} } (-2n^2 \pi^2 b_n+ 18 \pi^2 b_n) \sin(n \pi t.) \nonumber \]

Esta serie tiene que igualar a la serie para\(F(t)\). Igualamos los coeficientes y resolvemos para\(a_3\) y\(b_n\).

\[\begin{align}\begin{aligned} a_3 &= \frac{4/(3 \pi)}{-12 \pi}= \frac{-1}{9 \pi^2}, \\ b_3 &= 0, \\ b_n &= \frac{4}{n \pi(18 \pi^2 -2n^2 \pi^2)}=\frac{2}{\pi^3 n(9-n^2 )} ~~~~~~ {\rm{for~}} n {\rm{~odd~and~}} n \neq 3.\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Es decir,

\[ x_p(t)= \frac{-1}{9 \pi^2}t \cos(3 \pi t)+ \sum^{\infty}_{ \underset{\underset{n \neq 3}{n ~\rm{odd}}}{n=1} } \frac{2}{\pi^3 n(9-n^2)} \sin(n \pi t.) \nonumber \]

Cuando\(c>0\), no tendrás que preocuparte por pura resonancia. Es decir, nunca habrá conflictos y no es necesario multiplicar ningún término por\(t\). Existe un concepto correspondiente de resonancia práctica y es muy similar a las ideas que ya exploramos en el Capítulo 2. Básicamente lo que sucede en la resonancia práctica es que uno de los coeficientes de la serie para\(x_{sp}\) puede llegar a ser muy grande. No entraremos en detalles aquí.

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