5.2: Aplicación de la serie Eigenfunction

La serie de funciones propias puede surgir incluso de ecuaciones de orden superior. Considera una viga elástica (digamos hecha de acero). Estudiaremos las vibraciones transversales de la viga. Es decir, supongamos que la viga se encuentra a lo largo del\(x\) eje -y vamos a\(y(x,t)\) medir el desplazamiento del punto\(x\) sobre la viga en el momento\(t\). Ver Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Vibraciones transversales de una viga.

La ecuación que rige esta configuración es

\[ a^4 \frac{\partial^4y}{\partial x^4}+\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=0, \nonumber \]

para alguna constante\(a>0\), no nos preocupemos por la física \(^{1}\).

Supongamos que la viga es de longitud\(1\) simplemente soportada (articulada) en los extremos. El haz es desplazado por alguna función\(f(x)\) a la vez\(t=0\) y luego se suelta (la velocidad inicial es\(0\)). Entonces\(y\) satisface:

\[ \begin{align} & a^4 y_{xxxx} + y_{tt} = 0 \qquad (0 < x < 1, \enspace t > 0),\nonumber \\ \label{eq:2} & y(0,t) = y_{xx}(0,t) = 0 , \\ & y(1,t) = y_{xx}(1,t) = 0 , \\ & y(x,0) = f(x), \qquad y_{t}(x,0) = 0 .\nonumber \end{align} \nonumber \]

Nuevamente\(y(x,t)=X(x)T(t)\) intentamos enchufar para obtener\(a^4X^{(4)}T+XT''=0\) o

\[\frac{X^{(4)}}{X}=\frac{-T''}{a^4T}=\lambda . \nonumber \]

Las ecuaciones son\[T'' + \lambda a^4 T = 0, \qquad X^{(4)} - \lambda X = 0 . \nonumber \] las condiciones límite\(y(0,t) = y_{xx}(0,t) = 0\) e\(y(1,t) = y_{xx}(1,t) = 0\) implican\[X(0) = X''(0) = 0, \qquad \text{and} \qquad X(1) = X''(1) = 0 . \nonumber \]

La condición homogénea inicial\(y_t(x,0) = 0\) implica\[T'(0) = 0 . \nonumber \] Como de costumbre, dejamos lo no homogéneo\(y(x,0) = f(x)\) para más adelante.

Considerando la ecuación para\(T\), es decir\(T'' + \lambda a^4 T = 0\), y la intuición física nos lleva al hecho de que si\(\lambda\) es un valor propio entonces\(\lambda > 0\): Esperamos vibración y no crecimiento exponencial ni decaimiento en la\(t\) dirección (no hay fricción en nuestro modelo por ejemplo). Entonces no hay valores propios negativos. Del mismo modo no\(\lambda = 0\) es un valor propio.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Justificar\(\lambda >0\) solo a partir de la ecuación para\(X\) y las condiciones de contorno.

Escribe\( \omega^4=\lambda\), para que no necesitemos escribir la cuarta raíz todo el tiempo. Porque\(X\) obtenemos la ecuación\(X^{(4)}- \omega^4X=0\). La solución general es

\[ X(x)=Ae^{\omega x}+Be^{- \omega x}+C\sin(\omega x)+D\cos(\omega x). \nonumber \]

Ahora\(0=X(0)A+B+D, 0=X''(0)=\omega^2(A+B-D)\). De ahí,\(D=0\) y\(A+B=0\), o\(B=-A\). Así que tenemos

\[ X(x)=Ae^{\omega x}-Ae^{- \omega x}+C\sin(\omega x). \nonumber \]

También\(0=X(1)=A(e^{\omega}-e^{- \omega})+C\sin \omega\), y\(0=X''(1)=A\omega^2(e^{\omega}-e^{- \omega})-C\omega^2\sin \omega\). Esto significa que\(C\sin \omega =0\) y\(A(e^{\omega}-e^{- \omega})=2A\sinh \omega=0\). Si\(\omega >0\), entonces\(\omega \neq 0\) y así\(A=0\). Esto quiere decir que de\(C \neq 0\) lo contrario no\(\lambda\) es un valor propio. También\(\omega\) debe ser un múltiplo entero de\(\pi\). De ahí\(\omega =n\pi\) y\(n \geq 1\) (as\(\omega >0\)). Podemos tomar\(C=1\). Entonces los valores propios son\(\lambda_n=n^4\pi^4\) y las funciones propias son\(\sin(n\pi x)\).

Ahora\(T''+n^4\pi^4a^4T=0\). La solución general es\( T(t)=A\sin(n^2\pi^2a^2t)+B\cos(n^2\pi^2a^2t)\). Pero\(T'(0)=0\) y de ahí debemos tener\(A=0\) y podemos tomar\(B=1\) para hacer\(T(0)=1\) por conveniencia. Entonces nuestras soluciones son\( T_n(t)=\cos(n^2\pi^2a^2t)\).

Como las funciones propias son solo senos otra vez, podemos descomponer la\(f(x)\) función al\(0<x<1\) usar la serie sinusoidal. Encontramos números\(b_n\) tales que para\(0<x<1\) nosotros tenemos

\[ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(n\pi x). \nonumber \]

Entonces la solución\(\eqref{eq:2}\) es

\[ y(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_nX_n(x)T_n(t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(n\pi x)\cos(n^2\pi^2a^2t). \nonumber \]

El punto es que\(X_nT_n\) es una solución que satisface todas las condiciones homogéneas (es decir, todas las condiciones excepto la posición inicial). Y desde y\(T_n(0)=1\), tenemos

\[ y(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}b_nX_n(x)T_n(0)=\sum_{n=1}^{\infty}b_nX_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(n\pi x)=f(x). \nonumber \]

Así\(y(x,t)\) resuelve\(\eqref{eq:2}\).

Las frecuencias naturales (circulares) del sistema son\(n^2\pi^2a^2\). Estas frecuencias son todas múltiplos enteros de la frecuencia fundamental\(\pi^2a^2\), por lo que obtenemos una bonita nota musical. Las frecuencias exactas y su amplitud son lo que llamamos el timbre de la nota.

El timbre de un haz es diferente al de una cuerda vibratoria donde obtenemos “más” de las frecuencias más bajas ya que obtenemos todos los múltiplos enteros,\(1,2,3,4,5, \ldots\). Para una viga de acero obtenemos solo los múltiplos cuadrados\(1,4,9,16,25, \ldots\). Es por ello que al golpear una viga de acero se escucha un sonido muy puro. El sonido de un xilófono o vibráfono es, por lo tanto, muy diferente al de una guitarra o piano.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Supongamos eso\(f(x)= \frac{x(x-1)}{10}\). En\(0<x<1\) tenemos (ya sabes cómo hacer esto)

\[ f(x)= \sum_{ \underset{\rm{n~odd}}{n=1}}^{\infty}\frac{4}{5\pi^3n^3}\sin(n\pi x). \nonumber \]

Por lo tanto, la solución a\(\eqref{eq:2}\) con la posición inicial dada\(f(x)\) es

\[ y(x,t)= \sum_{ \underset{\rm{n~odd}}{n=1}}^{\infty}\frac{4}{5\pi^3n^3}\sin(n\pi x)\cos(n^2\pi^2a^2t). \nonumber \]

Hay otras condiciones de contorno además de los extremos articulados. Hay tres posibilidades básicas: articuladas, libres o fijas. Consideremos el final en\(x=0\). Para el otro extremo, es la misma idea. Si el extremo está abisagrado, entonces\[u(0,t) = u_{xx}(0,t) = 0 . \nonumber \] Si el extremo está libre, es decir, simplemente está flotando en el aire, entonces\[u_{xx}(0,t) = u_{xxx}(0,t) = 0 . \nonumber \] Y finalmente, si el extremo está sujeto o fijo, por ejemplo está soldado a una pared, entonces\[u(0,t) = u_{x}(0,t) = 0 . \nonumber \]

Notas al pie

[1] Si te interesa\(a^{4}=\frac{EI}{\rho}\), donde\(E\) está el módulo elástico,\(I\) es el segundo momento de área de la sección transversal, y\(\rho\) es densidad lineal.