3.1: Método de Euler
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\[\label{eq:3.1.1} y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0 \]
no se puede resolver analíticamente, es necesario recurrir a métodos numéricos para obtener aproximaciones útiles a una solución de la Ecuación\ ref {eq:3.1.1}. consideraremos dichos métodos en este capítulo.
Nos interesa computar valores aproximados de la solución de la Ecuación\ ref {eq:3.1.1} en puntos igualmente espaciados\(x_0\)\(x_1\),,...,\(x_n=b\) en un intervalo\([x_0,b]\). Por lo tanto,
\[x_i=x_0+ih,\quad i=0,1, \dots,n, \nonumber \]
donde
\[h={b-x_0\over n}.\nonumber\]
denotaremos los valores aproximados de la solución en estos puntos por\(y_0\)\(y_1\),,...,\(y_n\); así,\(y_i\) es una aproximación a\(y(x_i)\). llamaremos
\[e_i=y(x_i)-y_i \nonumber\]
el error en el paso\(i\) th. Por la condición inicial\(y(x_0)=y_0\), siempre vamos a tener\(e_0=0\). No obstante, en general\(e_i\ne0\) si\(i>0\).
Encontramos dos fuentes de error al aplicar un método numérico para resolver un problema de valor inicial:
- Las fórmulas que definen el método se basan en algún tipo de aproximación. Los errores debidos a la inexactitud de la aproximación se denominan errores de truncamiento.
- Las computadoras hacen aritmética con un número fijo de dígitos, y por lo tanto cometen errores en la evaluación de las fórmulas que definen los métodos numéricos. Los errores debidos a la incapacidad de la computadora para hacer aritmética exacta se denominan errores de redondeo.
Dado que un análisis cuidadoso del error de redondeo está más allá del alcance de este libro, consideraremos solo los errores de truncamiento.
Método de Euler
El método numérico más simple para resolver la Ecuación\ ref {eq:3.1.1} es el método de Euler. Este método es tan crudo que rara vez se usa en la práctica; sin embargo, su simplicidad lo hace útil con fines ilustrativos. El método de Euler se basa en la suposición de que la línea tangente a la curva integral de la Ecuación\ ref {eq:3.1.1} at\((x_i,y(x_i))\) se aproxima a la curva integral sobre el intervalo\([x_i,x_{i+1}]\). Dado que la pendiente de la curva integral de la Ecuación\ ref {eq:3.1.1} at\((x_i,y(x_i))\) es\(y'(x_i)=f(x_i,y(x_i))\), la ecuación de la línea tangente a la curva integral at\((x_i,y(x_i))\) es
\[\label{eq:3.1.2} y=y(x_i)+f(x_i,y(x_i))(x-x_i).\]
Ajuste\(x=x_{i+1}=x_i+h\) en Ecuación\ ref {eq:3.1.2} rendimientos
\[\label{eq:3.1.3} y_{i+1}=y(x_i)+hf(x_i,y(x_i))\]
como una aproximación a\(y(x_{i+1})\). Ya que\(y(x_0)=y_0\) se sabe, podemos usar la ecuación\ ref {eq:3.1.3} con\(i=0\) para calcular
\[y_1=y_0+hf(x_0,y_0).\nonumber\]
Sin embargo, al establecer\(i=1\) en la ecuación\ ref {eq:3.1.3} rendimientos
\[y_2=y(x_1)+hf(x_1,y(x_1)),\nonumber\]
lo cual no es útil, ya que no lo sabemos\(y(x_1)\). Por lo tanto sustituimos\(y(x_1)\) por su valor aproximado\(y_1\) y redefinimos
\[y_2=y_1+hf(x_1,y_1).\nonumber\]
Habiendo calculado\(y_2\), podemos calcular
\[y_3=y_2+hf(x_2,y_2).\nonumber\]
En general, el método de Euler inicia con el valor conocido\(y(x_0)=y_0\) y calcula\(y_1\)\(y_2\),,...,\(y_n\) sucesivamente por con la fórmula
\[\label{eq:3.1.4} y_{i+1}=y_i+hf(x_i,y_i),\quad 0\le i\le n-1.\]
El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento computacional indicado en el método de Euler.
Utilice el método de Euler con\(h=0.1\) para encontrar valores aproximados para la solución del problema del valor inicial
\[\label{eq:3.1.5} y'+2y=x^3e^{-2x},\quad y(0)=1\]
en\(x=0.1,0.2,0.3\).
Solución
Reescribimos la ecuación\ ref {eq:3.1.5} como
\[y'=-2y+x^3e^{-2x},\quad y(0)=1, \nonumber\]
que es de la forma Ecuación\ ref {eq:3.1.1}, con
\[f(x,y)=-2y+x^3e^{-2x}, \, x_0=0, \, \text{and} \, y_0=1. \nonumber\]
Rendimiento del método de Euler
\[\begin{align*} y_1 &= y_0+hf(x_0,y_0) \\ &= 1+(0.1)f(0,1)=1+(0.1)(-2)=0.8,\\[4pt] y_2 & = y_1+hf(x_1,y_1)\\ & = 0.8+(0.1)f(0.1,0.8)=0.8+(0.1)\left(-2(0.8)+(0.1)^3e^{-0.2}\right)= 0.640081873,\\[4pt] y_3 & = y_2+hf(x_2,y_2)\\ & = 0.640081873+(0.1)\left(-2(0.640081873)+(0.2)^3e^{-0.4}\right)= 0.512601754. \end{align*}\]
Hemos escrito los detalles de estos cálculos para asegurar que entiendas el procedimiento. No obstante, en el resto de los ejemplos así como en los ejercicios de este capítulo, asumiremos que se puede utilizar una calculadora programable o una computadora para realizar los cálculos necesarios.
Ejemplos que ilustran el error en el método de Euler
Utilice el método de Euler con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial
\[y'+2y=x^3e^{-2x},\quad y(0)=1\nonumber \]
al\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),\(0.3\),...,\(1.0\). Comparar estos valores aproximados con los valores de la solución exacta
\[\label{eq:3.1.6} y={e^{-2x}\over4}(x^4+4),\]
que se puede obtener por el método de la Sección 2.1. (Verificar.)
La Tabla 3.1.1 muestra los valores de la solución exacta Ecuación\ ref {eq:3.1.6} en los puntos especificados, y los valores aproximados de la solución en estos puntos obtenidos por el método de Euler con tamaños de paso\(h=0.1\),\(h=0.05\), y\(h=0.025\). Al examinar esta tabla, tenga en cuenta que los valores aproximados en la columna correspondiente a\(h=0.05\) son en realidad los resultados de 20 pasos con el método de Euler. No hemos enumerado las estimaciones de la solución obtenida para\(x=0.05\),\(0.15\),..., ya que no hay nada con qué compararlas en la columna correspondiente a\(h=0.1\). De igual manera, los valores aproximados en la columna correspondiente a\(h=0.025\) son en realidad los resultados de 40 pasos con el método de Euler.
| \(x\) | \(h=0.1\) | \(h=0.05\) | \(h=0.025\) | Exacto |
|---|---|---|---|---|
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.0 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">1.000000000 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">1.000000000 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">1.000000000 | 1.000000000 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.1 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.800000000 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.810005655 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.814518349 | 0.818751221 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.2 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.640081873 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.656266437 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.663635953 | 0.670588174 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.3 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.512601754 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.532290981 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.541339495 | 0.549922980 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.4 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.411563195 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.432887056 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.442774766 | 0.452204669 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.5 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.332126261 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.353785015 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.363915597 | 0.373627557 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.6 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.270299502 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.291404256 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.301359885 | 0.310952904 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.7 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.222745397 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.242707257 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.252202935 | 0.261398947 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.8 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.186654593 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.205105754 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.213956311 | 0.222570721 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.9 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.159660776 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.176396883 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.184492463 | 0.192412038 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.0 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.139778910 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.154715925 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.162003293 | 0.169169104 |
Puedes ver en la Tabla 3.1.1 que disminuir el tamaño del paso mejora la precisión del método de Euler. Por ejemplo,
\[y_{exact}(1)-y_{approx}(1)\approx \left\{\begin{array}{l} 0.0293 \text{with} h=0.1,\\ 0.0144\mbox{ with }h=0.05,\\ 0.0071\mbox{ with }h=0.025. \end{array}\right.\nonumber \]
Con base en esta escasa evidencia, podría adivinar que el error al aproximar la solución exacta a un valor fijo de\(x\) por el método de Euler se reduce aproximadamente a la mitad cuando el tamaño del paso se reduce a la mitad. Puedes encontrar más evidencia que apoye esta conjetura examinando Table 3.1.2 , que enumera los valores aproximados de\(y_{exact}-y_{approx}\) at\(x=0.1\),\(0.2\),...,\(1.0\).
| \(x\) | \(h=0.1\) | \(h=0.05\) | \(h=0.0.25\) |
|---|---|---|---|
| \ (x\) ">0.1 | \ (h=0.1\) ">0.0187 | \ (h=0.05\) ">0.0087 | \ (h=0.0.25\) ">0.0042 |
| \ (x\) ">0.2 | \ (h=0.1\) ">0.0305 | \ (h=0.05\) ">0.0143 | \ (h=0.0.25\) ">0.0069 |
| \ (x\) ">0.3 | \ (h=0.1\) ">0.0373 | \ (h=0.05\) ">0.0176 | \ (h=0.0.25\) ">0.0085 |
| \ (x\) ">0.4 | \ (h=0.1\) ">0.0406 | \ (h=0.05\) ">0.0193 | \ (h=0.0.25\) ">0.0094 |
| \ (x\) ">0.5 | \ (h=0.1\) ">0.0415 | \ (h=0.05\) ">0.0198 | \ (h=0.0.25\) ">0.0097 |
| \ (x\) ">0.6 | \ (h=0.1\) ">0.0406 | \ (h=0.05\) ">0.0195 | \ (h=0.0.25\) ">0.0095 |
| \ (x\) ">0.7 | \ (h=0.1\) ">0.0386 | \ (h=0.05\) ">0.0186 | \ (h=0.0.25\) ">0.0091 |
| \ (x\) ">0.8 | \ (h=0.1\) ">0.0359 | \ (h=0.05\) ">0.0174 | \ (h=0.0.25\) ">0.0086 |
| \ (x\) ">0.9 | \ (h=0.1\) ">0.0327 | \ (h=0.05\) ">0.0160 | \ (h=0.0.25\) ">0.0079 |
| \ (x\) ">1.0 | \ (h=0.1\) ">0.0293 | \ (h=0.05\) ">0.0144 | \ (h=0.0.25\) ">0.0071 |
Las tablas 3.1.2 y 3.1.4 muestran resultados análogos para el problema del valor inicial no lineal
\[\label{eq:3.1.7} y'=-2y^2+xy+x^2,\ y(0)=1,\]
excepto en este caso no podemos resolver la Ecuación\ ref {eq:3.1.7} exactamente. Los resultados en la columna “Exacta” se obtuvieron utilizando un método numérico más preciso conocido como el método Runge - Kutta con un tamaño de paso pequeño. Son exactos a ocho decimales.
| \(x\) | \(h=0.1\) | \(h=0.05\) | \(h=0.025\) | Exacto |
|---|---|---|---|---|
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.0 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">1.000000000 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">1.000000000 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">1.000000000 | 1.000000000 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.1 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.800000000 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.821375000 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.829977007 | 0.837584494 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.2 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.681000000 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.707795377 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.719226253 | 0.729641890 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.3 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.605867800 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.633776590 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.646115227 | 0.657580377 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.4 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.559628676 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.5874526 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.600045701 | 0.611901791 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.5 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.535376972 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.562906169 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.575556391 | 0.587575491 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.6 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.529820120 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.557143535 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.569824171 | 0.581942225 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.7 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.541467455 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.568716935 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.581435423 | 0.593629526 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.8 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.569732776 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.596951988 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.609684903 | 0.621907458 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.9 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.614392311 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.641457729 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.654110862 | 0.666250842 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.0 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.675192037 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.701764495 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.714151626 | 0.726015790 |
Dado que pensamos que es importante para evaluar la exactitud de los métodos numéricos que vamos a estudiar en este capítulo, a menudo incluimos una columna que enumera valores de la solución exacta del problema del valor inicial, aunque las indicaciones en el ejemplo o ejercicio no lo requieran específicamente. Si se incluyen comillas en el encabezamiento, los valores se obtuvieron aplicando el método Runge-Kutta de una manera que se explica en la Sección 3.3. Si no se incluyen comillas, los valores se obtuvieron a partir de una fórmula conocida para la solución. En cualquier caso, los valores son exactos a ocho lugares a la derecha del punto decimal.
| \(x\) | \(h=0.1\) | \(h=0.05\) | \(h=0.025\) |
|---|---|---|---|
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.1 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.0376 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.0162 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.0076 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.2 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.0486 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.0218 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.0104 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.3 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.0517 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.0238 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.0115 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.4 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.0523 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.0244 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.0119 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.5 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.0522 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.0247 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.0121 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.6 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.0521 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.0248 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.0121 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.7 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.0522 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.0249 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.0122 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.8 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.0522 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.0250 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.0122 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.9 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.0519 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.0248 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.0121 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.0 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.0508 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.0243 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.0119 |
Error de truncamiento en el método de Euler
Consistente con los resultados indicados en las Tablas 3.1.1 - 3.1.4 , ahora mostraremos que bajo supuestos razonables sobre\(f\) hay una constante\(K\) tal que el error al aproximar la solución del problema de valor inicial
\[y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0,\nonumber \]
en un punto dado\(b>x_0\) por el método de Euler con tamaño de paso\(h=(b-x_0)/n\) satisface la desigualdad
\[|y(b)-y_n|\le Kh,\nonumber \]
donde\(K\) es una constante independiente de\(n\).
Hay dos fuentes de error (sin contar redondeo) en el método de Euler:
- El error cometido al aproximar la curva integral por la línea tangente Ecuación\ ref {eq:3.1.2} a lo largo del intervalo\([x_i,x_{i+1}]\).
- El error cometido al reemplazar\(y(x_i)\) por\(y_i\) en la ecuación\ ref {eq:3.1.2} y usar la ecuación\ ref {eq:3.1.4} en lugar de la ecuación\ ref {eq:3.1.2} para calcular\(y_{i+1}\).
El método de Euler asume que\(y_{i+1}\) definido en la Ecuación\ ref {eq:3.1.2} es una aproximación a\(y(x_{i+1})\). Llamamos al error en esta aproximación el error de truncamiento local en el paso\(i\) th, y lo denotamos por\(T_i\); así,
\[\label{eq:3.1.8} T_i=y(x_{i+1})-y(x_i)-hf(x_i,y(x_i)).\]
ahora usaremos el teorema de Taylor para estimar\(T_i\), asumiendo por simplicidad eso\(f\)\(f_x\),, y\(f_y\) son continuos y acotados para todos\((x,y)\). Entonces\(y''\) existe y está acotado en\([x_0,b]\). Para ver esto, diferenciamos
\[y'(x)=f(x,y(x))\nonumber \]
para obtener
\[\begin{aligned} y''(x) & = & f_x(x,y(x))+f_y(x,y(x))y'(x)\\ & = & f_x(x,y(x))+f_y(x,y(x))f(x,y(x)).\end{aligned}\nonumber \]
Ya que asumimos que\(f\),\(f_x\) y\(f_y\) están acotados, hay una constante\(M\) tal que
\[|f_{x}(x,y(x))+f_{y}(x,y(x))y'(x)|\leq M\quad x_{0}<x<b\nonumber \]
lo que implica que
\[\label{eq:3.1.9} |y''(x)|\leq M,\quad x_{0}<x<b\]
Ya que\(x_{i+1}=x_i+h\), el teorema de Taylor implica que
\[y(x_{i+1})=y(x_i)+hy'(x_i)+{h^2\over2}y''(\tilde x_i),\nonumber \]
donde\(\tilde x_i\) hay algún número entre\(x_i\) y\(x_{i+1}\). Ya que\(y'(x_i)=f(x_i,y(x_i))\) esto se puede escribir como
\[y(x_{i+1})=y(x_i)+hf(x_i,y(x_i))+{h^2\over2}y''(\tilde x_i), \nonumber \]
o, equivalentemente,
\[y(x_{i+1})-y(x_i)-hf(x_i,y(x_i))={h^2\over2}y''(\tilde x_i). \nonumber \]
Al comparar esto con la ecuación\ ref {eq:3.1.8} se muestra que
\[T_i={h^2\over2}y''(\tilde x_i). \nonumber \]
Recordando la ecuación\ ref {eq:3.1.9}, podemos establecer el límite
\[\label{eq:3.1.10} |T_i|\le{Mh^2\over2},\quad 1\le i\le n.\]
Si bien puede ser difícil determinar la constante\(M\), lo importante es que hay\(M\) tal que la Ecuación\ ref {eq:3.1.10} sostiene. Decimos que el error de truncamiento local del método de Euler es de orden\(h^2\), que escribimos como\(O(h^2)\).
Obsérvese que la magnitud del error de truncamiento local en el método de Euler está determinada por la segunda derivada\(y''\) de la solución del problema del valor inicial. Por lo tanto, el error de truncamiento local será mayor donde\(|y''|\) sea grande, o menor donde\(|y''|\) sea pequeño.
Dado que el error de truncamiento local para el método de Euler es\(O(h^2)\), es razonable esperar que reducir a la mitad\(h\) reduzca el error de truncamiento local en un factor de 4. Esto es cierto, pero reducir a la mitad el tamaño del paso también requiere el doble de pasos para aproximar la solución en un punto dado. Para analizar el efecto general del error de truncamiento en el método de Euler, es útil derivar una ecuación que relacione los errores
\[e_{i+1}=y(x_{i+1})-y_{i+1}\quad \text{and} \quad e_i=y(x_i)-y_i. \nonumber \]
Para ello, recordemos que
\[\label{eq:3.1.11} y(x_{i+1})=y(x_i)+hf(x_i,y(x_i))+T_i\]
y
\[\label{eq:3.1.12} y_{i+1}=y_i+hf(x_i,y_i).\]
Restar la ecuación\ ref {eq:3.1.12} de la ecuación\ ref {eq:3.1.11} rendimientos
\[\label{eq:3.1.13} e_{i+1}=e_i+h\left[f(x_i,y(x_i))-f(x_i,y_i)\right]+T_i.\]
El último término a la derecha es el error de truncamiento local en el paso\(i\) th. Los otros términos reflejan la forma en que afectan los errores cometidos en pasos anteriores\(e_{i+1}\). Ya que\(|T_i|\le Mh^2/2\), vemos de la Ecuación\ ref {eq:3.1.13} que
\[\label{eq:3.1.14} |e_{i+1}|\le |e_i|+h|f(x_i,y(x_i))-f(x_i,y_i)|+{Mh^2\over2}.\]
Como asumimos que\(f_y\) es continuo y acotado, el teorema del valor medio implica que
\[f(x_i,y(x_i))-f(x_i,y_i)=f_y(x_i,y_i^*)(y(x_i)-y_i)=f_y(x_i,y_i^*)e_i, \nonumber \]
donde\(y_i^*\) esta entre\(y_i\) y\(y(x_i)\). Por lo tanto
\[|f(x_i,y(x_i))-f(x_i,y_i)|\le R|e_i| \nonumber \]
para alguna constante\(R\). De esto y la Ecuación\ ref {eq:3.1.14},
\[\label{eq:3.1.15} |e_{i+1}|\le (1+Rh)|e_i|+{Mh^2\over2},\quad 0\le i\le n-1.\]
Para mayor comodidad, vamos\(C=1+Rh\). Dado que\(e_0=y(x_0)-y_0=0\), aplicando la ecuación\ ref {eq:3.1.15} produce repetidamente
\[\begin{align} |e_1| & \le {Mh^2\over2}\nonumber\\ |e_2| & \le C|e_1|+{Mh^2\over2}\le(1+C){Mh^2\over2}\nonumber\\ |e_3| & \le C|e_2|+{Mh^2\over2}\le(1+C+C^2){Mh^2\over2}\nonumber\\ & \vdots \nonumber \\|e_n| & \le C|e_{n-1}|+{Mh^2\over2}\le(1+C+\cdots+C^{n-1}){Mh^2\over2}.\label{eq:3.1.16} \end{align}\]
Recordando la fórmula para la suma de una serie geométrica, vemos que
\[1+C+\cdots+C^{n-1}={1-C^n\over 1-C}={(1+Rh)^n-1\over Rh} \nonumber \]
(ya que\(C=1+Rh\)). De esto y la Ecuación\ ref {eq:3.1.16},
\[\label{eq:3.1.17} |y(b)-y_n|=|e_n|\le{(1+Rh)^n-1\over R}{Mh\over2}.\]
Dado que el teorema de Taylor implica que
\[1+Rh<e^{rh}\nonumber \]
(verificar),
\[(1+Rh)^{n}<e^{nRh}=e^{R(b-x_{0})}\quad (\text{since }nh=b-x_{0}).\nonumber \]
Esto y la Ecuación\ ref {eq:3.1.17} implican que
\[\label{eq:3.1.18} |y(b)-y_n|\le Kh,\]
con
\[K=M{e^{R(b-x_0)}-1\over2R}.\nonumber \]
Debido a la Ecuación\ ref {eq:3.1.18} decimos que el error de truncamiento global del método de Euler es de orden\(h\), que escribimos como\(O(h)\).
Ecuaciones Semilineales y Variación de Parámetros
Una ecuación que se puede escribir en la forma
\[\label{eq:3.1.19} y'+p(x)y=h(x,y)\]
con\(p\not\equiv0\) se dice que es semilineal. (Por supuesto, la Ecuación\ ref {eq:3.1.19} es lineal si\(h\) es independiente de\(y\).) Una forma de aplicar el método de Euler a un problema de valor inicial
\[\label{eq:3.1.20} y'+p(x)y=h(x,y),\quad y(x_0)=y_0\]
para la Ecuación\ ref {eq:3.1.19} es pensar en ello como
\[y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0, \nonumber\]
donde
\[f(x,y)=-p(x)y+h(x,y). \nonumber\]
Sin embargo, también podemos comenzar aplicando variación de parámetros a la Ecuación\ ref {eq:3.1.20}, como en las Secciones 2.1 y 2.4; así, escribimos la solución de la Ecuación\ ref {eq:3.1.20} como\(y=uy_1\), donde\(y_1\) es una solución no trivial de la ecuación complementaria\(y'+p(x)y=0\). Entonces\(y=uy_1\) es una solución de Ecuación\ ref {eq:3.1.20} si y solo si\(u\) es una solución del problema de valor inicial
\[\label{eq:3.1.21} u'=h(x,uy_1(x))/y_1(x),\quad u(x_0)=y(x_0)/y_1(x_0).\]
Podemos aplicar el método de Euler para obtener valores aproximados\(u_0\),\(u_1\),...,\(u_n\) de este problema de valor inicial, y luego tomar
\[y_i=u_iy_1(x_i) \nonumber\]
como valores aproximados de la solución de la Ecuación\ ref {eq:3.1.20}. llamaremos a este procedimiento el método semilineal de Euler.
Los siguientes dos ejemplos muestran que los métodos semilineales de Euler y Euler pueden arrojar resultados drásticamente diferentes.
En Ejemplo 3.1.7 tuvimos que dejar la solución del problema de valor inicial
\[\label{eq:3.1.22} y'-2xy=1,\quad y(0)=3\]
en la forma
\[\label{eq:3.1.23} y=e^{x^2}\left(3 +\int^x_0 e^{-t^2}dt\right)\]
porque era imposible evaluar esta integral exactamente en términos de funciones elementales. Utilizar tamaños de paso\(h=0.2\),\(h=0.1\), y\(h=0.05\) para encontrar valores aproximados de la solución de la Ecuación\ ref {eq:3.1.22} at\(x=0\),\(0.2\),\(0.4\),\(0.6\),...,\(2.0\) por (a) el método de Euler; (b) el método semilineal de Euler.
Solución a
Reescritura de la ecuación\ ref {eq:3.1.22} como
\[\label{eq:3.1.24} y'=1+2xy,\quad y(0)=3\]
y aplicando el método de Euler con\(f(x,y)=1+2xy\) arroja los resultados mostrados en la Tabla 3.1.5 . Debido a las grandes diferencias entre las estimaciones obtenidas para los tres valores de\(h\), quedaría claro que estos resultados son inútiles aunque los valores “exactos” no fueran incluidos en la tabla.
| \(x\) | \(h=0.2\) | \(h=0.1\) | \(h=0.05\) | Exacto |
|---|---|---|---|---|
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.0 | \ (h=0.2\)” style="vertical-align:middle; ">3.000000000 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">3.000000000 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">3.000000000 | 3.000000000 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.2 | \ (h=0.2\)” style="vertical-align:middle; ">3.200000000 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">3.262000000 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">3.294348537 | 3.327851973 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.4 | \ (h=0.2\)” style="vertical-align:middle; ">3.656000000 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">3.802028800 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">3.881421103 | 3.966059348 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.6 | \ (h=0.2\)” style="vertical-align:middle; ">4.440960000 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">4.726810214 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">4.888870783 | 5.067039535 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0.8 | \ (h=0.2\)” style="vertical-align:middle; ">5.706790400 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">6.249191282 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">6.570796235 | 6.936700945 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.0 | \ (h=0.2\)” style="vertical-align:middle; ">7.732963328 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">8.771893026 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">9.419105620 | 10.184923955 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.2 | \ (h=0.2\)” style="vertical-align:middle; ">11.026148659 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">13.064051391 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">14.405772067 | 16.067111677 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.4 | \ (h=0.2\)” style="vertical-align:middle; ">16.518700016 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">20.637273893 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">23.522935872 | 27.289392347 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.6 | \ (h=0.2\)” style="vertical-align:middle; ">25.969172024 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">34.570423758 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">41.033441257 | 50.000377775 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.8 | \ (h=0.2\)” style="vertical-align:middle; ">42.789442120 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">61.382165543 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">76.491018246 | 98.982969504 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2.0 | \ (h=0.2\)” style="vertical-align:middle; ">73.797840446 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">115.440048291 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">152.363866569 | 211.954462214 |
Es fácil ver por qué el método de Euler arroja resultados tan malos. Recordemos que la constante\(M\) en la Ecuación\ ref {eq:3.1.10} —que juega un papel importante en la determinación del error de truncamiento local en el método de Euler— debe ser un límite superior para los valores de la segunda derivada\(y''\) de la solución del problema del valor inicial Ecuación\ ref {eq:3.1.22} on \((0,2)\). El problema es que\(y''\) asume valores muy grandes en este intervalo. Para ver esto, diferenciamos la Ecuación\ ref {eq:3.1.24} para obtener
\[y''(x)=2y(x)+2xy'(x)=2y(x)+2x(1+2xy(x))=2(1+2x^2)y(x)+2x, \nonumber\]
donde la segunda igualdad sigue de nuevo de la Ecuación\ ref {eq:3.1.24}. Dado que la ecuación\ ref {eq:3.1.23} implica que\(y(x)>3e^{x^2}\) si\(x>0\),
\[y''(x)>6(1+2x^2)e^{x^2}+2x,\quad x>0. \nonumber\]
Por ejemplo, dejar\(x=2\) muestra eso\(y''(2)>2952\).
Solución b
Dado que\(y_1=e^{x^2}\) es una solución de la ecuación complementaria\(y'-2xy=0\), podemos aplicar el método semilineal de Euler a la Ecuación\ ref {eq:3.1.22}, con
\[y=ue^{x^2}\quad \text{and} \quad u'=e^{-x^2},\quad u(0)=3. \nonumber\]
Los resultados enumerados en la Tabla 3.1.6 son claramente mejores que los obtenidos por el método de Euler.
| \(x\) | \(h=0.2\) | \(h=0.1\) | \(h=0.05\) | Exacto |
|---|---|---|---|---|
| \ (x\) ">0.0 | \ (h=0.2\) ">3.000000000 | \ (h=0.1\) ">3.000000000 | \ (h=0.05\) ">3.000000000 | 3.000000000 |
| \ (x\) ">0.2 | \ (h=0.2\) ">3.330594477 | \ (h=0.1\) ">3.329558853 | \ (h=0.05\) ">3.328788889 | 3.327851973 |
| \ (x\) ">0.4 | \ (h=0.2\) ">3.980734157 | \ (h=0.1\) ">3.974067628 | \ (h=0.05\) ">3.970230415 | 3.966059348 |
| \ (x\) ">0.6 | \ (h=0.2\) ">5.106360231 | \ (h=0.1\) ">5.087705244 | \ (h=0.05\) ">5.077622723 | 5.067039535 |
| \ (x\) ">0.8 | \ (h=0.2\) ">7.021003417 | \ (h=0.1\) ">6.980190891 | \ (h=0.05\) ">6.958779586 | 6.936700945 |
| \ (x\) ">1.0 | \ (h=0.2\) ">10.350076600 | \ (h=0.1\) ">10.269170824 | \ (h=0.05\) ">10.227464299 | 10.184923955 |
| \ (x\) ">1.2 | \ (h=0.2\) ">16.381180092 | \ (h=0.1\) ">16.226146390 | \ (h=0.05\) ">16.147129067 | 16.067111677 |
| \ (x\) ">1.4 | \ (h=0.2\) ">27.890003380 | \ (h=0.1\) ">27.592026085 | \ (h=0.05\) ">27.441292235 | 27.289392347 |
| \ (x\) ">1.6 | \ (h=0.2\) ">51.183323262 | \ (h=0.1\) ">50.594503863 | \ (h=0.05\) ">50.298106659 | 50.000377775 |
| \ (x\) ">1.8 | \ (h=0.2\) ">101.424397595 | \ (h=0.1\) ">100.206659076 | \ (h=0.05\) ">99.595562766 | 98.982969504 |
| \ (x\) ">2.0 | \ (h=0.2\) ">217.301032800 | \ (h=0.1\) ">214.631041938 | \ (h=0.05\) ">213.293582978 | 211.954462214 |
No podemos dar un procedimiento general para determinar de antemano si el método de Euler o el método semilineal de Euler producirán mejores resultados para un problema de valor inicial semilineal dado Ecuación\ ref {eq:3.1.19}. Como regla general, el método semilineal de Euler arrojará mejores resultados que el método de Euler si\(|u''|\) es pequeño\([x_0,b]\), mientras que el método de Euler arroja mejores resultados si\(|u''|\) es grande\([x_0,b]\). En muchos casos los resultados obtenidos por los dos métodos no difieren apreciablemente. Sin embargo, proponemos la forma intuitiva de decidir cuál es el mejor método: Pruebe ambos métodos con múltiples tamaños de paso, como hicimos en Ejemplo [ejemplo:3.1.4}, y aceptar los resultados obtenidos por el método para el cual las aproximaciones cambian menos a medida que disminuye el tamaño del paso.
Aplicando el método de Euler con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\), y\(h=0.025\) al problema de valor inicial
\[\label{eq:3.1.25} y'-2y={x\over1+y^2},\quad y(1)=7\]on\([1,2]\) arroja los resultados en la Tabla 3.1.7 .
| \(x\) | \(h=0.1\) | \(h=0.05\) | \(h=0.025\) | Exacto |
|---|---|---|---|---|
| \ (x\) ">1.0 | \ (h=0.1\) ">7.000000000 | \ (h=0.05\) ">7.000000000 | \ (h=0.025\) ">7.000000000 | 7.000000000 |
| \ (x\) ">1.1 | \ (h=0.1\) ">8.402000000 | \ (h=0.05\) ">8.471970569 | \ (h=0.025\) ">8.510493955 | 8.551744786 |
| \ (x\) ">1.2 | \ (h=0.1\) ">10.083936450 | \ (h=0.05\) ">10.252570169 | \ (h=0.025\) ">10.346014101 | 10.446546230 |
| \ (x\) ">1.3 | \ (h=0.1\) ">12.101892354 | \ (h=0.05\) ">12.406719381 | \ (h=0.025\) ">12.576720827 | 12.760480158 |
| \ (x\) ">1.4 | \ (h=0.1\) ">14.523152445 | \ (h=0.05\) ">15.012952416 | \ (h=0.025\) ">15.287872104 | 15.586440425 |
| \ (x\) ">1.5 | \ (h=0.1\) ">17.428443554 | \ (h=0.05\) ">18.166277405 | \ (h=0.025\) ">18.583079406 | 19.037865752 |
| \ (x\) ">1.6 | \ (h=0.1\) ">20.914624471 | \ (h=0.05\) ">21.981638487 | \ (h=0.025\) ">22.588266217 | 23.253292359 |
| \ (x\) ">1.7 | \ (h=0.1\) ">25.097914310 | \ (h=0.05\) ">26.598105180 | \ (h=0.025\) ">27.456479695 | 28.401914416 |
| \ (x\) ">1.8 | \ (h=0.1\) ">30.117766627 | \ (h=0.05\) ">32.183941340 | \ (h=0.025\) ">33.373738944 | 34.690375086 |
| \ (x\) ">1.9 | \ (h=0.1\) ">36.141518172 | \ (h=0.05\) ">38.942738252 | \ (h=0.025\) ">40.566143158 | 42.371060528 |
| \ (x\) ">2.0 | \ (h=0.1\) ">43.369967155 | \ (h=0.05\) ">47.120835251 | \ (h=0.025\) ">49.308511126 | 51.752229656 |
Aplicando el método semilineal de Euler con
\[y=ue^{2x}\quad \text{and} \quad u'={xe^{-2x}\over1+u^2e^{4x}},\quad u(1)=7e^{-2}\nonumber \]
arroja los resultados en la Tabla 3.1.8 . Dado que estos últimos son claramente menos dependientes del tamaño del paso que los primeros, concluimos que el método semilineal de Euler es mejor que el método de Euler para la Ecuación\ ref {eq:3.1.25}. Esta conclusión se apoya comparando los resultados aproximados obtenidos por los dos métodos con los valores “exactos” de la solución.
| \(x\) | \(h=0.1\) | \(h=0.05\) | \(h=0.025\) | Exacto |
|---|---|---|---|---|
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.0 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">7.000000000 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">7.000000000 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">7.000000000 | 7.000000000 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.1 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">8.552262113 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">8.551993978 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">8.551867007 | 8.551744786 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.2 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">10.447568674 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">10.447038547 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">10.446787646 | 10.446546230 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.3 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">12.762019799 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">12.761221313 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">12.760843543 | 12.760480158 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.4 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">15.588535141 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">15.587448600 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">15.586934680 | 15.586440425 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.5 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">19.040580614 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">19.039172241 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">19.038506211 | 19.037865752 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.6 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">23.256721636 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">23.254942517 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">23.254101253 | 23.253292359 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.7 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">28.406184597 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">28.403969107 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">28.402921581 | 28.401914416 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.8 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">34.695649222 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">34.692912768 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">34.691618979 | 34.690375086 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1.9 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">42.377544138 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">42.374180090 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">42.372589624 | 42.371060528 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2.0 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">51.760178446 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">51.756054133 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">51.754104262 | 51.752229656 |
Aplicando el método de Euler con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\), y\(h=0.025\) al problema de valor inicial
\[\label{eq:3.1.26} y'+3x^2y=1+y^2,\quad y(2)=2\]
on\([2,3]\) arroja los resultados en la Tabla 3.1.9 . Aplicando el método semilineal de Euler con
\[y=ue^{-x^3}\quad \text{and} \quad u'=e^{x^3}(1+u^2e^{-2x^3}),\quad u(2)=2e^8 \nonumber\]
arroja los resultados en la Tabla 3.1.10 . Observando el estrecho acuerdo entre las tres columnas de Table 3.1.9 (al menos para valores mayores de\(x\)) y la falta de tal acuerdo entre las columnas de Table 3.1.10 , concluimos que el método de Euler es mejor que el método semilineal de Euler para Ecuación\ ref {eq: 3.1.26}. La comparación de los resultados con los valores exactos respalda esta conclusión.
| \(x\) | \(h=0.1\) | \(h=0.05\) | \(h=0.025\) | Exacto |
|---|---|---|---|---|
| \ (x\) ">2.0 | \ (h=0.1\) ">2.000000000 | \ (h=0.05\) ">2.000000000 | \ (h=0.025\) ">2.000000000 | 2.000000000 |
| \ (x\) ">2.1 | \ (h=0.1\) ">0.100000000 | \ (h=0.05\) ">0.493231250 | \ (h=0.025\) ">0.609611171 | 0.701162906 |
| \ (x\) ">2.2 | \ (h=0.1\) ">0.068700000 | \ (h=0.05\) ">0.122879586 | \ (h=0.025\) ">0.180113445 | 0.236986800 |
| \ (x\) ">2.3 | \ (h=0.1\) ">0.069419569 | \ (h=0.05\) ">0.070670890 | \ (h=0.025\) ">0.083934459 | 0.103815729 |
| \ (x\) ">2.4 | \ (h=0.1\) ">0.059732621 | \ (h=0.05\) ">0.061338956 | \ (h=0.025\) ">0.063337561 | 0.068390786 |
| \ (x\) ">2.5 | \ (h=0.1\) ">0.056871451 | \ (h=0.05\) ">0.056002363 | \ (h=0.025\) ">0.056249670 | 0.057281091 |
| \ (x\) ">2.6 | \ (h=0.1\) ">0.050560917 | \ (h=0.05\) ">0.051465256 | \ (h=0.025\) ">0.051517501 | 0.051711676 |
| \ (x\) ">2.7 | \ (h=0.1\) ">0.048279018 | \ (h=0.05\) ">0.047484716 | \ (h=0.025\) ">0.047514202 | 0.047564141 |
| \ (x\) ">2.8 | \ (h=0.1\) ">0.042925892 | \ (h=0.05\) ">0.043967002 | \ (h=0.025\) ">0.043989239 | 0.044014438 |
| \ (x\) ">2.9 | \ (h=0.1\) ">0.042148458 | \ (h=0.05\) ">0.040839683 | \ (h=0.025\) ">0.040857109 | 0.040875333 |
| \ (x\) ">3.0 | \ (h=0.1\) ">0.035985548 | \ (h=0.05\) ">0.038044692 | \ (h=0.025\) ">0.038058536 | 0.038072838: |
| \(x\) | \(h=0.1\) | \(h=0.05\) | \(h=0.025\) | \(h=.0125\) |
|---|---|---|---|---|
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2.0 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">2.000000000 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">2.000000000 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">2.000000000 | \ (h=.0125\)” style="vertical-align:middle; ">2.000000000 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2.1 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.708426286 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.702568171 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.701214274 | \ (h=.0125\)” style="vertical-align:middle; ">0.701162906 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2.2 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.214501852 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.222599468 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.228942240 | \ (h=.0125\)” style="vertical-align:middle; ">0.236986800 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2.3 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.069861436 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.083620494 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.092852806 | \ (h=.0125\)” style="vertical-align:middle; ">0.103815729 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2.4 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.032487396 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.047079261 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.056825805 | \ (h=.0125\)” style="vertical-align:middle; ">0.068390786 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2.5 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.021895559 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.036030018 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.045683801 | \ (h=.0125\)” style="vertical-align:middle; ">0.057281091 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2.6 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.017332058 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.030750181 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.040189920 | \ (h=.0125\)” style="vertical-align:middle; ">0.051711676 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2.7 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.014271492 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.026931911 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.036134674 | \ (h=.0125\)” style="vertical-align:middle; ">0.047564141 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2.8 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.011819555 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.023720670 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.032679767 | \ (h=.0125\)” style="vertical-align:middle; ">0.044014438 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2.9 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.009776792 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.020925522 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.029636506 | \ (h=.0125\)” style="vertical-align:middle; ">0.040875333 |
| \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">3.0 | \ (h=0.1\)” style="vertical-align:middle; ">0.008065020 | \ (h=0.05\)” style="vertical-align:middle; ">0.018472302 | \ (h=0.025\)” style="vertical-align:middle; ">0.026931099 | \ (h=.0125\)” style="vertical-align:middle; ">0.038072838 |
En las dos secciones siguientes estudiaremos otros métodos numéricos para resolver problemas de valor inicial, denominados el método mejorado de Euler, el método de punto medio, el método de Heun y el método Runge - Kutta. Si el problema del valor inicial es semilineal como en la Ecuación\ ref {eq:3.1.19}, también tenemos la opción de usar variación de parámetros y luego aplicar el método numérico dado al problema de valor inicial Ecuación\ ref {eq:3.1.21} para\(u\). Por analogía con la terminología utilizada aquí, llamaremos al procedimiento resultante el método semilineal de Euler mejorado, el método semilineal de punto medio, el método semilineal de Heun o el método semilineal Runge - Kutta, según sea el caso.