3.1E: Método de Euler (Ejercicios)

Q3.1.1

Es posible que desee guardar los resultados de estos ejercicios, ya que volveremos a visitar en las dos secciones siguientes. En Ejercicios 3.1.1-3.1.5 utilizar el método de Euler para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en los puntos\(x_i=x_0+ih\), donde\(x_0\) está el punto donde se impone la condición inicial y\(i=1\),\(2\),\(3\). El propósito de estos ejercicios es familiarizarte con el procedimiento computacional del método de Euler.

1. \(y'=2x^2+3y^2-2,\quad y(2)=1;\quad h=0.05\)

2. \(y'=y+\sqrt{x^2+y^2},\quad y(0)=1;\quad h=0.1\)

3. \(y'+3y=x^2-3xy+y^2,\quad y(0)=2;\quad h=0.05\)

4. \(y'= {1+x\over1-y^2},\quad y(2)=3;\quad h=0.1\)

5. \(y'+x^2y=\sin xy,\quad y(1)=\pi;\quad h=0.2\)

Q3.1.2

6. Utilice el método de Euler con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\),, y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial\[y'+3y=7e^{4x},\quad y(0)=2\] en\(x=0\)\(0.1\),\(0.2\),,\(0.3\),...,\(1.0\). Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta\(y=e^{4x}+e^{-3x}\), los cuales pueden obtenerse por el método de la Sección 2.1. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 3.1.1.

7. Utilice el método de Euler con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\),, y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial\[y'+{2\over x}y={3\over x^3}+1,\quad y(1)=1\] en\(x=1.0\)\(1.1\),\(1.2\),,\(1.3\),...,\(2.0\). Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta\[y={1\over3x^2}(9\ln x+x^3+2),\] que se puede obtener por el método de la Sección 2.1. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 3.1.1.

8. Utilice el método de Euler con tamaños de paso\(h=0.05\)\(h=0.025\),, y\(h=0.0125\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial\[y'={y^2+xy-x^2\over x^2},\quad y(1)=2\] en\(x=1.0\)\(1.05\),\(1.10\),,\(1.15\),...,\(1.5\). Compara estos valores aproximados con los valores de la solución exacta\[y={x(1+x^2/3)\over1-x^2/3}\] obtenida en Ejemplo [ejemplo:2.4.3}. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 3.1.1.

9. En Ejemplo [ejemplo:2.2.3} se demostró que\[y^5+y=x^2+x-4\] es una solución implícita del problema de valor inicial\[y'={2x+1\over5y^4+1},\quad y(2)=1. \tag{A}\] Utilizar el método de Euler con tamaños de paso\(h=0.1\),\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución de (A) en\(x=2.0\),\(2.1\),\(2.2\),\(2.3\),..., \(3.0\). Presente sus resultados en forma tabular. Para verificar el error en estos valores aproximados, construya otra tabla de valores del residual\[R(x,y)=y^5+y-x^2-x+4\] para cada valor de\((x,y)\) aparecer en la primera tabla.

10. Se puede ver en el Ejemplo 2.5.1 que\[x^4y^3+x^2y^5+2xy=4\] es una solución implícita del problema de valor inicial\[y'=-{4x^3y^3+2xy^5+2y\over3x^4y^2+5x^2y^4+2x},\quad y(1)=1. \tag{A}\] Utilice el método de Euler con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\),, y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución de (A) en\(x=1.0\),\(1.1\),\(1.2\),\(1.3\),..., \(2.0\). Presente sus resultados en forma tabular. Para verificar el error en estos valores aproximados, construya otra tabla de valores del residual\[R(x,y)=x^4y^3+x^2y^5+2xy-4\] para cada valor de\((x,y)\) aparecer en la primera tabla.

11. Utilice el método de Euler con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\),, y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial\[(3y^2+4y)y'+2x+\cos x=0, \quad y(0)=1; \quad\text{(Exercise 2.2.13)}\] en\(x=0\)\(0.1\),\(0.2\),,\(0.3\),...,\(1.0\).

12. Utilice el método de Euler con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\),, y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial\[y'+{(y+1)(y-1)(y-2)\over x+1}=0, \quad y(1)=0 \quad\text{(Exercise 2.2.14)}\] en\(x=1.0\)\(1.1\),\(1.2\),,\(1.3\),...,\(2.0\).

13. Utilice el método de Euler y el método semilineal de Euler con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema del valor inicial\[y'+3y=7e^{-3x},\quad y(0)=6\]

al\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),\(0.3\),...,\(1.0\). Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta\(y=e^{-3x}(7x+6)\), los cuales pueden obtenerse por el método de la Sección 2.1. ¿Notaste algo especial en los resultados? Explique.

Q3.1.3

Los problemas de valor inicial lineal en los Ejercicios 3.1.14—3.1.19 no pueden resolverse exactamente en términos de funciones elementales conocidas. En cada ejercicio, utilice el método de Euler y los métodos semilineales de Euler con los tamaños de paso indicados para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en 11 puntos igualmente espaciados (incluyendo los puntos finales) en el intervalo.

14. \(y'-2y= {1\over1+x^2},\quad y(2)=2\);\(h=0.1,0.05,0.025\) en\([2,3]\)

15. \(y'+2xy=x^2,\quad y(0)=3 \quad\text{(Exercise 2.1.38)};\quad\)\(h=0.2,0.1,0.05\)en\([0,2]\)

16. \( {y'+{1\over x}y={\sin x\over x^2},\quad y(1)=2}; \quad\text{(Exercise 2.1.39)};\quad\)\(h=0.2,0.1,0.05\)en\([1,3]\)

17. \( {y'+y={e^{-x}\tan x\over x},\quad y(1)=0}; \quad\text{(Exercise 2.1.40)};\quad\)\(h=0.05,0.025,0.0125\)en\([1,1.5]\)

18. \( {y'+{2x\over 1+x^2}y={e^x\over (1+x^2)^2}, \quad y(0)=1};\quad\text{(Exercise 2.1.41)};\quad\)\(h=0.2,0.1,0.05\)en\([0,2]\)

19. \(xy'+(x+1)y=e^{x^2},\quad y(1)=2; \quad\text{(Exercise 2.1.42)};\quad\)\(h=0.05,0.025,0.0125\)en\([1,1.5]\)

Q3.1.4

En Ejercicios 3.1.20-3.1.22, utilice el método de Euler y el método semilineal de Euler con los tamaños de paso indicados para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en 11 puntos igualmente espaciados (incluyendo los puntos finales) en el intervalo.

20. \(y'+3y=xy^2(y+1),\quad y(0)=1\);\(h=0.1,0.05,0.025\) en\([0,1]\)

21. \( {y'-4y={x\over y^2(y+1)},\quad y(0)=1}\);\(h=0.1,0.05,0.025\) en\([0,1]\)

22. \( {y'+2y={x^2\over1+y^2},\quad y(2)=1}\);\(h=0.1,0.05,0.025\) en\([2,3]\)

Q3.1.5

23. Cuadratura Numérica. El teorema fundamental del cálculo dice que si\(f\) es continuo en un intervalo cerrado\([a,b]\) entonces tiene una antiderivada\(F\) tal que\(F'(x)=f(x)\) on\([a,b]\) y\[\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a). \tag{A}\] Esto resuelve el problema de evaluar una integral definida si el integrando\(f\) tiene un antiderivado que se puede encontrar y evaluar fácilmente. Sin embargo, si\(f\) no tiene esta propiedad, (A) no proporciona una manera útil de evaluar la integral definida. En este caso debemos recurrir a métodos aproximados. Existe una clase de tales métodos llamada cuadratura numérica, donde la aproximación toma la forma\[\int_a^bf(x)\,dx\approx \sum_{i=0}^n c_if(x_i), \tag{B}\] donde\(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\) se eligen adecuadamente los puntos y\(c_0\),\(c_1\),...,\(c_n\) son constantes elegidas adecuadamente. Llamamos a (B) una fórmula de cuadratura.

1. Derivar la fórmula de cuadratura\[\int_a^bf(x)\,dx\approx h\sum_{i=0}^{n-1}f(a+ih) \tag{C}\] donde\(h=(b-a)/n)\) aplicando el método de Euler al problema de valor inicial\[y'=f(x),\quad y(a)=0.\]
2. La fórmula de cuadratura (C) a veces se llama la regla del rectángulo izquierdo. Dibuja una figura que justifique esta terminología.
3. Para varias opciones de\(a\),\(b\), y\(A\), aplicar (C) a\(f(x)=A\) con\(n = 10,20,40,80,160,320\). Compara tus resultados con las respuestas exactas y explica lo que encuentras.
4. Para varias opciones de\(a\),\(b\),\(A\), y\(B\), aplicar (C) a\(f(x)=A+Bx\) con\(n=10\),\(20\),\(40\),\(80\),\(160\),\(320\). Compara tus resultados con las respuestas exactas y explica lo que encuentras.