4.4: Ecuaciones Autónomas de Segundo Orden
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\[\label{eq:4.4.1} y''=F(y,y')\]
donde\(F\) es independiente de\(t\), se dice que es autónomo. Una ecuación autónoma de segundo orden se puede convertir en una ecuación de primer orden que relaciona\(v=y'\) y\(y\). Si lo dejamos\(v=y'\), la ecuación\ ref {eq:4.4.1} se convierte
\[\label{eq:4.4.2} v'=F(y,v).\]
Desde
\[\label{eq:4.4.3} v'={dv\over dt}={dv\over dy}{dy\over dt}=v{dv\over dy},\]
La ecuación\ ref {eq:4.4.2} se puede reescribir como
\[\label{eq:4.4.4} v{dv\over dy}=F(y,v).\]
Las curvas integrales de la Ecuación\ ref {eq:4.4.4} se pueden trazar en el\((y,v)\) plano, que se denomina el plano de fase Poincaré de la Ecuación\ ref {eq:4.4.1}. Si\(y\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:4.4.1} entonces\(y=y(t), v=y'(t)\) es una ecuación paramétrica para una curva integral de la Ecuación\ ref {eq:4.4.4}. llamaremos a estas curvas integrales trayectorias de la Ecuación\ ref {eq:4.4.1}, y llamaremos a la Ecuación\ ref {eq:4.4.4} la equivalente plano de fase de la Ecuación\ ref {eq:4.4.1}.
En esta sección consideraremos ecuaciones autónomas que se pueden escribir como
\[\label{eq:4.4.5} y''+q(y,y')y'+p(y)=0.\]
Ecuaciones de esta forma a menudo surgen en aplicaciones de la segunda ley del movimiento de Newton. Por ejemplo, supongamos que\(y\) es el desplazamiento de un objeto en movimiento con masa\(m\). Es razonable pensar en dos tipos de fuerzas independientes del tiempo que actúan sobre el objeto. Un tipo -como la gravedad- depende únicamente de la posición. Podríamos escribir tal fuerza como\(-mp(y)\). El segundo tipo -como la resistencia atmosférica o la fricción- puede depender de la posición y la velocidad. (Las fuerzas que dependen de la velocidad se denominan fuerzas de amortiguación). Escribimos esta fuerza como\(-mq(y,y')y'\), donde\(q(y,y')\) suele ser una función positiva y hemos puesto el factor\(y'\) afuera para que sea explícito que la fuerza está en la dirección opuesta al movimiento. En este caso Newton's, segunda ley del movimiento lleva a la Ecuación\ ref {eq:4.4.5}.
El equivalente del plano de fase de la ecuación\ ref {eq:4.4.5} es
\[\label{eq:4.4.6} v{dv\over dy}+q(y,v)v+p(y)=0.\]
Algunas afirmaciones que estaremos haciendo sobre las propiedades de la Ecuación\ ref {eq:4.4.5} y la Ecuación\ ref {eq:4.4.6} son intuitivamente razonables, pero difíciles de probar. Por lo tanto nuestra presentación en esta sección será informal: solo diremos las cosas sin pruebas, todo lo cual es cierto si asumimos que\(p=p(y)\) es continuamente diferenciable para todos\(y\) y\(q=q(y,v)\) es continuamente diferenciable para todos\((y,v)\). Comenzamos con las siguientes declaraciones:
- Declaración 1: Si\(y_0\) y\(v_0\) son números reales arbitrarios entonces Ecuación\(\ref{eq:4.4.5}\) tiene una solución única en\((-\infty,\infty)\) tal que\(y(0)=y_0\) y\(y'(0)=v_0\).
- Declaración 2: Si\(y=y(t)\) es una solución de Ecuación\(\ref{eq:4.4.5}\) y\(\tau\) es cualquier constante entonces también\(y_1=y(t-\tau)\) es una solución de Ecuación\(\ref{eq:4.4.5}\), y\(y\) y\(y_1\) tener la misma trayectoria.
- Declaración 3: Si dos soluciones\(y\) y\(y_1\) de Ecuación\(\ref{eq:4.4.5}\) tienen la misma trayectoria entonces\(y_1(t)=y(t-\tau)\) para alguna constante\(\tau\).
- Declaración 4: Las trayectorias distintas de la Ecuación\(\ref{eq:4.4.5}\) no pueden cruzarse; es decir, si dos trayectorias de la Ecuación se\(\ref{eq:4.4.5}\) cruzan, son idénticas.
- Declaración 5: Si la trayectoria de una solución de la Ecuación\ ref {eq:4.4.5} es una curva cerrada entonces\((y(t),v(t))\) recorre la trayectoria en un tiempo finito\(T\), y la solución es periódica con periodo\(T\); es decir,\(y(t+T)=y(t)\) para todos\(t\) en\((-\infty,\infty)\).
Si\(\overline y\) es una constante tal que\(p(\overline y)=0\) entonces\(y\equiv\overline y\) es una solución constante de la Ecuación\ ref {eq:4.4.5}. Decimos que\(\overline y\) es un equilibrio de la Ecuación\ ref {eq:4.4.5} y\((\overline y,0)\) es un punto crítico del plano de fase ecuación equivalente Ecuación\ ref {eq:4.4.6}. Decimos que el equilibrio y el punto crítico son estables si, para cualquier dado\(\epsilon>0\) no importa cuán pequeño sea, hay un\(\delta>0\), suficientemente pequeño, tal que si
\[\sqrt{(y_0-\overline y)^2+v_0^2}<\delta \nonumber\]
luego la solución del problema de valor inicial
\[y''+q(y,y')y'+p(y)=0,\quad y(0)=y_0,\quad y'(0)=v_0 \nonumber\]
satisface la desigualdad
\[\sqrt{(y(t)-\overline y)^2+(v(t))^2}<\epsilon \nonumber\]
para todos\(t>0\). La figura 4.4.1 ilustra la interpretación geométrica de esta definición en el plano de fase de Poincaré: si\((y_0,v_0)\) está en el círculo sombreado más pequeño (con radio\(\delta\)), entonces\((y(t),v(t))\) debe estar en el círculo más grande (con radio\(\epsilon\)) para todos\(t>0\).
Si un equilibrio y el punto crítico asociado no son estables, decimos que son inestables. Para ver si realmente entiendes lo que significa estable, trata de dar una definición directa de inestable (Ejercicio 4.4.22). ilustraremos ambas definiciones en los siguientes ejemplos.
El estuche sin amortiguar
Comenzaremos con el caso donde\(q\equiv0\), así Ecuación\ ref {eq:4.4.5} se reduce a
\[\label{eq:4.4.7} y''+p(y)=0.\]
Decimos que esta ecuación -así como cualquier situación física que pueda modelar- no está amortiguada. El equivalente del plano de fase de la ecuación\ ref {eq:4.4.7} es la ecuación separable
\[v{dv\over dy}+p(y)=0. \nonumber \]
Integrando estos rendimientos
\[\label{eq:4.4.8} {v^2\over2}+P(y)=c,\]
donde\(c\) es una constante de integración y\(P(y)=\int p(y)\,dy\) es un antiderivado de\(p\).
Si la Ecuación\ ref {eq:4.4.7} es la ecuación de movimiento de un objeto de masa\(m\), entonces\(mv^2/2\) es la energía cinética y\(mP(y)\) es la energía potencial del objeto; así, la Ecuación\ ref {eq:4.4.8} dice que la energía total del objeto permanece constante, o se conserva. En particular, si una trayectoria pasa por un punto dado\((y_0,v_0)\) entonces
\[c={v_0^2\over2}+P(y_0). \nonumber\]
Considera un objeto con masa\(m\) suspendida de un muelle y moviéndose verticalmente. \(y\)Sea el desplazamiento del objeto desde la posición que ocupa cuando se suspende en reposo del muelle (Figura 4.4.2 ).
Supongamos que si la longitud del muelle se cambia en una cantidad\(\Delta L\) (positiva o negativa), entonces el resorte ejerce una fuerza opuesta con magnitud\(k|\Delta L|\), donde k es una constante positiva. En la Sección 6.1, se demostrará que si la masa del resorte es insignificante en comparación con\(m\) y ninguna otra fuerza actúa sobre el objeto, entonces la segunda ley del movimiento de Newton implica que
\[\label{eq:4.4.9} my''=-ky,\]
que se puede escribir en la forma Ecuación\ ref {eq:4.4.7} con\(p(y)=ky/m\). Esta ecuación se puede resolver fácilmente mediante un método que estudiaremos en la Sección 5.2, pero ese método no está disponible aquí. En cambio, consideraremos el equivalente del plano de fase de la Ecuación\ ref {eq:4.4.9}.
De la ecuación\ ref {eq:4.4.3}, podemos reescribir la ecuación\ ref {eq:4.4.9} como la ecuación separable
\[mv{dv\over dy}=-ky. \nonumber\]
Integrando estos rendimientos
\[{mv^2\over2}=-{ky^2\over2}+c, \nonumber\]
lo que implica que
\[\label{eq:4.4.10} mv^2+ky^2=\rho\]
(\(\rho=2c\)). Esto define una elipse en el plano de fase de Poincaré (Figura 4.4.3 ).
Podemos identificar\(\rho\) estableciendo\(t=0\) en la Ecuación\ ref {eq:4.4.10}; así,\(\rho=mv_0^2+ky_0^2\), dónde\(y_0=y(0)\) y\(v_0=v(0)\). Para determinar los valores máximo y mínimo de\(y\) establecemos\(v=0\) en la Ecuación\ ref {eq:4.4.10}; así,
\[\label{eq:4.4.11} y_{\max}=R \quad \text{and} \quad y_{\min}=-R, \quad \text{with} R=\sqrt{\rho\over k}.\]
La ecuación\ ref {eq:4.4.9} tiene exactamente un equilibrio\(\overline y=0\),, y es estable. Se puede ver intuitivamente por qué esto es así: si el objeto se desplaza en cualquier dirección del equilibrio, el resorte intenta traerlo de vuelta.
En este caso podemos encontrar\(y\) explícitamente en función de\(t\). (¡No esperes que esto suceda en problemas más complicados!) Si está\(v>0\) en un intervalo\(I\), la ecuación\ ref {eq:4.4.10} implica que
\[{dy\over dt}=v=\sqrt{\rho-ky^2\over m} \nonumber\]
encendido\(I\). Esto equivale a
\[\label{eq:4.4.12} {\sqrt k\over\sqrt{\rho-ky^2}}{dy\over dt}=\omega_0,\quad \text{where} \quad \omega_0=\sqrt{k\over m}.\]
Desde
\[ \begin{align*} \int{\sqrt k\,dy\over\sqrt{\rho-ky^2}} &=\sin^{-1}\left(\sqrt{k\over\rho }y\right)+c \\[4pt] &=\sin^{-1}\left(y\over R\right)+c \end{align*}\]
(ver Ecuación\ ref {eq:4.4.11}), Ecuación\ ref {eq:4.4.12} implica que hay una constante\(\phi\) tal que
\[\sin^{-1}\left(y\over R\right)=\omega_0 t+\phi \nonumber\]
o
\[y=R\sin(\omega_0 t+\phi) \nonumber\]
para todos\(t\) en\(I\). Aunque obtuvimos esta función asumiendo que\(v>0\), se puede verificar fácilmente que\(y\) satisface la Ecuación\ ref {eq:4.4.9} para todos los valores de\(t\). Así, el desplazamiento varía periódicamente entre\(-R\) y\(R\), con periodo\(T=2\pi/\omega_0\) (Figura 4.4.4 ). (Si has tomado un curso de mecánica elemental, puedes reconocer esto como simple movimiento armónico).
Ahora consideramos el movimiento de un péndulo con masa\(m\), unido al extremo de una varilla sin peso con longitud\(L\) que gira sobre un eje sin fricción (Figura 4.4.5 ). Suponemos que no hay resistencia al aire.
\(y\)Sea el ángulo medido desde la posición de reposo (verticalmente hacia abajo) del péndulo, como se muestra en la Figura 4.4.5 . La segunda ley del movimiento de Newton dice que el producto\(m\) y la aceleración tangencial es igual al componente tangencial de la fuerza gravitacional; por lo tanto, de la Figura 4.4.5 ,
\[mLy''=-mg\sin y, \nonumber\]
o
\[\label{eq:4.4.13} y''=-{g\over L} \sin y.\]
Ya que\(\sin n\pi=0\) si\(n\) es cualquier entero, la Ecuación\ ref {eq:4.4.13} tiene infinitamente muchos equilibrios\(\overline y_n=n\pi\). Si\(n\) es par, la masa está directamente por debajo del eje (Figura\(\PageIndex{6a}\)) y la gravedad se opone a cualquier desviación del equilibrio.
Sin embargo, si\(n\) es impar, la masa está directamente por encima del eje (Figura\(\PageIndex{6b}\)) y la gravedad aumenta cualquier desviación del equilibrio. Por lo tanto, concluimos por motivos físicos que\(\overline y_{2m}=2m\pi\)\(\overline y_{2m+1}=(2m+1)\pi\) es estable e inestable.
El equivalente plano de fase de la ecuación\ ref {eq:4.4.13} es
\[v{dv\over dy}=-{g\over L}\sin y, \nonumber\]
donde\(v=y'\) está la velocidad angular del péndulo. Integrando estos rendimientos
\[\label{eq:4.4.14} {v^2\over2}={g\over L}\cos y+c.\]
Si\(v=v_0\) cuando\(y=0\), entonces
\[c={v_0^2\over2}-{g\over L}, \nonumber\]
así que la ecuación\ ref {eq:4.4.14} se convierte
\[ \begin{align*} {v^2\over2} &={v_0^2\over2}-{g\over L}(1-\cos y) \\[4pt] &={v_0^2\over2}-{2g\over L}\sin^2{y\over2}, \end{align*}\]
que es equivalente a
\[\label{eq:4.4.15} v^2=v_0^2-v_c^2\sin^2{y\over2},\]
donde
\[v_c=2\sqrt{g\over L}. \nonumber\]
Las curvas definidas por la Ecuación\ ref {eq:4.4.15} son las trayectorias de la Ecuación\ ref {eq:4.4.13}. Son periódicos con punto\(2\pi\) en\(y\), lo cual no es sorprendente, ya que si\(y=y(t)\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:4.4.13} entonces así es\(y_n=y(t)+2n\pi\) para cualquier entero\(n\). La figura 4.4.7 muestra trayectorias a lo largo del intervalo\([-\pi,\pi]\). De la Ecuación\ ref {eq:4.4.15}, se puede ver que si\(|v_0|>v_c\) entonces\(v\) es distinto de cero para todos\(t\), lo que significa que el objeto gira en la misma dirección para siempre, como en la Figura 4.4.8 . Las trayectorias asociadas con este movimiento de giro están por encima de la curva discontinua superior y por debajo de la curva discontinua inferior en la Figura 4.4.7 . También se puede ver en la Ecuación\ ref {eq:4.4.15} que si\(0<|v_{0}|<v_{c}\), entonces\(v=0\) cuándo\(y=\pm y_{max}\), dónde
\[y_{\max}=2\sin^{-1}(|v_0|/v_c). \nonumber\]
En este caso el péndulo oscila periódicamente entre\(-y_{\max}\) y\(y_{\max}\), como se muestra en la Figura 4.4.9 . Las trayectorias asociadas a este tipo de movimiento son los óvalos entre las curvas discontinuas en la Figura 4.4.7 . Se puede mostrar (ver Ejercicio 4.4.21 para una prueba parcial) que el periodo de la oscilación es
\[\label{eq:4.4.16} T=8\int_0^{\pi/2}{d\theta\over\sqrt{v_c^2-v_0^2\sin^2\theta}}.\]
Si bien esta integral no puede ser evaluada en términos de funciones elementales familiares, se puede ver que es finita si\(|v_0|<v_c\). >
Las curvas discontinuas en la Figura 4.4.7 contienen cuatro trayectorias. Los puntos críticos\((\pi,0)\) y\((-\pi,0)\) son las trayectorias de las soluciones de equilibrio inestable\(\overline y=\pm\pi\). La curva discontinua superior que los conecta (pero no incluye) se obtiene a partir de las condiciones iniciales de la forma\(y(t_0)=0,\ v(t_0)=v_c\). Si\(y\) hay alguna solución con esta trayectoria entonces
\[\displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=\pi \quad \text{and} \quad \displaystyle \lim_{t\to-\infty}y(t)=-\pi. \nonumber\]
La curva discontinua inferior que los conecta (pero no incluye) se obtiene a partir de las condiciones iniciales de la forma\(y(t_0)=0,\ v(t_0)=-v_c\). Si\(y\) hay alguna solución con esta trayectoria entonces
\[\displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=-\pi\quad \text{and} \quad \displaystyle \lim_{t\to-\infty}y(t)=\pi. \nonumber\]
Consistente con esto, la Ecuación integral\ ref {eq:4.4.16} diverge a\(\infty\) if\(v_0=\pm v_c\). (Ejercicio 4.4.21).
Dado que las curvas discontinuas separan las trayectorias de las soluciones giratorias de las trayectorias de las soluciones oscilantes, cada una de estas curvas se denomina separatriz.
En general, si la Ecuación\ ref {eq:4.4.7} tiene equilibrios tanto estables como inestables entonces las separatrices son las curvas dadas por la Ecuación\ ref {eq:4.4.8} que pasan por puntos críticos inestables. Por lo tanto, si\((\overline y,0)\) es un punto crítico inestable, entonces
\[\label{eq:4.4.17} {v^2\over 2}+P(y)=P(\overline y)\]
define una separatriz que pasa a través\((\overline y,0)\).
Condiciones de Estabilidad e Inestabilidad para y” + p (y) = 0
Se puede demostrar (Ejercicio 4.4.23) que un equilibrio\(\overline y\) de una ecuación no amortiguada
\[\label{eq:4.4.18} y''+p(y)=0\]
es estable si hay un intervalo abierto\((a,b)\) que contenga\(\overline y\) tal
\[\label{eq:4.4.19} p(y)<0\text{ if }a<y<\overline{y}\text{ and } p(y)>0\text{ if }\overline{y}<y<b\]
Si consideramos\(p(y)\) como una fuerza que actúa sobre una masa unitaria, Ecuación\ ref {eq:4.4.19} significa que la fuerza resiste todos los desplazamientos suficientemente pequeños de\(\overline y\).
Ya hemos visto ejemplos que ilustran este principio. La ecuación Ecuación\ ref {eq:4.4.9} para el sistema de masa de resorte no amortiguado es de la forma Ecuación\ ref {eq:4.4.18} con\(p(y)=ky/m\), que solo tiene el equilibrio estable\(\overline y=0\). En este caso Ecuación\ ref {eq:4.4.19} se mantiene con\(a=-\infty\) y\(b=\infty\). La ecuación Ecuación\ ref {eq:4.4.13} para el péndulo no amortiguado es de la forma Ecuación\ ref {eq:4.4.18} con\(p(y)=(g/L)\sin y\). Hemos visto que\(\overline y=2m\pi\) es un equilibrio estable si\(m\) es un entero. En este caso
\[p(y)=\sin y<0\text{ if } (2m-1)\pi <y<2m\pi \nonumber \]
y
\[p(y)>0\text{ if } 2m\pi <y<(2m+1)\pi \nonumber \]
También se puede mostrar (Ejercicio 4.4.24) que\(\overline y\) es inestable si hay\(b>\overline y\) tal que
\[\label{eq:4.4.20} p(y)<0\text{ if } \overline{y}<y<b\]
o\(a<\overline y\) tal que
\[\label{eq:4.4.21} p(y)>0\text{ if } a<y<\overline{y}\]
Si consideramos\(p(y)\) como una fuerza que actúa sobre una masa unitaria, Ecuación\ ref {eq:4.4.20} significa que la fuerza tiende a aumentar todos los desplazamientos positivos suficientemente pequeños desde\(\overline y\), mientras que Ecuación\ ref {eq:4.4.21} significa que la fuerza tiende a aumentar la magnitud de todos los negativos suficientemente pequeños desplazamientos de\(\overline y\).
El péndulo sin amortiguar también ilustra este principio. Hemos visto que\(\overline y=(2m+1)\pi\) es un equilibrio inestable si\(m\) es un entero. En este caso
\[\sin y<0\text{ if }(2m+1)\pi <y<(2m+2)\pi \nonumber \]
así que la ecuación\ ref {eq:4.4.20} se mantiene con\(b=(2m+2)\pi\), y
\[\sin y>0\text{ if }2m\pi <y<(2m+1)\pi \nonumber \]
así Ecuación\ ref {eq:4.4.21} se mantiene con\(a=2m\pi\).
La ecuación
\[\label{eq:4.4.22} y''+y(y-1)=0\]
es de la forma Ecuación\ ref {eq:4.4.18} con\(p(y)=y(y-1)\). Por lo tanto\(\overline y=0\) y\(\overline y=1\) son los equilibrios de la Ecuación\ ref {eq:4.4.22}. Desde
\[\begin{aligned} y(y-1)&>0 &\text{if} &y<0 \text{ or }y>1 \\ &<0 &\text{if} &0<y<1 \end{aligned} \nonumber \]
\(\overline y=0\)es inestable y\(\overline y=1\) estable.
El equivalente plano de fase de la ecuación\ ref {eq:4.4.22} es la ecuación separable
\[v{dv\over dy}+y(y-1)=0. \nonumber \]
Integración de rendimientos
\[{v^2\over2}+{y^3\over3}-{y^2\over2}=C, \nonumber\]
que reescribimos como
\[\label{eq:4.4.23} v^2+{1\over3}y^2(2y-3)=c\]
después de renombrar la constante de integración. Estas son las trayectorias de la Ecuación\ ref {eq:4.4.22}. Si\(y\) hay alguna solución de la Ecuación\ ref {eq:4.4.22}, el punto\((y(t),v(t))\) se mueve a lo largo de la trayectoria de\(y\) en la dirección de aumentar\(y\) en el medio plano superior (\(v=y'>0\)), o en la dirección de disminuir\(y\) en el medio plano inferior (\(v=y'<0\)).
La figura 4.4.10 muestra trayectorias típicas. La curva discontinua a través del punto crítico\((0,0)\), obtenida estableciendo\(c=0\) en la Ecuación\ ref {eq:4.4.23}, separa el\(v\) plano\(y\) - en regiones que contienen diferentes tipos de trayectorias; nuevamente, llamamos a esta curva una separatriz. Las trayectorias en la región delimitada por el bucle cerrado (b) son curvas cerradas, por lo que las soluciones asociadas a ellas son periódicas. Las soluciones asociadas a otras trayectorias no son periódicas. Si\(y\) hay alguna solución de este tipo con trayectoria no en la separatriz, entonces
\[\begin{array}{llrllr} \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t) &= -\infty, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}y(t) &= -\infty,\\ \displaystyle \lim_{t\to\infty}v(t) &= -\infty, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}v(t) &= \infty. \end{array} \nonumber \]
La separatriz contiene cuatro trayectorias de la Ecuación\ ref {eq:4.4.22}. Uno es el punto\((0,0)\), la trayectoria del equilibrio\(\overline y=0\). Dado que distintas trayectorias no pueden cruzarse, los segmentos de la separatriz marcados (a), b y (c) —que no incluyen\((0,0)\) — son trayectorias distintas, ninguna de las cuales puede ser atravesada en tiempo finito. Las soluciones con estas trayectorias tienen el siguiente comportamiento asintótico:
\[\begin{array}{llrllrl} \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t) &= 0, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}y(t) &= -\infty,\\ \displaystyle \lim_{t\to\infty}v(t) &= 0, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}v(t) &= \infty\phantom{,}& \text{(on (a))} \\ \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t) &= 0, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}y(t) &= 0,\\ \displaystyle \lim_{t\to\infty}v(t) &= 0, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}v(t) &= 0\phantom{,}& \text{(on (b))} \\ \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t) &= -\infty, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}y(t) &= 0,\\ \displaystyle \lim_{t\to\infty}v(t) &= -\infty, &\displaystyle \lim_{t\to-\infty}v(t) &= 0\phantom{,}& \text{(on (c))}. \end{array}. \nonumber \]
El estuche amortiguado
El equivalente del plano de fase de la ecuación autónoma amortiguada
\[\label{eq:4.4.24} y''+q(y,y')y'+p(y)=0\]
es
\[v{dv\over dy}+q(y,v)v+p(y)=0. \nonumber\]
Esta ecuación no es separable, por lo que no podemos resolverla\(v\) en términos de\(y\), como hicimos en el caso sin amortiguar, y la conservación de energía no se sostiene. (Por ejemplo, se pierde la energía gastada en superar la fricción). Sin embargo, podemos estudiar el comportamiento cualitativo de sus soluciones reescribiéndola como
\[\label{eq:4.4.25} {dv\over dy}=-q(y,v)-{p(y)\over v}\]
y considerando los campos de dirección para esta ecuación.
En los siguientes ejemplos también estaremos mostrando trayectorias generadas por computadora de esta ecuación, obtenidas por métodos numéricos. Los ejercicios exigen cálculos similares. Los métodos discutidos en el Capítulo 3 no son adecuados para esta tarea, ya que\(p(y)/v\) en la Ecuación\ ref {eq:4.4.25} no está definido en el\(y\) eje del plano de fase de Poincaré. Por lo tanto, nos vemos obligados a aplicar métodos numéricos brevemente discutidos en la Sección 10.1 al sistema
\[\begin{aligned} y'&= v\\ v'&= -q(y,v)v-p(y),\end{aligned}\]
que es equivalente a la Ecuación\ ref {eq:4.4.24} en el sentido definido en la Sección 10.1. Afortunadamente, la mayoría de los paquetes de software de ecuaciones diferenciales le permiten hacer esto sin dolor.
En el texto nos limitaremos al caso donde\(q\) es constante, así Ecuación\ ref {eq:4.4.24} y Ecuación\ ref {eq:4.4.25} reducir a
\[\label{eq:4.4.26} y''+cy'+p(y)=0\]
y
\[{dv\over dy}=-c-{p(y)\over v}. \nonumber\]
(consideraremos ecuaciones más generales en los ejercicios.) La constante\(c\) se llama constante de amortiguación. En situaciones donde la Ecuación\ ref {eq:4.4.26} es la ecuación de movimiento de un objeto,\(c\) es positiva; sin embargo, hay situaciones donde\(c\) puede ser negativa.
El sistema de masa de resorte amortiguado
Anteriormente se consideró el sistema de resorte - masa bajo el supuesto de que las únicas fuerzas que actuaban sobre el objeto eran la gravedad y la resistencia del resorte a los cambios en su longitud. Ahora vamos a suponer que algún mecanismo (por ejemplo, fricción en el resorte o resistencia atmosférica) se opone al movimiento del objeto con una fuerza proporcional a su velocidad. En la Sección 6.1 se demostrará que en este caso la segunda ley de movimiento de Newton implica que
\[\label{eq:4.4.27} my''+cy'+ky=0,\]
donde\(c>0\) esta la constante de amortiguacion. Nuevamente, esta ecuación se puede resolver fácilmente mediante un método que estudiaremos en la Sección 5.2, pero ese método no está disponible aquí. En cambio, consideraremos su equivalente de plano de fase, que puede escribirse en la forma Ecuación\ ref {eq:4.4.25} como
\[\label{eq:4.4.28} {dv\over dy}=-{c\over m}-{ky\over mv}.\]
(Una nota menor: la\(c\) en la Ecuación\ ref {eq:4.4.26} realmente corresponde a\(c/m\) en esta ecuación.) La figura 4.4.11 muestra un campo de dirección típico para una ecuación de esta forma. Recordando que el movimiento a lo largo de una trayectoria debe ser en la dirección de aumentar\(y\) en el medio plano superior (\(v>0\)) y en la dirección de disminuir\(y\) en el medio plano inferior (\(v<0\)), se puede inferir que todas las trayectorias se acercan al origen en el sentido de las agujas del reloj. Para confirmar esto, la Figura 4.4.12 muestra el mismo campo de dirección con algunas trayectorias rellenadas. Todas las trayectorias allí mostradas corresponden a soluciones del problema de valor inicial
\[my''+cy'+ky=0,\quad y(0)=y_0,\quad y'(0)=v_0, \nonumber\]
donde
\[mv_0^2+ky_0^2=\rho\quad (\mbox{a positive constant}); \nonumber \]
así, si no hubiera amortiguación (\(c=0\)), todas las soluciones tendrían la misma trayectoria elíptica discontinua, mostrada en la Figura 4.4.14 .
Las soluciones correspondientes a las trayectorias de la Figura 4.4.12 cruzan infinitamente el\(y\) eje muchas veces. Se dice que las soluciones correspondientes son oscilatorias (Figura 4.4.13 ) Se muestra en la Sección 6.2 que hay un número\(c_1\) tal que si\(0\leq c<c_{1}\) entonces todas las soluciones de (4.4.27 ) son oscilatorias, mientras que si\(c\geq c_{1}\), no hay soluciones de (4.4.27 ) tienen esta propiedad. (De hecho, ninguna solución que no sea idéntica a cero puede tener más de dos ceros en este caso). La Figura 4.4.14 muestra un campo de dirección y algunas curvas integrales para (4.4.28 ) en este caso.
Ahora volvemos al péndulo. Si asumimos que algún mecanismo (por ejemplo, fricción en el eje o resistencia atmosférica) se opone al movimiento del péndulo con una fuerza proporcional a su velocidad angular, la segunda ley de movimiento de Newton implica que
\[\label{eq:4.4.29} mLy''=-cy'-mg\sin y,\]
donde\(c>0\) esta la constante de amortiguacion. (Nuevamente, una nota menor: la\(c\) en la Ecuación\ ref {eq:4.4.26} realmente corresponde a\(c/mL\) en esta ecuación.) Para trazar un campo de dirección para la Ecuación\ ref {eq:4.4.29} escribimos su equivalente de plano de fase como
\[{dv\over dy}=-{c\over mL}-{g\over Lv}\sin y. \nonumber\]
La figura 4.4.15 muestra trayectorias de cuatro soluciones de Ecuación\ ref {eq:4.4.29}, todas satisfactorias\(y(0)=0\). Para cada uno\(m=0\)\(1\),\(2\),\(3\), impartir la velocidad inicial\(v(0)=v_m\) hace que el péndulo realice revoluciones\(m\) completas y luego se asiente en oscilación en descomposición alrededor del equilibrio estable\(\overline y=2m\pi\).
