5: Ecuaciones lineales de segundo orden
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En este Capítulo, estudiamos una clase particularmente importante de ecuaciones de segundo orden. Debido a sus múltiples aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, las ecuaciones diferenciales de segundo orden han sido históricamente la clase de ecuaciones diferenciales más estudiadas. La investigación sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales de segundo orden continúa hasta nuestros días. Este capítulo está dedicado a las ecuaciones de segundo orden que se pueden escribir en la forma $$ P_0 (x) y"+P_1 (x) y'+P_2 (x) y=F (x). \ nonumber $$ Se dice que tales ecuaciones son lineales. Como en el caso de las ecuaciones lineales de primer orden, se dice que esta ecuación diferencial es homogénea si\(F\equiv0\), o no homogénea si\(F \not \equiv 0\).
- 5.1: Ecuaciones Lineales Homogéneas
- Esta sección está dedicada a la teoría de ecuaciones lineales homogéneas.
- 5.2: Ecuaciones homogéneas de coeficiente constante
- Esta sección trata de ecuaciones homogéneas de la forma especial ay″+por′+cy=0, donde a, b y c son constantes (a≠ 0). Cuando hayas completado esta sección sabrás todo lo que hay que saber para resolver este tipo de ecuaciones.
- 5.3: Ecuaciones lineales no homogéneas
- En esta sección se presenta la teoría de las ecuaciones lineales no homogéneas.
- 5.4: El Método de Coeficientes Indeterminados I
- En esta sección se presenta el método de coeficientes indeterminados, que pueden ser utilizados para resolver ecuaciones no homogéneas de la forma Ay"+by'+Cy=F (x) donde a, b, y c son constantes y F (x) tiene una forma especial que todavía es suficientemente general para ocurrir en muchas aplicaciones. Esta sección hace un uso extensivo de la idea de variación de parámetros introducidos anteriormente.
- 5.5: El Método de Coeficientes Indeterminados II
- En esta sección, utilizamos el Método de Coeficientes Indeterminados para encontrar soluciones a la ecuación de coeficiente constante ay"+por'+cy=exp {λx} (P (x) cos ω x + Q (x) sin ω x) donde λ y ω son números reales, ω no es cero, y P y Q son polinomios.
- 5.6: Reducción de Orden
- Esta sección trata de la reducción del orden, técnica basada en la idea de variación de parámetros, que nos permite encontrar la solución general de una ecuación lineal de segundo orden no homogénea siempre que conozcamos una solución no trivial (no idéntica cero) de la ecuación homogénea asociada.
- 5.7: Variación de parámetros
- Esta sección trata del método tradicionalmente llamado variación de parámetros, que nos permite encontrar la solución general de una ecuación lineal de segundo orden no homogénea siempre que conozcamos dos soluciones no triviales (con relación no constante) de la ecuación homogénea asociada.