5.3E: Ecuaciones Lineales No Homogénicas (Ejercicios)
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En Ejercicios 5.3.1-5.3.6 encontrar una solución particular por el método utilizado en el Ejemplo 5.3.2. Después encuentre la solución general y, donde se indique, resuelva el problema de valor inicial y grafique la solución.
1. \(y''+5y'-6y=22+18x-18x^2\)
2. \(y''-4y'+5y=1+5x\)
3. \(y''+8y'+7y=-8-x+24x^2+7x^3\)
4. \(y''-4y'+4y=2+8x-4x^2\)
5. \(y''+2y'+10y=4+26x+6x^2+10x^3, \quad y(0)=2, \quad y'(0)=9\)
6. \(y''+6y'+10y=22+20x, \quad y(0)=2,\; y'(0)=-2\)
Q5.3.2
7. Demostrar que el método utilizado en el Ejemplo 5.3.2 no dará una solución particular de
\[y''+y'=1+2x+x^2; \tag{A}\]
es decir, (A) no tiene una solución particular de la forma\(y_p=A+Bx+Cx^2\), donde\(A\),\(B\), y\(C\) son constantes.
Q5.3.3
En Ejercicios 5.3.8-5.3.13 encontrar una solución particular por el método utilizado en el Ejemplo 5.3.3.
8. \(x^{2}y'' +7xy'+8y=\frac{6}{x}\)
9. \(x^{2}y''-7xy'+7y=13x^{1/2}\)
10. \(x^{2}y''-xy'+y=2x^{3}\)
11. \(x^{2}y''+5xy'+4y=\frac{1}{x^{3}}\)
12. \(x^{2}y''+xy'+y=10x^{1/3}\)
13. \(x^{2}y''-3xy'+13y=2x^{4}\)
Q5.3.4
14. Demostrar que el método sugerido para encontrar una solución particular en los Ejercicios 5.3.8-5.3.13 no dará una solución particular de
\[x^2y''+3xy'-3y={1\over x^3}; \tag{A}\]
es decir, (A) no tiene una solución particular de la forma\(y_p=A/x^3\).15. Demostrar: Si\(a\)\(b\)\(c\),,\(\alpha\),, y\(M\) son constantes y\(M\ne0\) entonces
\[ax^2y''+bxy'+cy=M x^\alpha\]
tiene una solución particular\(y_p=Ax^\alpha\) (\(A=\)constante) si y solo si\(a\alpha(\alpha-1)+b\alpha+c\ne0\).
Q5.3.5
Si\(a, b, c,\) y\(\alpha\) son constantes, entonces\[\alpha (e^{\alpha x})'' +b(e^{\alpha x})'+ce^{\alpha x} = (a\alpha ^{2}+b\alpha + c)e^{\alpha x}.\] Use esto en Ejercicios 5.3.16-5.3.21 para encontrar una solución particular. Después encuentre la solución general y, donde se indique, resuelva el problema de valor inicial y grafique la solución.
16. \(y''+5y'-6y=6e^{3x}\)
17. \(y''-4y'+5y=e^{2x}\)
18. \(y''+8y'+7y=10e^{-2x}, \quad y(0)=-2,\; y'(0)=10\)
19. \(y''-4y'+4y=e^{x}, \quad y(0)=2,\quad y'(0)=0\)
20. \(y''+2y'+10y=e^{x/2}\)
21. \(y''+6y'+10y=e^{-3x}\)
Q5.3.6
22. Demostrar que el método sugerido para encontrar una solución particular en los Ejercicios 5.3.16-5.3.21 no dará una solución particular de
\[y''-7y'+12y=5e^{4x}; \tag{A}\]
es decir, (A) no tiene una solución particular de la forma\(y_p=Ae^{4x}\).23. Demostrar: Si\(\alpha\) y\(M\) son constantes y\(M\ne0\) luego ecuación de coeficiente constante
\[ay''+by'+cy=M e^{\alpha x}\]
tiene una solución particular\(y_p=Ae^{\alpha x}\) (\(A=\)constante) si y sólo si\(e^{\alpha x}\) no es una solución de la ecuación complementaria.
Q5.3.7
Si\(ω\) es una constante, diferenciar una combinación lineal de\(\cos ωx\) y\(\sin ωx\) con respecto a\(x\) produce otra combinación lineal de\(\cos ωx\) y\(\sin ωx\). En Ejercicios 5.3.24-5.3.29 usa esto para encontrar una solución particular de la ecuación. Después encuentre la solución general y, donde se indique, resuelva el problema de valor inicial y grafique la solución.
24. \(y''-8y'+16y=23\cos x-7\sin x\)
25. \(y''+y'=-8\cos2x+6\sin2x\)
26. \(y''-2y'+3y=-6\cos3x+6\sin3x\)
27. \(y''+6y'+13y=18\cos x+6\sin x\)
28. \(y''+7y'+12y=-2\cos2x+36\sin2x, \quad y(0)=-3,\quad y'(0)=3\)
29. \(y''-6y'+9y=18\cos3x+18\sin3x, \quad y(0)=2,\quad y'(0)=2\)
Q5.3.8
30. Encuentre la solución general de
\[y''+\omega_0^2y =M\cos\omega x+N\sin\omega x,\]
donde\(M\) y\(N\) son constantes y\(\omega\) y\(\omega_0\) son números positivos distintos.31. Demostrar que el método sugerido para encontrar una solución particular en los Ejercicios 5.3.24-5.3.29 no dará una solución particular de
\[y''+y=\cos x+\sin x; \tag{A}\]
es decir, (A) no tiene una solución particular de la forma\(y_p=A\cos x+B\sin x\).32. Demostrar: Si\(M\),\(N\) son constantes (no ambas cero) y\(\omega>0\), la ecuación del coeficiente constante
\[ay''+by'+cy=M\cos\omega x+N\sin\omega x \tag{A}\]
tiene una solución particular que es una combinación lineal de\(\cos\omega x\) y\(\sin\omega x\) si y sólo si el lado izquierdo de (A) no es de la forma\(a(y''+\omega^2y)\), por lo que\(\cos\omega x\) y\(\sin\omega x\) son soluciones de la ecuación complementaria.
Q5.3.9
En Ejercicios 5.3.33-5.3.38 se refieren a los ejercicios citados y utilizan el principio de superposición para encontrar una solución particular. Entonces encuentra la solución general.
33. \(y''+5y'-6y=22+18x-18x^2+6e^{3x}\)(Ver Ejercicios 5.3.1 y 5.3.16.)
34. \(y''-4y'+5y=1+5x+e^{2x}\)(Ver Ejercicios 5.3.2 y 5.3.17. )
35. \(y''+8y'+7y=-8-x+24x^2+7x^3+10e^{-2x}\)(Ver Ejercicios 5.3.3 y 5.3.18.)
36. \(y''-4y'+4y=2+8x-4x^2+e^{x}\)(Ver Ejercicios 5.3.4 y 5.3.19.)
37. \(y''+2y'+10y=4+26x+6x^2+10x^3+e^{x/2}\)(Ver Ejercicios 5.3.5 y 5.3.20.)
38. \(y''+6y'+10y=22+20x+e^{-3x}\)(Ver Ejercicios 5.3.6 y 5.3.21.)
Q5.3.10
39. Demostrar: Si\(y_{p_1}\) es una solución particular de
\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=F_1(x)\]
\((a,b)\)y\(y_{p_2}\) es una solución particular de\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=F_2(x)\]
en\((a,b)\), entonces\(y_p=y_{p_1}+y_{p_2}\) es una solución de\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=F_1(x)+F_2(x)\]
encendido\((a,b)\).40. Supongamos\(p\)\(q\),, y\(f\) son continuos en\((a,b)\). Dejar\(y_1\),\(y_2\), y\(y_p\) ser dos veces diferenciable en\((a,b)\), tal que\(y=c_1y_1+c_2y_2+y_p\) es una solución de
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f\]
encendido\((a,b)\) para cada elección de las constantes\(c_1,c_2\). Demostrar eso\(y_1\) y\(y_2\) son soluciones de la ecuación complementaria sobre\((a,b)\).