5.4E: El Método de Coeficientes Indeterminados I (Ejercicios)

Q5.4.1

En Ejercicios 5.4.1-5.4.14 encontrar una solución particular.

1. \(y''-3y'+2y=e^{3x}(1+x)\)

2. \(y''-6y'+5y=e^{-3x}(35-8x)\)

3. \(y''-2y'-3y=e^x(-8+3x)\)

4. \(y''+2y'+y=e^{2x}(-7-15x+9x^2)\)

5. \(y''+4y=e^{-x}(7-4x+5x^2)\)

6. \(y''-y'-2y=e^x(9+2x-4x^2)\)

7. \(y''-4y'-5y=-6xe^{-x}\)

8. \(y''-3y'+2y=e^x(3-4x)\)

9. \(y''+y'-12y=e^{3x}(-6+7x)\)

10. \(2y''-3y'-2y=e^{2x}(-6+10x)\)

11. \(y''+2y'+y=e^{-x}(2+3x)\)

12. \(y''-2y'+y=e^x(1-6x)\)

13. \(y''-4y'+4y=e^{2x}(1-3x+6x^2)\)

14. \(9y''+6y'+y=e^{-x/3}(2-4x+4x^2)\)

Q5.4.2

En Ejercicios 5.4.15-5.4.19 encuentra la solución general.

15. \(y''-3y'+2y=e^{3x}(1+x)\)

16. \(y''-6y'+8y=e^x(11-6x)\)

17. \(y''+6y'+9y=e^{2x}(3-5x)\)

18. \(y''+2y'-3y=-16xe^x\)

19. \(y''-2y'+y=e^x(2-12x)\)

Q5.4.3

En Ejercicios 5.4.20-5.4.23 resolver el problema de valor inicial y trazar la solución.

20. \(y''-4y'-5y=9e^{2x}(1+x), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=-10\)

21. \(y''+3y'-4y=e^{2x}(7+6x), \quad y(0)=2,\quad y'(0)=8\)

22. \(y''+4y'+3y=-e^{-x}(2+8x), \quad y(0)=1,\quad y'(0)=2\)

23. \(y''-3y'-10y=7e^{-2x}, \quad y(0)=1,\quad y'(0)=-17\)

Q5.4.4

En Ejercicios 5.4.24-5.4.29 utilizan el principio de superposición para encontrar una solución particular.

24. \(y''+y'+y=xe^x+e^{-x}(1+2x)\)

25. \(y''-7y'+12y=-e^x(17-42x)-e^{3x}\)

26. \(y''-8y'+16y=6xe^{4x}+2+16x+16x^2\)

27. \(y''-3y'+2y=-e^{2x}(3+4x)-e^x\)

28. \(y''-2y'+2y=e^x(1+x)+e^{-x}(2-8x+5x^2)\)

29. \(y''+y=e^{-x}(2-4x+2x^2)+e^{3x}(8-12x-10x^2)\)

Q5.4.5

30.

1. Demostrar que\(y\) es una solución de la ecuación de coeficiente constante\[ay''+by'+cy=e^{\alpha x}G(x) \tag{A}\] si y sólo si\(y=ue^{\alpha x}\), donde\(u\) satisface\[au''+p'(\alpha)u'+p(\alpha)u=G(x) \tag{B}\] y\(p(r)=ar^2+br+c\) es el polinomio característico de la ecuación complementaria\[ay''+by'+cy=0.\nonumber \] Para el resto de este ejercicio, deja\(G\) ser un polinomio. Entregar las pruebas solicitadas para el caso donde\[G(x)=g_0+g_1x+g_2x^2+g_3x^3.\nonumber \]
2. Demostrar que si\(e^{\alpha x}\) no es una solución de la ecuación complementaria entonces (B) tiene una solución particular de la forma\(u_p=A(x)\), donde\(A\) es un polinomio del mismo grado que\(G\), como en el Ejemplo 5.4.4. Concluir que (A) tiene una solución particular de la forma\(y_p=e^{\alpha x}A(x)\).
3. Mostrar que si\(e^{\alpha x}\) es una solución de la ecuación complementaria y\(xe^{\alpha x}\) no lo es, entonces (B) tiene una solución particular de la forma\(u_p=xA(x)\), donde\(A\) es un polinomio del mismo grado que\(G\), como en el Ejemplo 5.4.5. Concluir que (A) tiene una solución particular de la forma\(y_p=xe^{\alpha x}A(x)\).
4. Demostrar que si\(e^{\alpha x}\) y\(xe^{\alpha x}\) son ambas soluciones de la ecuación complementaria entonces (B) tiene una solución particular de la forma\(u_p=x^2A(x)\), donde\(A\) es un polinomio del mismo grado que\(G\), y se\(x^2A(x)\) puede obtener integrando\(G/a\) dos veces, tomando las constantes de integración para ser cero, como en el Ejemplo 5.4.6. Concluir que (A) tiene una solución particular de la forma\(y_p=x^2e^{\alpha x}A(x)\).

Q5.4.6

Los ejercicios 5.4.31—5.4.36 tratan las ecuaciones consideradas en los Ejemplos 5.4.1—5.4.6. Sustituir la forma sugerida de\(y_{p}\) en la ecuación e igualar los coeficientes resultantes de funciones similares en los dos lados de la ecuación resultante para derivar un conjunto de ecuaciones simultáneas para los coeficientes en\(y_{p}\). Entonces resuelve para que los coeficientes obtengan\(y_{p}\). Compara el trabajo que has realizado con el trabajo requerido para obtener los mismos resultados en los Ejemplos 5.4.1—5.4.6.

31. Comparar con el Ejemplo 5.4.1:

\[y''-7y'+12y=4e^{2x};\quad y_p=Ae^{2x}\nonumber \]

32. Comparar con el Ejemplo 5.4.2:

\[y''-7y'+12y=5e^{4x};\quad y_p=Axe^{4x}\nonumber \]

33. Comparar con el Ejemplo 5.4.3:

\[y''-8y'+16y=2e^{4x};\quad y_p=Ax^2e^{4x}\nonumber \]

34. Comparar con el Ejemplo 5.4.4:

\[y''-3y'+2y=e^{3x}(-1+2x+x^2),\quad y_p=e^{3x}(A+Bx+Cx^2)\nonumber \]

35. Comparar con el Ejemplo 5.4.5:

\[y''-4y'+3y=e^{3x}(6+8x+12x^2),\quad y_p=e^{3x}(Ax+Bx^2+Cx^3)\nonumber \]

36. Comparar con el Ejemplo 5.4.6:

\[4y''+4y'+y=e^{-x/2}(-8+48x+144x^2),\quad y_p=e^{-x/2}(Ax^2+Bx^3+Cx^4)\nonumber \]

Q5.4.7

37. Escribe\(y=ue^{\alpha x}\) para encontrar la solución general.

1. \(y''+2y'+y={e^{-x}\over\sqrt x}\)
2. \(y''+6y'+9y=e^{-3x}\ln x\)
3. \(y''-4y'+4y={e^{2x}\over1+x}\)
4. \(4y''+4y'+y={4e^{-x/2}\left({1\over x}+x\right)}\)

38. Supongamos\(\alpha\ne0\) y\(k\) es un entero positivo. En la mayoría de los libros de cálculo las integrales como\(\int x^k e^{\alpha x}\,dx\) son evaluadas integrando por partes\(k\) tiempos. Este ejercicio presenta otro método. Let

\[y=\int e^{\alpha x}P(x)\,dx\nonumber \]

con

\[P(x)=p_0+p_1x+\cdots+p_kx^k\nonumber \]

(donde\(p_k \neq 0\)).

1. Demostrar que\(y=e^{\alpha x}u\), donde\[u'+\alpha u=P(x). \tag{A}\]
2. Mostrar que (A) tiene una solución particular de la forma\[u_p=A_0+A_1x+\cdots+A_kx^k,\nonumber \] donde\(A_k\),\(A_{k-1}\),..., se\(A_0\) puede computar sucesivamente igualando coeficientes de\(x^k,x^{k-1}, \dots,1\) en ambos lados de la ecuación\[u_p'+\alpha u_p=P(x).\nonumber \]
3. Concluir que\[\int e^{\alpha x}P(x)\,dx=\left(A_0+A_1x+\cdots+A_kx^k\right)e^{\alpha x} +c,\nonumber \] donde\(c\) es una constante de integración.

39. Utilizar el método del Ejercicio 5.4.38 para evaluar la integral.

1. \(\int e^{x}(4+x)dx\)
2. \(\int e^{-x}(-1+x^{2})dx\)
3. \(\int x^{3}e^{-2x}dx\)
4. \(\int e^{x}(1+x)^{2}dx\)
5. \(\int e^{3x}(-14+30x+27x^{2})dx\)
6. \(\int e^{-x}(1+6x^{2}-14x^{3}+3x^{4})dx\)

40. Utilice el método sugerido en el Ejercicio 5.4.38 para evaluar\(\int x^ke^{\alpha x}\,dx\), donde\(k\) es un entero positivo arbitrario y\(\alpha\ne0\).