7.6: El método de Frobenius I
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\[ y_1=x^r\sum_{n=0}^\infty a_nx^n, \nonumber \]
donde no es\(r\) necesario que sea un entero. El problema es que existen tres posibilidades -cada una requiriendo de un enfoque diferente- para la forma de una segunda solución\(y_2\) tal que\(\{y_1,y_2\}\) sea un par fundamental de soluciones de (A).
En esta sección comenzamos a estudiar soluciones en serie de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con un punto singular regular en\(x_0=0\), por lo que se puede escribir como
\[\label{eq:7.5.1} x^2A(x)y''+xB(x)y'+C(x)y=0,\]
donde\(A\),\(B\),\(C\) son polinomios y\(A(0)\ne0\).
Veremos que la Ecuación\ ref {eq:7.5.1} siempre tiene al menos una solución de la forma
\[y=x^r\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \nonumber\]
donde\(a_0\ne0\) y\(r\) es un número elegido adecuadamente. El método que usaremos para encontrar soluciones de esta forma y otras formas que encontraremos en las dos secciones siguientes se llama el método de Frobenius, y las llamaremos soluciones Frobenius.
Se puede demostrar que la serie de potencias\(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) en una solución de Frobenius de Ecuación\ ref {eq:7.5.1} converge en algún intervalo abierto\((-\rho,\rho)\), donde\(0<\rho\le\infty\). Sin embargo, dado que\(x^r\) puede ser complejo para negativo\(x\) o indefinido si\(x=0\), consideraremos soluciones definidas para valores positivos de\(x\). Las modificaciones fáciles de nuestros resultados producen soluciones definidas para valores negativos de\(x\). (Ejercicio 7.5.54).
Vamos a restringir nuestra atención al caso donde\(A\),\(B\), y\(C\) son polinomios de grado no mayor a dos, así que la Ecuación\ ref {eq:7.5.1} se convierte
\[\label{eq:7.5.2} x^2(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2)y=0,\]
donde\(\alpha_i\),\(\beta_i\), y\(\gamma_i\) son constantes reales y\(\alpha_0\ne0\). La mayoría de las ecuaciones que surgen en las aplicaciones se pueden escribir de esta manera. Algunos ejemplos son
\[ \alpha x^2y''+\beta xy'+\gamma y =0 \quad \text{(Euler's equation)} \nonumber\]
\[ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y =0 \quad \text{(Bessel's equation)} \nonumber\]
y
\[xy''+(1-x)y'+\lambda y=0\nonumber \]
donde multiplicaríamos la última ecuación por\(x\) para ponerla en la forma Ecuación\ ref {eq:7.5.2}. Sin embargo, el método de Frobenius puede extenderse al caso donde\(A\),\(B\), y\(C\) son funciones que pueden ser representadas por series de potencia\(x\) en algún intervalo que contiene cero, y\(A_0(0)\ne0\) (Ejercicios 7.5.57 y 7.5.58).
Los dos siguientes teoremas nos permitirán desarrollar métodos sistemáticos para encontrar soluciones de Frobenius de la Ecuación\ ref {eq:7.5.2}.
Let
\[Ly= x^2(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2)y,\nonumber\]
y definir
\[\begin{aligned} p_0(r)&=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0,\\[4pt] p_1(r)&=\alpha_1r(r-1)+\beta_1r+\gamma_1,\\[4pt] p_2(r)&=\alpha_2r(r-1)+\beta_2r+\gamma_2.\\\end{aligned}\nonumber \]
Supongamos que la serie
\[\label{eq:7.5.3} y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r}\]
converge en\((0,\rho)\). Entonces
\[\label{eq:7.5.4} Ly=\sum_{n=0}^\infty b_nx^{n+r}\]
en\((0,\rho),\) donde
\[b_{0}=p_{0}(r)a_{0}\nonumber \]
\[\label{eq:7.5.5} b_{1}=p_{0}(r+1)a_{1}+p_{1}(r)a_{0}\]
\[b_n=p_0(n+r)a_n+p_1(n+r-1)a_{n-1}+p_2(n+r-2)a_{n-2},\quad n\ge2\nonumber\]
- Prueba
-
Comenzamos mostrando que si\(y\) viene dada por la Ecuación\ ref {eq:7.5.3} y\(\alpha\)\(\beta\),, y\(\gamma\) son constantes, entonces
\[\label{eq:7.5.6} \alpha x^2y''+\beta xy'+\gamma y= \sum_{n=0}^\infty p(n+r)a_nx^{n+r},\]
donde
\[p(r)=\alpha r(r-1)+\beta r +\gamma. \nonumber\]
Diferenciar el doble de rendimientos
\[\label{eq:7.5.7} y'=\sum_{n=0}^\infty (n+r)a_nx^{n+r-1}\]
y
\[\label{eq:7.5.8} y''=\sum_{n=0}^\infty (n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-2}.\]
Multiplicando la ecuación\ ref {eq:7.5.7} por\(x\) y la ecuación\ ref {eq:7.5.8} por\(x^2\) rendimientos
\[xy'=\sum_{n=0}^\infty (n+r)a_nx^{n+r} \nonumber\]
y
\[x^2y''=\sum_{n=0}^\infty (n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r}. \nonumber\]
Por lo tanto
\[\begin{aligned} \alpha x^2y''+\beta xy'+\gamma y &=\sum_{n=0}^\infty\left[\alpha(n+r)(n+r-1)+\beta(n+r)+\gamma\right]a_n x^{n+r}\\[4pt] &=\sum_{n=0}^\infty p(n+r)a_nx^{n+r},\end{aligned}\nonumber \]
lo que prueba la Ecuación\ ref {eq:7.5.6}.
Multiplicando la ecuación\ ref {eq:7.5.6} por\(x\) rendimientos
\[\label{eq:7.5.9} x(\alpha x^2y''+\beta xy'+\gamma y)=\sum_{n=0}^\infty p(n+r) a_nx^{n+r+1}= \sum_{n=1}^\infty p(n+r-1)a_{n-1}x^{n+r}.\]
Multiplicando la ecuación\ ref {eq:7.5.6} por\(x^2\) rendimientos
\[\label{eq:7.5.10} x^2(\alpha x^2y''+\beta xy'+\gamma y)=\sum_{n=0}^\infty p(n+r)a_nx^{n+r+2}= \sum_{n=2}^\infty p(n+r-2)a_{n-2}x^{n+r}.\]
Para utilizar estos resultados, reescribimos
\[Ly= x^2(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2)y \nonumber\]
como
\[\label{eq:7.5.11} \begin{array}{ccl} Ly&=\left(\alpha_0x^2y''+\beta_0xy' +\gamma_0y\right) + x\left(\alpha_1x^2y''+\beta_1xy'+\gamma_1y\right) \\&+\ x^2\left(\alpha_2x^2y''+\beta_2xy'+\gamma_2y\right). \end{array}\]
De la ecuación\ ref {eq:7.5.6} con\(p=p_0\),
\[\alpha_0x^2y''+\beta_0xy'+\gamma_0y=\sum_{n=0}^\infty p_0(n+r)a_nx^{n+r}. \nonumber\]
De la ecuación\ ref {eq:7.5.9} con\(p=p_1\),
\[x\left(\alpha_1x^2y''+\beta_1xy'+\gamma_1y\right)=\sum_{n=1}^\infty p_1(n+r-1)a_{n-1}x^{n+r}. \nonumber\]
De la ecuación\ ref {eq:7.5.10} con\(p=p_2\),
\[x^2\left(\alpha_2x^2y''+\beta_2xy'+\gamma_2y\right)=\sum_{n=2}^\infty p_2(n+r-2)a_{n-2}x^{n+r}. \nonumber\]
Por lo tanto podemos reescribir la Ecuación\ ref {eq:7.5.11} como
\[\begin{aligned} Ly=\sum_{n=0}^\infty p_0(n+r)a_nx^{n+r}+ \sum_{n=1}^\infty p_1(n+r-1)a_{n-1}x^{n+r}\\[4pt]+ \sum_{n=2}^\infty p_2(n+r-2)a_{n-2}x^{n+r},\end{aligned}\nonumber\]
o
\[\begin{aligned} Ly&= p_0(r)a_0x^r+\left[p_0(r+1)a_1+p_1(r)a_0\right]x^{r+1}\\& +\sum_{n=2}^\infty\left[p_0(n+r)a_n+p_1(n+r-1)a_{n-1} +p_2(n+r-2)a_{n-2}\right]x^{n+r},\end{aligned}\nonumber\]
lo que implica la Ecuación\ ref {eq:7.5.4} con\(\{b_n\}\) definida como en la Ecuación\ ref {eq:7.5.5}.
Let
\[Ly= x^2(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2)y, \nonumber\]
dónde\(\alpha_0\ne0,\) y definir
\[\begin{aligned} p_0(r)&=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0,\\[4pt] p_1(r)&=\alpha_1r(r-1)+\beta_1r+\gamma_1,\\[4pt] p_2(r)&=\alpha_2r(r-1)+\beta_2r+\gamma_2.\\\end{aligned}\nonumber \]
Supongamos que\(r\) es un número real tal que\(p_0(n+r)\) es distinto de cero para todos los enteros positivos\(n.\) Definir
\[\label{eq:7.5.12} \begin{array}{ccl} a_0(r)&=1,\\ a_1(r)&=-{p_1(r)\over p_0(r+1)},\\[4pt] a_n(r)&=-{p_1(n+r-1)a_{n-1}(r)+p_2(n+r-2)a_{n-2}(r)\over p_0(n+r)},\quad n\ge2. \end{array}\]
Luego la serie Frobenius
\[\label{eq:7.5.13} y(x,r)=x^r\sum_{n=0}^\infty a_n(r)x^n\]
converge y satisface
\[\label{eq:7.5.14} Ly(x,r)=p_0(r)x^r\]
en el intervalo\((0,\rho),\) donde\(\rho\) está la distancia desde el origen hasta el cero más cercano de\(A(x)=\alpha_0+\alpha_1 x+\alpha_2 x^2\) en el plano complejo (si\(A\) es constante, entonces\(\rho=\infty\).)
Si\(\{a_n(r)\}\) se determina por la relación de recurrencia Ecuación\ ref {eq:7.5.12} luego sustituyendo\(a_n=a_n(r)\) en Ecuación\ ref {eq:7.5.5} rendimientos\(b_0=p_0(r)\) y\(b_n=0\) para\(n\ge1\), así Ecuación\ ref {eq:7.5.4} reduce a la Ecuación\ ref {eq:7.5.14}. Omitimos la prueba de que la serie Ecuación\ ref {eq:7.5.13} converge en\((0,\rho)\).
Si es\(\alpha_i=\beta_i=\gamma_i=0\) para\(i=1\),\(2,\) entonces se\(Ly=0\) reduce a la ecuación de Euler
\[\alpha_0x^2y''+\beta_0xy'+\gamma_0y=0. \nonumber\]
El teorema 7.4.3 muestra que las soluciones de esta ecuación están determinadas por los ceros del polinomio indicial
\[p_0(r)=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0. \nonumber\]
Dado que la ecuación\ ref {eq:7.5.14} implica que esto también es cierto para las soluciones de\(Ly=0\), también diremos que\(p_0\) es el polinomio indicial de la Ecuación\ ref {eq:7.5.2}, y esa\(p_0(r)=0\) es la ecuación indicial de\(Ly=0\). Consideraremos solo casos en los que la ecuación indicial tenga raíces reales\(r_1\) y\(r_2\), con\(r_1\ge r_2\).
Dejar\(L\) y\(\{a_n(r)\}\) ser como en el teorema 7.6.2 , y supongamos que la ecuación indicial\(p_0(r)=0\) de\(Ly=0\) tiene raíces reales\(r_1\) y\(r_2,\) donde\(r_1\ge r_2.\) Entonces
\[y_1(x)=y(x,r_1)=x^{r_1}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_1)x^n \nonumber\]
es una solución Frobenius de\(Ly=0\). Por otra parte,\(,\) si no\(r_1-r_2\) es un número entero entonces
\[y_2(x)=y(x,r_2)=x^{r_2}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_2)x^n \nonumber\]
es también una solución de Frobenius\(Ly=0,\) y\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones.
- Prueba
-
Dado que\(r_1\) y\(r_2\) son raíces de\(p_0(r)=0\), el polinomio indicial se puede factorizar como
\[\label{eq:7.5.15} p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)(r-r_2).\]
Por lo tanto
\[p_0(n+r_1)=n\alpha_0(n+r_1-r_2), \nonumber\]
que es distinto de cero si\(n>0\), ya que\(r_1-r_2\ge0\). Por lo tanto los supuestos del Teorema 7.6.2 se mantienen con\(r=r_1\), y la Ecuación\ ref {eq:7.5.14} implica que\(Ly_1=p_0(r_1)x^{r_1}=0\).
Ahora supongamos que no\(r_1-r_2\) es un entero. De la ecuación\ ref {eq:7.5.15},
\[p_0(n+r_2)=n\alpha_0(n-r_1+r_2)\ne0 \quad \text{if} \quad n=1,2,\cdots.\nonumber\]
De ahí que los supuestos del Teorema 7.6.2 se mantienen con\(r=r_2\), y la Ecuación\ ref {eq:7.5.14} implica eso\(Ly_2=p_0(r_2)x^{r_2}=0\). Dejamos la prueba de que\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones como un Ejercicio 7.5.52.
No siempre es posible obtener fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones de Frobenius. Sin embargo, siempre podemos establecer las relaciones de recurrencia y utilizarlas para calcular tantos coeficientes como queramos. El siguiente ejemplo ilustra esto.
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de
\[\label{eq:7.5.16} 2x^2(1+x+x^2)y''+x(9+11x+11x^2)y'+(6+10x+7x^2)y=0.\]
Compute solo los primeros seis coeficientes\(a_0\),...,\(a_5\) en cada solución.
Solución
Para la ecuación dada, los polinomios definidos en Teorema 7.6.2 son
\[\begin{array}{ccccc} p_0(r)&=2r(r-1)+9r+6&=(2r+3)(r+2),\\[4pt] p_1(r)&=2r(r-1)+11r+10&=(2r+5)(r+2),\\ [5pt] p_2(r)&=2r(r-1)+11r+7&=(2r+7)(r+1). \end{array}\nonumber \]
Los ceros del polinomio indicial\(p_0\) son\(r_1=-3/2\) y\(r_2=-2\), así\(r_1-r_2=1/2\). Por lo tanto, el teorema 7.6.3 implica que
\[\label{eq:7.5.17} y_1=x^{-3/2}\sum_{n=0}^\infty a_n(-3/2)x^n\quad\mbox{ and }\quad y_2=x^{-2}\sum_{n=0}^\infty a_n(-2)x^n\]
formar un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de Ecuación\ ref {eq:7.5.16}. Para encontrar los coeficientes en estas series, utilizamos la relación de recurrencia del Teorema 7.6.2 ; así,
\[\begin{aligned} a_0(r)&=1,\\ a_1(r)&=-{p_1(r)\over p_0(r+1)} =-{(2r+5)(r+2)\over(2r+5)(r+3)} =-{r+2\over r+3},\\[4pt] a_n(r)&=-{p_1(n+r-1)a_{n-1}+p_2(n+r-2)a_{n-2}\over p_0(n+r)}\\[4pt] &=-{(n+r+1)(2n+2r+3)a_{n-1}(r) +(n+r-1)(2n+2r+3)a_{n-2}(r)\over(n+r+2)(2n+2r+3)}\\[4pt] &=-{(n+r+1)a_{n-1}(r)+(n+r-1)a_{n-2}(r)\over n+r+2},\quad n\ge2.\end{aligned}\nonumber \]
Establecer\(r=-3/2\) en estas ecuaciones rendimientos
\[\label{eq:7.5.18} \begin{array}{lll} a_0(-3/2)&=1,\\ a_1(-3/2)&=-1/3,\\ a_n(-3/2)&=-{(2n-1)a_{n-1}(-3/2)+ (2n-5)a_{n-2}(-3/2)\over2n+1},\quad n\ge2, \end{array}\]
y establecer\(r=-2\) rendimientos
\[\label{eq:7.5.19} \begin{array}{lll} a_0(-2)&=1,\\ a_1(-2)&=0,\\ a_n(-2)&=-{(n-1)a_{n-1}(-2)+(n-3)a_{n-2}(-2)\over n},\quad n\ge2. \end{array}\]
Calcular con Ecuación\ ref {eq:7.5.18} y Ecuación\ ref {eq:7.5.19} y sustituir los resultados en Ecuación\ ref {eq:7.5.17} arroja el conjunto fundamental de soluciones de Frobenius
\[\begin{aligned} y_1&=x^{-3/2}\left(1-{1\over3}x+{2\over5}x^2-{5\over21}x^3 +{7\over135}x^4+{76\over1155}x^5+\cdots\right),\\[4pt] y_2&=x^{-2}\left(1+{1\over2}x^2-{1\over3}x^3+{1\over8}x^4+{1\over30}x^5 +\cdots\right).\end{aligned}\nonumber \]
Casos especiales con relaciones de recurrencia a dos períodos
Para\(n\ge2\), la relación de recurrencia Ecuación\ ref {eq:7.5.12} del Teorema 7.6.2 involucra los tres coeficientes\(a_n(r)\),\(a_{n-1}(r)\), y\(a_{n-2}(r)\). Ahora consideraremos algunos casos especiales donde la ecuación\ ref {eq:7.5.12} reduce a una relación de recurrencia de dos términos; es decir, una relación que involucra solo\(a_n(r)\) y\(a_{n-1}(r)\) o solo\(a_n(r)\) y\(a_{n-2}(r)\). Esta simplificación a menudo permite obtener fórmulas explícitas para los coeficentes de las soluciones de Frobenius.
Primero consideramos ecuaciones de la forma
\[x^2(\alpha_0+\alpha_1x)y''+x(\beta_0+\beta_1x)y'+(\gamma_0+\gamma_1x)y=0 \nonumber\]
con\(\alpha_0\ne0\). Para esta ecuación,\(\alpha_2=\beta_2=\gamma_2=0\), so\(p_2\equiv0\) y las relaciones de recurrencia en Teorema 7.6.2 simplifican a
\[\label{eq:7.5.20} \begin{array}{lll} a_0(r)&=1,\\ a_n(r)&=-{p_1(n+r-1)\over p_0(n+r)}a_{n-1}(r),\quad n\ge1. \end{array}\]
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de
\[\label{eq:7.5.21} x^2(3+x)y''+5x(1+x)y'-(1-4x)y=0.\]
Dar fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones.
Solución
Para esta ecuación, los polinomios definidos en Teorema 7.6.2 son
\[\begin{array}{ccccc} p_0(r)&=3r(r-1)+5r-1&=(3r-1)(r+1),\\[4pt] p_1(r)&=r(r-1)+5r+4&=(r+2)^2,\\[4pt] p_2(r)&=0. \end{array}\nonumber\]
Los ceros del polinomio indicial\(p_0\) son\(r_1=1/3\) y\(r_2=-1\), así\(r_1-r_2=4/3\). Por lo tanto, el teorema 7.6.3 implica que
\[y_1=x^{1/3}\sum_{n=0}^\infty a_n(1/3)x^n\quad\mbox{ and }\quad y_2=x^{-1}\sum_{n=0}^\infty a_n(-1)x^n\nonumber \]
formar un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de Ecuación\ ref {eq:7.5.21}. Para encontrar los coeficientes en estas series, utilizamos la ecuación de relaciones de recurrencia\ ref {eq:7.5.20}; así,
\[\label{eq:7.5.22} \begin{array}{lll} a_0(r)&=1,\\ a_n(r)&=-{p_1(n+r-1)\over p_0(n+r)}a_{n-1}(r)\\[4pt] &=-{(n+r+1)^2\over(3n+3r-1)(n+r+1)}a_{n-1}(r)\\[4pt] &=-{n+r+1\over3n+3r-1}a_{n-1}(r),\quad n\ge1. \end{array}\]
Ajuste\(r=1/3\) en Ecuación\ ref {eq:7.5.22} rendimientos
\[\begin{aligned} a_0(1/3)&=1,\\ a_n(1/3)&=-{3n+4\over9n} a_{n-1}(1/3),\quad n\ge1.\end{aligned}\nonumber \]
Al utilizar la notación de producto introducida en la Sección 7.2 y proceder como lo hicimos en los ejemplos de esa sección rinde
\[a_n(1/3)={(-1)^n\prod_{j=1}^n(3j+4)\over9^nn!},\quad n\ge0. \nonumber\]
Por lo tanto
\[y_1=x^{1/3}\sum_{n=0}^\infty{(-1)^n\prod_{j=1}^n(3j+4)\over9^nn!}x^n \nonumber\]
es una solución Frobenius de la Ecuación\ ref {eq:7.5.21}.
Ajuste\(r=-1\) en Ecuación\ ref {eq:7.5.22} rendimientos
\[\begin{aligned} a_0(-1)&=1,\\ a_n(-1)&=-{n\over3n-4}a_{n-1}(-1),\quad n\ge1,\end{aligned}\nonumber \]
por lo
\[a_n(-1)={(-1)^nn!\over\prod_{j=1}^n(3j-4)}. \nonumber\]
Por lo tanto
\[y_2=x^{-1}\sum_{n=0}^\infty{(-1)^nn!\over\prod_{j=1}^n(3j-4)}x^n \nonumber\]
es una solución Frobenius de Ecuación\ ref {eq:7.5.21}, y\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones.
Consideramos ahora ecuaciones de la forma
\[\label{eq:7.5.23} x^2(\alpha_0+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_2x^2)y'+ (\gamma_0+\gamma_2x^2)y=0\]
con\(\alpha_0\ne0\). Para esta ecuación,\(\alpha_1=\beta_1=\gamma_1=0\), so\(p_1\equiv0\) y las relaciones de recurrencia en Teorema 7.6.2 simplifican a
\[\begin{aligned} a_0(r)&=1,\\ a_1(r)&=0,\\[4pt] a_n(r)&=-{p_2(n+r-2)\over p_0(n+r)}a_{n-2}(r),\quad n\ge2.\end{aligned}\nonumber \]
Ya que\(a_1(r)=0\), la última ecuación implica que\(a_n(r)=0\) si\(n\) es impar, entonces las soluciones de Frobenius son de la forma
\[y(x,r)=x^r\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(r)x^{2m}, \nonumber\]
donde
\[\label{eq:7.5.24} \begin{array}{lll} a_0(r)&=1,\\ a_{2m}(r)&=-{p_2(2m+r-2)\over p_0(2m+r)}a_{2m-2}(r),\quad m\ge1. \end{array}\]
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de
\[\label{eq:7.5.25} x^2(2-x^2)y''-x(3+4x^2)y'+(2-2x^2)y=0.\]
Dar fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones.
Solución
Para esta ecuación, los polinomios definidos en Teorema 7.6.2 son
\[\begin{array}{ccccc} p_0(r)&=2r(r-1)-3r+2&=(r-2)(2r-1),\\[4pt] p_1(r)&=0\\[4pt] p_2(r)&=-\left[r(r-1)+4r+2\right]&=-(r+1)(r+2). \end{array}\nonumber \]
Los ceros del polinomio indicial\(p_0\) son\(r_1=2\) y\(r_2=1/2\), así\(r_1-r_2=3/2\). Por lo tanto, el teorema 7.6.3 implica que
\[y_1=x^2\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(1/3)x^{2m}\quad\mbox{ and }\quad y_2=x^{1/2}\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(1/2)x^{2m} \nonumber\]
formar un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de Ecuación\ ref {eq:7.5.25}. Para encontrar los coeficientes en estas series, utilizamos la relación de recurrencia Ecuación\ ref {eq:7.5.24}; así,
\[\label{eq:7.5.26} \begin{array}{lll} a_0(r)&=1,\\ a_{2m}(r)&=-{p_2(2m+r-2)\over p_0(2m+r)}a_{2m-2}(r)\\[4pt] &={(2m+r)(2m+r-1)\over(2m+r-2)(4m+2r-1)}a_{2m-2}(r),\quad m\ge1. \end{array}\]
Ajuste\(r=2\) en Ecuación\ ref {eq:7.5.26} rendimientos
\[\begin{aligned} a_0(2)&=1,\\ a_{2m}(2)&={(m+1)(2m+1)\over m(4m+3)}a_{2m-2}(2),\quad m\ge1,\end{aligned}\nonumber\]
por lo
\[a_{2m}(2)=(m+1)\prod_{j=1}^m{2j+1\over4j+3}. \nonumber\]
Por lo tanto
\[y_1=x^2\sum_{m=0}^\infty (m+1)\left(\prod_{j=1}^m{2j+1\over4j+3}\right)x^{2m} \nonumber\]
es una solución Frobenius de la Ecuación\ ref {eq:7.5.25}.
Ajuste\(r=1/2\) en Ecuación\ ref {eq:7.5.26} rendimientos
\[\begin{aligned} a_0(1/2)&=1,\\ a_{2m}(1/2)&={(4m-1)(4m+1)\over8m(4m-3)}a_{2m-2}(1/2),\quad m\ge1,\end{aligned}\nonumber \]
por lo
\[a_{2m}(1/2)={1\over8^mm!}\prod_{j=1}^m{(4j-1)(4j+1)\over4j-3}. \nonumber\]
Por lo tanto
\[y_2=x^{1/2}\sum_{m=0}^\infty {1\over8^mm!}\left(\prod_{j=1}^m{(4j-1)(4j+1)\over4j-3}\right)x^{2m} \nonumber\]
es una solución Frobenius de Ecuación\ ref {eq:7.5.25} y\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones.
Hasta ahora, consideramos únicamente el caso donde la ecuación indicial tiene raíces reales que no difieren en un entero, lo que nos permite aplicar el Teorema 7.6.3 . Sin embargo, para las ecuaciones de la forma Ecuación\ ref {eq:7.5.23}, la secuencia\(\{a_{2m}(r)\}\) en la Ecuación\ ref {eq:7.5.24} se define para\(r = r_{2}\) si\(r_{1} − r_{2}\) no es un entero par. Se puede mostrar Ejercicio 7.5.56 que en este caso
\[y_{1}=x^{r_{1}}\sum_{m=0}^{\infty}a_{2m}(r_{1})x^{2m}\quad\text{and}\quad y_{2}=x^{r_{2}}\sum_{m=0}^{\infty}a_{2m}(r_{2})x^{2m}\nonumber\]
formar un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de Ecuación\ ref {eq:7.5.23}.
Uso de la tecnología
Como dijimos al final de la Sección 7.2, si estás interesado en usar realmente series para calcular aproximaciones numéricas a soluciones de una ecuación diferencial, entonces si hay o no una forma cerrada simple para los coeficientes es esencialmente irrelevante; el cálculo recursivo suele ser más eficiente. Ya que también es laborioso, te animamos a escribir programas cortos para implementar relaciones de recurrencia en una calculadora o computadora, incluso en ejercicios donde esto no se requiera específicamente.
En el uso práctico del método de Frobenius cuando\(x_0=0\) es un punto singular regular, nos interesa lo bien que funcionan
\[y_N(x,r_i)=x^{r_i}\sum_{n=0}^N a_n(r_i)x^n,\quad i=1,2, \nonumber\]
soluciones aproximadas a una ecuación dada cuando\(r_i\) es un cero del polinomio indicial. Al tratar el problema correspondiente para el caso donde\(x_0=0\) es un punto ordinario, se utilizó la integración numérica para resolver la ecuación diferencial sujeta a condiciones iniciales\(y(0)=a_0,\quad y'(0)=a_1\), y se comparó el resultado con valores del polinomio Taylor
\[T_N(x)=\sum_{n=0}^Na_nx^n. \nonumber\]
No podemos hacer eso aquí, ya que en general no podemos prescribir valores iniciales arbitrarios para soluciones de una ecuación diferencial en un punto singular. Por lo tanto, motivado por el Teorema 7.6.2 (específicamente, Ecuación\ ref {eq:7.5.14}), sugerimos el siguiente procedimiento.
Procedimiento de Verificación
Dejar\(L\) y\(Y_{n}(x; r_{i})\) ser definido por
\[L_{y}=x^{2}(\alpha _{0}+\alpha _{1}x +\alpha _{2}x^{2})y'' + x(\beta _{0}+\beta_{1}x +\beta _{2}x^{2})y' + (\gamma _{0}+\gamma _{1}x+\gamma _{2}x^{2})y\nonumber\]
y
\[ y_{N}(x; r_{i})=x^{r_{i}}\sum_{n=0}^{N}a_{n}(r_{i})x^{n}\nonumber \]
donde los coeficientes\(\{a_{n}(r_{i})\}_{n=0}^{N}\) se calculan como en la Ecuación\ ref {eq:7.5.12}, Teorema 7.6.2 . Compute el error
\[\label{eq:7.5.27} E_{N}(x; r_{i})=x^{-r_{i}}L_{yN}(x; r_{i})/ \alpha _{0}\]
para varios valores de\(N\) y varios valores de\(x\) en el intervalo\((0,\rho )\) con\(\rho\) como se define en el Teorema 7.6.2
El multiplicador a\(x^{-r_i}/\alpha_0\) la derecha de la Ecuación\ ref {eq:7.5.27} elimina los efectos de valores pequeños o grandes de\(x^{r_i}\) cerca\(x=0\), y de multiplicación por una constante arbitraria. En algunos ejercicios se te pedirá estimar el valor máximo de\(E_N(x; r_i)\) en un intervalo\((0,\delta]\) calculando\(E_N(x_m;r_i)\) en los\(M\) puntos\(x_m=m\delta/M,\; m=1\),\(2\),...\(M\), y encontrando el máximo de los valores absolutos:
\[\label{eq:7.5.28} \sigma_N(\delta)=\max\{|E_N(x_m;r_i)|,\; m=1,2,\dots,M\}.\]
(Por simplicidad, esta notación ignora la dependencia del lado derecho de la ecuación en\(i\) y\(M\).)
Para implementar este procedimiento, deberá escribir un programa de computadora para calcular a\(\{a_n(r_i)\}\) partir de la relación de recurrencia aplicable, y para evaluar\(E_N(x;r_i)\).
El siguiente conjunto de ejercicios contiene cinco ejercicios específicamente identificados por los que piden implementar el procedimiento de verificación. Estos ejercicios particulares fueron elegidos arbitrariamente usted puede igualmente formular tales problemas de laboratorio para cualquiera de las ecuaciones en cualquiera de los Ejercicios 7.5.1-7.5.10, 7.5.14-7.4.25, y 7.5.28-7.5.51.