8.1: Introducción a la Transformación de Laplace

Definición de la Transformación de Laplace

Para definir la transformación de Laplace, primero recordamos la definición de una integral impropia. Si\(g\) es integrable en el intervalo\([a,T]\) para cada\(T>a\), entonces la integral incorrecta de\(g\) over\([a,\infty)\) se define como

\[\label{eq:8.1.1} \int^\infty_a g(t)\,dt=\lim_{T\to\infty}\int^T_a g(t)\,dt.\]

Decimos que la integral impropia converge si existe el límite en la Ecuación\ ref {eq:8.1.1}; de lo contrario, decimos que la integral impropia diverge o no existe. Aquí está la definición de la transformación de Laplace de una función\(f\).

Definición 8.1.1 : Transformación de Laplace

Dejar\(f\) ser definido para\(t\ge0\) y dejar\(s\) ser un número real. Entonces la transformación de Laplace de\(f\) es la función\(F\) definida por

\[\label{eq:8.1.2} F(s)=\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt,\]

para aquellos valores\(s\) para los que converge la integral impropia.

Es importante tener en cuenta que la variable de integración en la Ecuación\ ref {eq:8.1.2} es\(t\), mientras que\(s\) es un parámetro independiente de\(t\). Utilizamos\(t\) como variable independiente\(f\) porque en aplicaciones la transformada de Laplace se suele aplicar a funciones de tiempo.

La transformación de Laplace se puede ver como un operador\({\cal L}\) que transforma la función\(f=f(t)\) en la función\(F=F(s)\). Así, la Ecuación\ ref {eq:8.1.2} puede expresarse como

\[F={\cal L}(f).\nonumber \]

Las funciones\(f\) y\(F\) forman un par de transformación, que a veces denotaremos por

\[f(t)\leftrightarrow F(s).\nonumber\]

Se puede demostrar que si\(F(s)\) se define para\(s=s_0\) entonces se define para todos\(s>s_0\) (Ejercicio 8.1.14b).

Cálculo de algunas transformaciones simples de Laplace

Ejemplo 8.1.1

Encuentra la transformación de Laplace de\(f(t)=1\).

Solución

De la ecuación\ ref {eq:8.1.2} con\(f(t)=1\),

\[F(s)=\int_0^\infty e^{-st}\,dt=\lim_{T\to\infty}\int_0^T e^{-st}\, dt.\nonumber\]

Si\(s\ne 0\) entonces

\[\label{eq:8.1.3} \int_0^T e^{-st}dt=-{1\over s}e^{-st}\Big|_0^T={1-e^{-sT}\over s}.\]

Por lo tanto

\[\label{eq:8.1.4} \lim_{T\to\infty}\int_0^T e^{-st}dt=\left\{\begin{array}{rr} {1\over s}, & s>0,\\ \infty, & s<0. \end{array}\right.\]

Si\(s=0\) el integrando se reduce a la constante\(1\), y

\[\lim_{T\to\infty}\int_0^T 1\,dt=\lim_{T\to\infty}\int_0^T 1\,dt= \lim_{T\to\infty}T=\infty.\nonumber\]

Por lo tanto no\(F(0)\) está definido, y

\[F(s)=\int_0^\infty e^{-st}dt={1\over s},\quad s>0.\nonumber\]

Este resultado se puede escribir en notación de operador como

\[{\cal L}(1)={1\over s},\quad s>0,\nonumber\]

o como el par de transformación

\[1\leftrightarrow{1\over s},\quad s>0.\nonumber\]

Nota

Es conveniente combinar los pasos de integrar de\(0\) a\(T\) y dejar\(T → ∞\). Por lo tanto, en lugar de escribir la ecuación\ ref {eq:8.1.3} y\ ref {eq:8.1.4} como pasos separados escribimos

\[\int_{0}^{\infty} e^{-s t} d t=-\left.\frac{1}{s} e^{-s t}\right|_{0} ^{\infty}=\left\{\begin{array}{cl}{\frac{1}{s},} & {s>0} \\ {\infty,} & {s<0}\end{array}\right. \nonumber\]

Seguiremos esta práctica a lo largo de este capítulo.

Ejemplo 8.1.2

Encuentra la transformación de Laplace de\(f(t)=t\).

De la ecuación\ ref {eq:8.1.2} con\(f(t)=t\),

\[\label{eq:8.1.5} F(s)=\int_0^\infty e^{-st}t\,dt.\]

Si\(s\ne0\), integrando por partes rinde

\[\begin{align*} \int_0^\infty e^{-st}t\,dt&=-{te^{-st}\over s}\bigg|_0^\infty +{1\over s}\int_0^\infty e^{-st}\,dt =-\left[{t\over s}+{1\over s^2}\right]e^{-st}\bigg|_0^\infty \\&=\left\{\begin{array}{rr} {1\over s^2},\quad s>0,\\ \infty,\,s<0.\end{array}\right.\end{align*}\nonumber\]

Si\(s=0\), la integral en la Ecuación\ ref {eq:8.1.5} se convierte

\[\int_0^\infty t\,dt={t^2\over2}\bigg|_0^\infty=\infty.\nonumber\]

Por lo tanto\(F(0)\) es indefinido y

\[F(s)={1\over s^2},\quad s>0.\nonumber\]

Este resultado también se puede escribir como

\[{\cal L}(t)={1\over s^2},\quad s>0,\nonumber\]

o como el par de transformación

\[t\leftrightarrow{1\over s^2},\quad s>0.\nonumber\]

Ejemplo 8.1.3

Encuentra la transformación de Laplace de\(f(t)=e^{at}\), donde\(a\) es una constante.

De la ecuación\ ref {eq:8.1.2} con\(f(t)=e^{at}\),

\[F(s)=\int_0^\infty e^{-st}e^{at}\,dt.\nonumber\]

Combinando los rendimientos exponenciales

\[F(s)=\int_0^\infty e^{-(s-a)t}\,dt.\nonumber\]

Sin embargo, sabemos por Example 8.1.1 que

\[\int_0^\infty e^{-st}\,dt={1\over s},\quad s>0.\nonumber\]

Reemplazar\(s\) por\(s-a\) aquí muestra que

\[F(s)={1\over s-a},\quad s>a.\nonumber\]

Esto también se puede escribir como

\[{\cal L}(e^{at})={1\over s-a},\quad s>a, \text{ or } e^{at}\leftrightarrow{1\over s-a},\quad s>a.\nonumber\]

Ejemplo 8.1.4

[Encuentra las transformaciones de Laplace de\(f(t)=\sin\omega t\) y\(g(t)=\cos\omega t\), donde\(\omega\) es una constante.

Definir

\[\label{eq:8.1.6} F(s)=\int_0^\infty e^{-st}\sin\omega t\,dt\]

y

\[\label{eq:8.1.7} G(s)=\int_0^\infty e^{-st}\cos\omega t\,dt.\]

Si\(s>0\), integrando Ecuación\ ref {eq:8.1.6} por partes rinde

\[F(s)=-{e^{-st}\over s}\sin\omega t\Big|_0^\infty+{\omega\over s} \int_0^\infty e^{-st}\cos\omega t\,dt,\nonumber\]

por lo

\[\label{eq:8.1.8} F(s)={\omega\over s}G(s).\]

Si\(s>0\), integrando Ecuación\ ref {eq:8.1.7} por partes rinde

\[G(s)=-{e^{-st}\cos\omega t\over s}\Big|_0^\infty - {\omega\over s} \int_0^\infty e^{-st}\sin\omega t\,dt,\nonumber\]

por lo

\[G(s)={1\over s} - {\omega\over s} F(s).\nonumber\]

Ahora sustituya de la Ecuación\ ref {eq:8.1.8} en esta para obtener

\[G(s)={1\over s} - {\omega^2\over s^2} G(s).\nonumber\]

Resolviendo esto para\(G(s)\) rendimientos

\[G(s)={s\over s^2+\omega^2},\quad s>0.\nonumber\]

Esto y la Ecuación\ ref {eq:8.1.8} implican que

\[F(s)={\omega\over s^2+\omega^2},\quad s>0.\nonumber\]

Mesas de Laplace Transforms

Se han compilado extensas tablas de transformaciones de Laplace y se utilizan comúnmente en aplicaciones. La breve tabla de transformaciones de Laplace en el Apéndice será adecuada para nuestros fines.

Ejemplo 8.1.5

Usa la mesa de Laplace transforma para encontrar\({\cal L}(t^3e^{4t})\).

La tabla incluye el par de transformación

\[t^ne^{at}\leftrightarrow {n!\over(s-a)^{n+1}}.\nonumber\]

Ajuste\(n=3\) y\(a=4\) aquí rinde

\[\cal L (t^3e^{4t})={3!\over(s-4)^4}={6\over(s-4)^4}.\nonumber\]

A veces escribiremos transformaciones de Laplace de funciones específicas sin indicar explícitamente cómo se obtienen. En tales casos debes referirte a la tabla de transformaciones de Laplace.

Linealidad de la Transformación de Laplace

El siguiente teorema presenta una propiedad importante de la transformación de Laplace.

Teorema 8.1.2 Propiedad de linealidad

Supongamos que\({\cal L}(f_i)\) se define para\(s>s_i,\)\(1\le i\le n).\) Let\(s_0\) be el mayor de los números\(s_1\),\(s_{2},\)...\(c_1\),\(s_n,\) y let\(c_2\),,...,\(c_n\) ser constantes. Entonces

\[{\cal L}(c_1f_1+c_2f_2+\cdots+c_nf_n)=c_1{\cal L}(f_1)+c_2{\cal L}(f_2) +\cdots+c_n{\cal L}(f_n)\mbox{ for } s>s_0.\nonumber\]

Prueba

Damos el comprobante para el caso donde\(n=2\). Si\(s>s_0\) entonces

\[\begin{aligned} {\cal L}(c_1f_1+c_2f_2)&= \int_0^\infty e^{-st}\left(c_1f_1(t)+c_2f_2(t))\right)\,dt\\ &= c_1\int_0^\infty e^{-st}f_1(t)\,dt+c_2\int_0^\infty e^{-st}f_2(t)\,dt\\ &= c_1{\cal L}(f_1)+c_2{\cal L}(f_2).\end{aligned}\nonumber\]

Ejemplo 8.1.6

Utilice el teorema 8.1.2 y la transformada conocida de Laplace

\[{\cal L}(e^{at})={1\over s-a} \nonumber\]

para encontrar\({\cal L}(\cosh bt)\,(b\ne0)\).

Solución

Por definición,

\[\cosh bt={e^{bt}+e^{-bt}\over 2}. \nonumber\]

Por lo tanto

\[\label{eq:8.1.9} \begin{array}{ccl} {\cal L}(\cosh bt)&=& {\cal L}\left( {1\over 2} e^{bt}+ {1\over 2}e^{-bt}\right)\\[4pt] &=& {1\over 2} {\cal L}(e^{bt}) + {1\over 2} {\cal L}(e^{-bt}) \qquad \hbox{(linearity property)}\\[4pt] &=& {1\over 2}\, {1\over s-b} + {1\over 2}\, {1\over s+b}, \end{array}\]

donde se define la primera transformación de la derecha para\(s>b\) y la segunda para\(s>-b\); por lo tanto, ambas se definen para\(s>|b|\). Simplificando la última expresión en la ecuación\ ref {eq:8.1.9} rendimientos

\[{\cal L}(\cosh bt)={s\over s^2-b^2},\quad s>|b|.\nonumber\]

El siguiente teorema nos permite comenzar con pares de transformación conocidos y derivar otros. (Para otros resultados de este tipo, ver Ejercicios 8.1.6 y 8.1.13.)

Teorema 8.1.3 Primer teorema de cambio

Si

\[\label{eq:8.1.10} F(s)=\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt\]

es la transformación de Laplace de\(f(t)\) para\(s>s_0\), entonces\(F(s-a)\) es la transformación de Laplace de\(e^{at}f(t)\) para\(s >s_0+a\).

Prueba

Reemplazar\(s\) por\(s-a\) en Ecuación\ ref {eq:8.1.10} rendimientos

\[\label{eq:8.1.11} F(s-a)=\int_0^\infty e^{-(s-a)t}f(t)\,dt\]

si\(s-a>s_0\); es decir, si\(s>s_0+a\). Sin embargo, la ecuación\ ref {eq:8.1.11} se puede reescribir como

\[F(s-a)=\int_0^\infty e^{-st}\left(e^{at}f(t)\right)\,dt,\nonumber\]

lo que implica la conclusión.

Ejemplo 8.1.7

Utilice el teorema 8.1.3 y las transformaciones conocidas de Laplace de\(1\),\(t\),\(\cos\omega t\), y\(\sin\omega t\) para encontrar

\[{\cal L}(e^{at}),\quad {\cal L}(te^{at}),\quad {\cal L}(e^{\lambda t}\sin \omega t),\mbox{and } {\cal L}(e^{\lambda t}\cos\omega t).\nonumber\]

Solución

En la siguiente tabla los pares de transformación conocidos se listan a la izquierda y los pares de transformación requeridos listados a la derecha se obtienen aplicando el Teorema 8.1.3 .

Tabla 8.1.1

\(f(t)\leftrightarrow F(s)\)	\(e^{at}f(t)\leftrightarrow F(s-a)\)
\ (f (t)\ izquierdafila F (s)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(1\leftrightarrow {1\over s},\quad s>0\)	\ (e^ {at} f (t)\ a la izquierdafila F (s-a)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(e^{at}\leftrightarrow {1\over(s-a)},\quad s>a\)
\ (f (t)\ izquierdafila F (s)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(t\leftrightarrow \frac{1}{s^{2}},\quad s>0\)	\ (e^ {at} f (t)\ a la izquierdafila F (s-a)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(te^{at}\leftrightarrow \frac{1}{(s-a)^{2}},\quad s>a\)
\ (f (t)\ izquierdafila F (s)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(\sin\omega t\leftrightarrow \frac{\omega }{s^{2}+\omega ^{2}},\quad s>0\)	\ (e^ {at} f (t)\ a la izquierdafila F (s-a)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(e^{\lambda t}\sin\omega t\leftrightarrow \frac{\omega}{(s-\lambda)^{2}+\omega ^{2}},\quad s>\lambda\)
\ (f (t)\ izquierdafila F (s)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(\cos\omega t\leftrightarrow \frac{s}{s^{2}+\omega ^{2}},\quad s>0\)	\ (e^ {at} f (t)\ a la izquierdafila F (s-a)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(e^{\lambda t}\sin\omega t\leftrightarrow \frac{s-\lambda }{(s-\lambda )^{2}+\omega ^{2}},\quad s>\lambda\)

Existencia de Laplace Transforma

No todas las funciones tienen una transformación de Laplace. Por ejemplo, se puede mostrar (Ejercicio 8.1.3) que

\[\int_0^\infty e^{-st}e^{t^2} dt=\infty\nonumber\]

por cada número real\(s\). De ahí que la función\(f(t)=e^{t^2}\) no tenga una transformada de Laplace.

Nuestro siguiente objetivo es establecer condiciones que aseguren la existencia de la transformación de Laplace de una función. Primero revisamos algunas definiciones relevantes del cálculo.

Recordemos que un límite

\[\lim_{t\to t_0} f(t)\nonumber\]

existe si y solo si los límites unilaterales

\[\lim_{t\to t_0-}f(t)\quad \text{and} \quad \lim_{t\to t_0+}f(t)\nonumber\]

ambos existen y son iguales; en este caso,

\[\lim_{t\to t_0}f(t)=\lim_{t\to t_0-}f(t)=\lim_{t\to t_0+}f(t) .\nonumber\]

Recordemos también que\(f\) es continuo en un punto\(t_0\) en un intervalo abierto\((a,b)\) si y solo si

\[\lim_{t\to t_0}f(t)=f(t_0),\nonumber\]

que es equivalente a

\[\label{eq:8.1.12} \lim_{t\to t_0+}f(t)=\lim_{t\to t_0-}f(t)=f(t_0).\]

Por simplicidad, definimos

\[f(t_0+)=\lim_{t\to t_0+}f(t)\quad\hbox{and }\quad f(t_0-)=\lim_{t\to t_0-}f(t),\nonumber\]

así que la ecuación\ ref {eq:8.1.12} se puede expresar como

\[f(t_0+)=f(t_0-)=f(t_0).\nonumber\]

Si\(f(t_0+)\) y\(f(t_0-)\) tienen valores finitos pero distintos, decimos que\(f\) tiene una discontinuidad de salto en\(t_0\), y

\[f(t_0+)-f(t_0-)\nonumber\]

se llama el salto\(f\) en\(t_0\) (Figura 8.1.1 ).

Figura 8.1.1 : Una discontinuidad de salto.

Si\(f(t_0+)\) y\(f(t_0-)\) son finitos e iguales, pero o bien\(f\) no se define en\(t_0\) o se define pero

\[f(t_0)\ne f(t_0+)=f(t_0-),\nonumber\]

decimos que\(f\) tiene una discontinuidad removible en\(t_0\) (Figura 8.1.2 ). Esta terminolgia es apropiada ya que una función\(f\) con una discontinuidad removible en\(t_0\) puede hacerse continua\(t_0\) definiendo (o redefiniendo)

\[f(t_0)=f(t_0+)=f(t_0-).\nonumber\]

Nota

Sabemos por cálculo que una integral definida no se ve afectada por cambiar los valores de su integrando en puntos aislados. Por lo tanto, la redefinición de una función f para hacerla continua a discontinuidades removibles no cambia\(\cal{L}(f)\).

Definición 8.1.4 : Continuo por tramos

• \(f\)Se dice que una función es continua por tramos en un intervalo cerrado finito\([0,T]\) si\(f(0+)\) y\(f(T-)\) son finitas y\(f\) es continua en el intervalo abierto\((0,T)\) excepto posiblemente en muchos puntos finitos, donde\(f\) puede haber salto discontinuidades o discontinuidades removibles.
• \(f\)Se dice que una función es continua por tramos en el intervalo infinito\([0,\infty)\) si es continua por tramos\([0,T]\) para cada\(T>0\).

La figura 8.1.3 muestra el gráfico de una función continua típica por partes.

Se muestra en el cálculo que si una función es continua por tramos en un intervalo cerrado finito entonces es integrable en ese intervalo. Pero si\(f\) es continuo por partes\([0,\infty)\), entonces también lo es\(e^{-st}f (t)\), y por lo tanto

\[\int_0^T e^{-st}f(t)\,dt \nonumber\]

Figura 8.1.2

Figura 8.1.3

existe para cada\(T>0\). Sin embargo, la continuidad por partes por sí sola no garantiza que la integral inadecuada

\[\label{eq:8.1.13} \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt=\lim_{T\to\infty}\int_0^T e^{-st}f(t)\, dt\]

converge para\(s\) en algún intervalo\((s_0,\infty)\). Por ejemplo, señalamos anteriormente que la Ecuación\ ref {eq:8.1.13} diverge para todos\(s\) si\(f(t)=e^{t^2}\). Declarado informalmente, esto ocurre debido a que\(e^{t^2}\) aumenta demasiado rápido como\(t\to\infty\). La siguiente definición proporciona una restricción en el crecimiento de una función que garantiza la convergencia de su transformada de Laplace para\(s\) en algún intervalo\((s_0,\infty)\).

Definición 8.1.5 : de orden exponencial

Se dice que una función\(f\) es de orden exponencial\(s_0\) si hay constantes\(M\) y\(t_0\) tal que

\[\label{eq:8.1.14} |f(t)|\le Me^{s_0t},\quad t\ge t_0.\]

En situaciones donde el valor específico de\(s_0\) es irrelevante decimos simplemente que\(f\) es de orden exponencial.

El siguiente teorema da condiciones suficientes útiles para que una función\(f\) tenga una transformada de Laplace. La prueba se esboza en el Ejercicio 8.1.10.

Teorema 8.1.6

Si\(f\) es continuo por partes en\([0,\infty)\) y de orden exponencial\(s_0,\) entonces\({\cal L}(f)\) se define para\(s>s_0\).

Nota

Destacamos que las condiciones del Teorema 8.1.6 son suficientes, pero no necesarias,\(f\) para tener una transformación de Laplace. Por ejemplo, el Ejercicio 8.1.14 (c) muestra que\(f\) puede tener una transformación de Laplace aunque\(f\) no sea de orden exponencial

Ejemplo 8.1.8

Si\(f\) está delimitado en algún intervalo\([t_0,\infty)\), digamos

\[|f(t)|\le M,\quad t\ge t_0,\nonumber\]

entonces Ecuación\ ref {eq:8.1.14} se mantiene con\(s_0=0\), entonces\(f\) es de orden exponencial cero. Así, por ejemplo,\(\sin\omega t\) y\(\cos \omega t\) son de orden exponencial cero, y el Teorema 8.1.6 implica eso\({\cal L}(\sin\omega t)\) y\({\cal L}(\cos \omega t)\) existir para\(s>0\). Esto es consistente con la conclusión del Ejemplo 8.1.4 .

Ejemplo 8.1.9

Se puede demostrar que si\(\lim_{t\to\infty}e^{-s_0t}f(t)\) existe y es finito entonces\(f\) es de orden exponencial\(s_0\) (Ejercicio 8.1.9). Si\(\alpha\) es algún número real y\(s_0>0\) entonces\(f(t)=t^\alpha\) es de orden exponencial\(s_0\), ya que

\[\lim_{t\to\infty}e^{-s_0t}t^\alpha=0,\nonumber\]

por regla de L'Hôpital. Si\(\alpha\ge 0\), también\(f\) es continuo en\([0,\infty)\). Por lo tanto, el Ejercicio 8.1.9 y el Teorema 8.1.6 implican que\({\cal L}(t^\alpha)\) existe para\(s\ge s_0\). No obstante, dado que\(s_0\) es un número positivo arbitrario, esto implica realmente que\({\cal L}(t^\alpha)\) existe para todos\(s>0\). Esto es consistente con los resultados de Ejemplo 8.1.2 y Ejercicios 8.1.6 y 8.1.8.

Ejemplo 8.1.10

Encuentra la transformación de Laplace de la función continua por tramos

\[f(t)=\left\{\begin{array}{cl} 1,&0\le t<1,\\ -3e^{-t},&t\ge 1.\end{array}\right.\nonumber\]

Solución

Ya que\(f\) se define por diferentes fórmulas en\([0,1)\) y\([1,\infty)\), escribimos

\[F(s)=\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt =\int_0^1e^{-st}(1)\,dt+\int_1^\infty e^{-st}(-3e^{-t})\,dt.\nonumber\]

Desde

\[\int_{0}^{1}e^{-st}dt = \left\{\begin{array}{cl} {\frac{1-e^{-s}}{s}}&{s\neq 0} \\ {1}&{s=0} \end{array} \right. \nonumber \]

y

\[\int_1^\infty e^{-st}(-3e^{-t})\,dt=-3\int_1^\infty e^{-(s+1)t}\,dt=-{3e^{-(s+1)}\over s+1},\quad s>-1,\nonumber\]

se deduce que

\[F(s) = \left\{\begin{array}{rl}{\frac{1-e^{-s}}{s}-3\frac{e^{-(s+1)}}{s+1}}&{s>-1, s\neq 0} \\ {1-\frac{3}{e}}&{s=0} \end{array} \right. \nonumber \]

Esto es consistente con el Teorema 8.1.6 , ya que

\[|f(t)|\le 3e^{-t},\quad t\ge 1,\nonumber\]

y por lo tanto\(f\) es de orden exponencial\(s_0=-1\).

Nota

En la Sección 8.4 desarrollaremos un método más eficiente para encontrar transformaciones de Laplace de funciones continuas por partes.

Ejemplo 8.1.11

Declaramos anteriormente que

\[\int_0^\infty e^{-st} e^{t^2} dt=\infty \nonumber\]

para todos\(s\), así Teorema 8.1.6 implica que no\(f(t)=e^{t^2}\) es de orden exponencial, ya que

\[\lim_{t\to\infty} {e^{t^2}\over Me^{s_0t}}=\lim_{t\to\infty} {1\over M} e^{t^2-s_0t}=\infty, \nonumber\]

por lo

\[e^{t^2}>Me^{s_0t} \nonumber\]

para valores suficientemente grandes de\(t\), para cualquier elección de\(M\) y\(s_{0}\) (Ejercicio 8.1.3).