8.4E: La Función de Paso de Unidad (Ejercicios)

Q8.4.1

En Ejercicios 8.4.1-8.4.6 encontramos la transformación de Laplace por el método del Ejemplo 8.4.1. Luego expresar la función dada\(f\) en términos de funciones de paso de unidad como en la Ecuación 8.4.8, y usa el Teorema 8.4.1 para encontrar\({\cal L}(f)\). Gráfica\(f\) para los Ejercicios 8.4.3 y 8.4.4.

1. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} {1,}&{0 \le t<4,}\\ {t,} & {t\ge4.} \end{array}\right.\)

2. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t,&0 \le t<1,\\[4pt] 1,& t\ge1.\end{array}\right.\)

3. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} 2t-1,& 0\le t<2,\\[4pt] t,&t\ge2.\end{array}\right.\)

4. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl}1, &0\le t<1,\\[4pt] t+2,&t\ge1.\end{array}\right.\)

5. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t-1,& 0\le t<2,\\[4pt] 4,&t\ge2.\end{array}\right.\)

6. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t^2,& 0\le t<1,\\[4pt] 0,&t\ge1.\end{array}\right.\)

Q8.4.2

En Ejercicios 8.4.7-8.4.18 expresar la función dada\(f\) en términos de funciones de paso unitario y utilizar el Teorema 8.4.1 para encontrar\(\cal{L} (f)\). Gráfica\(f\) para Ejercicios 8.4.15-8.4.18.

7. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} 0, &0\le t<2,\\[4pt] t^2+3t,&t\ge2.\end{array}\right.\)

8. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t^2+2, &0\le t<1,\\[4pt] t,&t\ge1.\end{array}\right.\)

9. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} te^t,& 0\le t <1,\\[4pt] e^t,&t\ge1.\end{array}\right.\)

10. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} e^{\phantom{2}-t}, &0\le t<1,\\[4pt] e^{-2t},&t\ge1.\end{array}\right.\)

11. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} -t,&0 \le t<2,\\[4pt] t-4,&2\le t<3,\\[4pt] 1,&t\ge3. \end{array}\right.\)

12. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} 0,&0 \le t<1,\\[4pt] t,&1\le t<2,\\[4pt] 0,&t\ge2.\end{array}\right.\)

13. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t,&0 \le t<1,\\[4pt] t^2,&1\le t<2,\\[4pt] 0,&t\ge2. \end{array}\right.\)

14. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t,&0\le t<1,\\[4pt] 2-t,&1\le t<2,\\[4pt] 6,&t > 2. \end{array}\right.\)

15. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} {\sin t,}&{0\leq t<\frac{\pi }{2}}\\{2\sin t,}&{\frac{\pi }{2}\leq t<\pi }\\{\cos t,}&{t\geq \pi } \end{array} \right.\)

16. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl}\phantom{-} 2,&0\le t<1,\\[4pt]-2t+2,&1\le t<3,\\[4pt]\phantom{-}3t,&t\ge 3.\end{array}\right.\)

17. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl}3,&0\le t<2,\\[4pt]3t+2,&2\le t<4,\\[4pt]4t,&t\ge 4.\end{array}\right.\)

18. \(f(t)=\left\{\begin{array}{ll}(t+1)^2,&0\le t<1, \\[4pt](t+2)^2,&t\ge1.\end{array}\right.\)

Q8.4.3

En Ejercicios 8.4.19-8.4.28 usa el Teorema 8.4.2 para expresar las transformaciones inversas en términos de funciones escalonadas, y luego encontrar fórmulas distintas las para transformaciones inversas en los intervalos apropiados, como en el Ejemplo 8.4.7. Graficar la transformada inversa para los Ejercicios 8.4.21, 8.4.22 y 8.4.25.

19. \(H(s)={e^{-2s}\over s-2}\)

20. \(H(s)={e^{-s}\over s(s+1)}\)

21. \(H(s)={e^{-s}\over s^3}+ {e^{-2s}\over s^2}\)

22. \(H(s)=\left({2\over s}+{1\over s^2}\right) +e^{-s}\left({3\over s}-{1\over s^2}\right)+e^{-3s}\left({1\over s}+{1\over s^2}\right)\)

23. \(H(s)=\left({5\over s}-{1\over s^2}\right) +e^{-3s}\left({6\over s}+{7\over s^2}\right)+{3e^{-6s}\over s^3}\)

24. \(H(s)={e^{-\pi s} (1-2s)\over s^2+4s+5}\)

25. \(H(s)=\left({1\over s}-{s\over s^2+1}\right)+e^{-{\pi\over 2}s}\left({3s-1\over s^2+1}\right)\)

26. \(H(s)= e^{-2s}\left[{3(s-3)\over(s+1)(s-2)}-{s+1\over(s-1)(s-2)}\right]\)

27. \(H(s)={1\over s}+{1\over s^2}+e^{-s}\left({3\over s}+{2\over s^2}\right) +e^{-3s}\left({4\over s}+{3\over s^2}\right)\)

28. \(H(s)={1\over s}-{2\over s^3}+e^{-2s}\left({3\over s}-{1\over s^3}\right) +{e^{-4s}\over s^2}\)

Q8.4.4

29. Encuentra\({\cal L}\left(u(t-\tau)\right)\).

30. Dejar\(\{t_m\}_{m=0}^\infty\) ser una secuencia de puntos tales que\(t_0=0\),\(t_{m+1}>t_m\), y\(\lim_{m\to\infty}t_m=\infty\). Para cada entero no negativo\(m\), let\(f_m\) be continuous on\([t_m,\infty)\), y let\(f\) be defined on\([0,\infty)\) by

\[f(t)=f_m(t),\,t_m\le t<t_{m+1}\quad (m=0,1,\dots).\nonumber \]

Demostrar que\(f\) es continuo por partes\([0,\infty)\) y que tiene la representación de la función de paso

\[f(t)=f_0(t)+\sum_{m=1}^\infty u(t-t_m)\left(f_m(t)-f_{m-1}(t)\right),\, 0\le t<\infty.\nonumber\]

¿Cómo sabemos que la serie de la derecha converge para todos\(t\) en\([0,\infty)\)?

31. Además de los supuestos del Ejercicio 8.4.30, asumir que

\[|f_m(t)|\le Me^{s_0t},\,t\ge t_m,\,m=0,1,\dots, \tag{A}\]

y que la serie

\[\sum_{m=0}^\infty e^{-\rho t_m} \tag{B}\]

converge para algunos\(\rho>0\). Usando los pasos que se enumeran a continuación, demuestre que\({\cal L}(f)\) está definido para\(s>s_0\) y

\[{\cal L}(f)={\cal L}(f_0)+\sum_{m=1}^\infty e^{-st_m}{\cal L}(g_m) \tag{C}\]

para\(s>s_0+\rho\), donde

\[g_m(t)=f_m(t+t_m)-f_{m-1}(t+t_m).\nonumber\]

1. Use (A) y Teorema 8.1.6 para mostrar que\[{\cal L}(f)=\sum_{m=0}^\infty\int_{t_m}^{t_{m+1}}e^{-st}f_m(t)\,dt \tag{D}\] se define para\(s>s_0\).
2. Mostrar que (D) puede ser reescrito como\[{\cal L}(f)=\sum_{m=0}^\infty\left(\int_{t_m}^\infty e^{-st}f_m(t)\,dt -\int_{t_{m+1}}^\infty e^{-st}f_m(t)\,dt\right). \tag{E}\]
3. Use (A), la convergencia asumida de (B), y la prueba de comparación para mostrar que las series convergen\[\sum_{m=0}^\infty\int_{t_m}^\infty e^{-st}f_m(t)\,dt\quad \text{and} \quad \sum_{m=0}^\infty\int_{t_{m+1}}^\infty e^{-st}f_m(t)\,dt\nonumber\] ambas (absolutamente) si\(s>s_0+\rho\).
4. Demostrar que (E) se puede reescribir como\[{\cal L}(f)={\cal L}(f_0)+\sum_{m=1}^\infty\int_{t_m}^\infty e^{-st} \left(f_m(t)-f_{m-1}(t)\right)\,dt\nonumber \] si\(s>s_0+\rho\).
5. Completar el comprobante de (C).

32. Supongamos\(\{t_m\}_{m=0}^\infty\) y\(\{f_m\}_{m=0}^\infty\) satisfagan los supuestos de los Ejercicios 8.4.30 y 8.4.31, y hay una constante positiva\(K\) tal que\(t_m\ge Km\) para\(m\) suficientemente grande. Demostrar que la serie (B) del Ejercicio 8.4.31 converge para cualquiera\(\rho>0\), y concluir de esto que (C) del Ejercicio 8.4.31 sostiene para\(s>s_0\).

En Ejercicios 8.4.33-8.4.36 encuentra la representación de la función de paso\(f\) y usa el resultado del Ejercicio 8.4.32 para encontrar\(\cal{L}(f)\). SUMINACIÓN: Necesitará fórmulas relacionadas con la fórmula para la suma de una serie geométrica.

33. \(f(t)=m+1,\,m\le t<m+1\; (m=0,1,2,\dots)\)

34. \(f(t)=(-1)^m,\,m\le t<m+1\; (m=0,1,2,\dots)\)

35. \(f(t)=(m+1)^2,\,m\le t<m+1\; (m=0,1,2,\dots)\)

36. \(f(t)=(-1)^mm,\,m\le t<m+1\; (m=0,1,2,\dots)\)