8.7: Ecuaciones de Coeficientes Constantes con Impulsos
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\[ay''+by'+cy=f(t),\nonumber \]
donde\(f\) es continuo o continuo por tramos en\([0,\infty)\). En esta sección consideramos problemas de valor inicial donde\(f\) representa una fuerza que es muy grande por poco tiempo y cero de lo contrario. Nosotros decimos que tales fuerzas son impulsivas. Las fuerzas impulsivas ocurren, por ejemplo, cuando dos objetos chocan. Dado que no es factible representar tales fuerzas como funciones continuas o continuas por partes, debemos construir un modelo matemático diferente para tratarlas.
Si\(f\) es una función integrable y\(f(t)=0\) para\(t\) fuera del intervalo\([t_0,t_0+h]\), entonces\(\int_{t_0}^{t_0+h} f(t)\,dt\) se llama el impulso total de\(f\). Nos interesa la situación idealizada donde\(h\) es tan pequeña que se puede suponer que el impulso total se aplica instantáneamente en\(t=t_0\). Decimos en este caso que\(f\) es una función de impulso. En particular, denotamos por\(\delta(t-t_0)\) la función de impulso con impulso total igual a uno, aplicado a\(t=t_0\). (La función de impulso\(\delta(t)\) obtenida mediante la configuración\(t_0=0\) es la \(\delta\)función Dirac.) Debe entenderse, sin embargo, que\(\delta(t-t_0)\) no es una función en el sentido estándar, ya que nuestra “definición” implica que\(\delta(t-t_0)=0\) si\(t\ne t_0\), mientras que
\[\int_{t_0}^{t_0} \delta(t-t_0)\,dt=1.\nonumber \]
A partir del cálculo sabemos que ninguna función puede tener estas propiedades; sin embargo, existe una rama de las matemáticas conocida como la teoría de las distribuciones donde la definición puede hacerse rigurosa. Dado que la teoría de las distribuciones está más allá del alcance de este libro, tomaremos un enfoque intuitivo de las funciones impulsivas.
Nuestra primera tarea es definir a qué nos referimos con la solución del problema de valor inicial
\[ay''+by'+cy=\delta(t-t_0), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0,\nonumber\]
donde\(t_0\) es un número fijo no negativo. El siguiente teorema motivará nuestra definición.
Supongamos\(t_0\ge0.\) Por cada número positivo\(h,\) deja\(y_h\) ser la solución del problema de valor inicial
\[\label{eq:8.7.1} ay_h''+by_h'+cy_h=f_h(t), \quad y_h(0)=0,\quad y_h'(0)=0,\]
donde
\[\label{eq:8.7.2} f_h(t)=\left\{\begin{array}{cl} 0,&0\le t<t_0,\\[4pt] 1/h,&t_0\le t< t_0+h,\\[4pt] 0,&t\ge t_0+h,\end{array}\right.\]
así\(f_h\) tiene unidad de impulso total igual al área del rectángulo sombreado en la Figura 8.7.1 . Entonces
\[\label{eq:8.7.3} \lim_{h\to0+}y_h(t)=u(t-t_0)w(t-t_0),\]
donde
\[w={\cal L}^{-1}\left(1\over as^2+bs+c\right).\nonumber\]
- Prueba
-
Tomando Laplace transforma en Ecuación\ ref {eq:8.7.1} rendimientos
\[(as^2+bs+c)Y_h(s)=F_h(s),\nonumber\]
por lo
\[Y_h(s)={F_h(s)\over as^2+bs+c}.\nonumber\]
El teorema de convolución implica que
\[y_h(t)=\int_0^t w(t-\tau)f_h(\tau)\,d\tau.\nonumber\]
Por lo tanto, la Ecuación\ ref {eq:8.7.2} implica que
\[\label{eq:8.7.4} y_{h}(t)=\left\{\begin{array}{cl}{0,}&{0\leq t< t_{0},}\\{\frac{1}{h}\int_{t_{0}}^{t}w(t-\tau )d\tau , }&{t_{0}\leq t\leq t_{0} +h,}\\{\frac{1}{h}\int_{t_{0}}^{t_{0}+h}w(t-\tau )d\tau , }&{t> t_{0}+h.} \end{array} \right. \]
Ya que\(y_h(t)=0\) para todos\(h\) si\(0\le t\le t_0\), se deduce que
\[\label{eq:8.7.5} \lim_{h\to0+}y_h(t)=0\quad \text{if} \quad 0\le t\le t_0.\]
Ahora vamos a mostrar que
\[\label{eq:8.7.6} \lim_{h\to0+}y_h(t)=w(t-t_0)\quad \text{if} \quad t>t_0.\]
Supongamos que\(t\) es fijo y\(t>t_0\). De la ecuación\ ref {eq:8.7.4},
\[\label{eq:8.7.7} y_h(t)={1\over h}\int_{t_0}^{t_0+h}w(t-\tau)d\tau\quad \text{if} \quad h<t-t_0.\]
Desde
\[\label{eq:8.7.8} {1\over h}\int_{t_0}^{t_0+h}d\tau=1,\]
podemos escribir
\[w(t-t_0)={1\over h}w(t-t_0)\int_{t_0}^{t_0+h}\,d\tau= {1\over h}\int_{t_0}^{t_0+h}w(t-t_0)\,d\tau.\nonumber\]
De esto y la Ecuación\ ref {eq:8.7.7},
\[y_h(t)-w(t-t_0)= {1\over h}\int_{t_0}^{t_0+h}\left(w(t-\tau)-w(t-t_0)\right)\,d\tau.\nonumber\]
Por lo tanto
\[\label{eq:8.7.9} |y_h(t)-w(t-t_0)|\le {1\over h}\int_{t_0}^{t_0+h}|w(t-\tau)-w(t-t_0)|\,d\tau.\]
Ahora deja\(M_h\) ser el valor máximo de\(|w(t-\tau)-w(t-t_0)|\) como\(\tau\) varía a lo largo del intervalo\([t_0,t_0+h]\). (Recuerda eso\(t\) y\(t_0\) son fijos.) Entonces la Ecuación\ ref {eq:8.7.8} y la Ecuación\ ref {eq:8.7.9} implican que
\[\label{eq:8.7.10} |y_h(t)-w(t-t_0)|\le {1\over h}M_h\int_{t_0}^{t_0+h}\,d\tau=M_h.\]
Pero\(\lim_{h\to0+}M_h=0\), ya que\(w\) es continuo. Por lo tanto, la Ecuación\ ref {eq:8.7.10} implica Ecuación\ ref {eq:8.7.6}. Esto y la Ecuación\ ref {eq:8.7.5} implican Ecuación\ ref {eq:8.7.3}.
El teorema 8.7.1 motiva la siguiente definición.
Si\(t_0>0\), entonces la solución del problema de valor inicial
\[\label{eq:8.7.11} ay''+by'+cy=\delta(t-t_0), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0,\]
se define como
\[y=u(t-t_0)w(t-t_0),\nonumber\]
donde
\[w={\cal L}^{-1}\left(1\over as^2+bs+c\right).\nonumber\]
En aplicaciones físicas donde la entrada\(f\) y la salida\(y\) de un dispositivo están relacionadas por la ecuación diferencial
\[ay''+by'+cy=f(t),\nonumber\]
\(w\)se llama la respuesta de impulso del dispositivo. Tenga en cuenta que\(w\) es la solución del problema de valor inicial
\[\label{eq:8.7.12} aw''+bw'+cw=0, \quad w(0)=0,\quad w'(0)=1/a,\]
como se puede ver usando la transformación de Laplace para resolver este problema. (Verificar.) Por otro lado, podemos resolver la Ecuación\ ref {eq:8.7.12} por los métodos de la Sección 5.2 y mostrar que\(w\) se define\((-\infty,\infty)\) por
\[\label{eq:8.7.13} w={e^{r_2t}-e^{r_1t}\over a(r_2-r_1)},\quad w={1\over a}te^{r_1t}, \quad \text{or} \quad w={1\over a\omega}e^{\lambda t}\sin\omega t,\]
dependiendo de si el polinomio\(p(r)=ar^2+br+c\) tiene ceros reales distintos\(r_1\) y\(r_2\), un cero repetido\(r_1\), o ceros conjugados complejos\(\lambda\pm i\omega\). (En la mayoría de las aplicaciones físicas, los ceros del polinomio característico tienen partes reales negativas, entonces\(\lim_{t\to\infty}w(t)=0\).) Esto significa que\(y=u(t-t_0)w(t-t_0)\) se define\((-\infty,\infty)\) y tiene las siguientes propiedades:
\[y(t)=0,\quad t<t_0,\nonumber\]
\[ay''+by'+cy=0\quad \text{on} \quad (-\infty,t_0)\quad \text{and} \quad (t_0,\infty),\nonumber\]
y
\[\label{eq:8.7.14} y'_-(t_0)=0, \quad y'_+(t_0)=1/a\]
(recuerda eso\(y'_-(t_0)\) y\(y'_+(t_0)\) son derivadas de la derecha e izquierda, respectivamente) y\(y'(t_0)\) no existe. Así, aunque definimos como\(y=u(t-t_0)w(t-t_0)\) la solución de la Ecuación\ ref {eq:8.7.11}, esta función no satisface la ecuación diferencial en la Ecuación\ ref {eq:8.7.11} at\(t_0\), ya que allí no es diferenciable; de hecho Ecuación\ ref {eq:8.7.14} indica que un impulso provoca una discontinuidad de salto en la velocidad. (Para ver que esto es razonable, piensa en lo que sucede cuando golpeas una pelota con un bate). Esto significa que el problema del valor inicial Ecuación\ ref {eq:8.7.11} no tiene sentido si\(t_0=0\), ya que\(y'(0)\) no existe en este caso. Sin embargo, se\(y=u(t)w(t)\) puede definir como la solución del problema del valor inicial modificado
\[ay''+by'+cy=\delta(t), \quad y(0)=0,\quad y'_-(0)=0,\nonumber\]
donde la condición sobre la derivada at\(t=0\) haya sido sustituida por una condición sobre la derivada de la izquierda.
La figura 8.7.2 ilustra el teorema 8.7.1 para el caso donde la respuesta de impulso\(w\) es la primera expresión en la Ecuación\ ref {eq:8.7.13}\(r_1\) y y\(r_2\) son distintas y ambas negativas. La curva sólida en la figura es la gráfica de\(w\). Las curvas discontinuas son soluciones de la Ecuación\ ref {eq:8.7.1} para diversos valores de\(h\). A\(h\) medida que disminuye la gráfica de\(y_h\) se mueve hacia la izquierda hacia la gráfica de\(w\).
Encuentra la solución del problema de valor inicial
\[\label{eq:8.7.15} y''-2y'+y=\delta(t-t_0), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0,\]
donde\(t_0>0\). Después interpretar la solución para el caso donde\(t_0=0\).
Solución
Aquí
\[w={\cal L}^{-1}\left(1\over s^2-2s+1\right)={\cal L}^{-1}\left( 1\over(s-1)^2\right)=te^{-t},\nonumber\]
así Teorema 8.7.2 rendimientos
\[y=u(t-t_0)(t-t_0)e^{-(t-t_0)}\nonumber\]
como la solución de la Ecuación\ ref {eq:8.7.15} si\(t_0>0\). Si\(t_0=0\), entonces la Ecuación\ ref {eq:8.7.15} no tiene solución; sin embargo,\(y=u(t)te^{-t}\) (que normalmente escribiríamos simplemente como\(y=te^{-t}\)) es la solución del problema del valor inicial modificado
\[y''-2y'+y=\delta(t), \quad y(0)=0,\quad y_-'(0)=0.\nonumber\]
El gráfico de\(y=u(t-t_0)(t-t_0)e^{-(t-t_0)}\) se muestra en la Figura 8.7.3
La definición 8.7.2 y el principio de superposición motivan la siguiente definición.
Supongamos que\(\alpha\) es una constante distinta de cero y\(f\) es continua por partes en\([0,\infty)\). Si\(t_0>0\), entonces la solución del problema de valor inicial
\[ay''+by'+cy=f(t)+\alpha\delta(t-t_0), \quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1\nonumber\]
se define como
\[y(t)=\hat y(t)+\alpha u(t-t_0)w(t-t_0),\nonumber\]
donde\(\hat y\) esta la solución de
\[ay''+by'+cy=f(t), \quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1.\nonumber\]
Esta definición también se aplica si\(t_0=0\), siempre que la condición inicial\(y'(0)=k_1\) sea sustituida por\(y_-'(0)=k_1\).
Resolver el problema de valor inicial
\[\label{eq:8.7.16} y''+6y'+5y=3e^{-2t}+2\delta(t-1),\quad y(0)=-3,\quad y'(0)=2.\]
Solución
Te dejamos a ti demostrar que la solución de
\[y''+6y'+5y=3e^{-2t}, \quad y(0)=-3,\; y'(0)=2\nonumber\]
es
\[\hat y=-e^{-2t}+{1\over2}e^{-5t}-{5\over2}e^{-t}.\nonumber\]
Desde
\[\begin{array} {ccccc}{w(t)}&{=}&{\cal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s^{2}+6s+5} \right)}&{=}&{\cal{L}^{-1}\left(\frac{1}{(s+1)(s+5)} \right)} \\ {}&{=}&{\frac{1}{4}\cal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+5} \right) }&{=}&{\frac{e^{-t}-e^{-5t}}{4}} \end{array}\nonumber \]
la solución de la Ecuación\ ref {eq:8.7.16} es
\[\label{eq:8.7.17} y=-e^{-2t}+{1\over2}e^{-5t}-{5\over2}e^{-t} +u(t-1){e^{-(t-1)}-e^{-5(t-1)}\over2}\]
(Figura 8.7.4 ).
Definition 8.7.3 se puede extender de la manera obvia para cubrir el caso donde la función de forzamiento contiene más de un impulso.
Resolver el problema de valor inicial
\[\label{eq:8.7.18} y''+y=1+2\delta(t-\pi)-3\delta(t-2\pi), \quad y(0)=-1,\; y'(0)=2.\]
Solución
Te dejamos a ti demostrar que
\[\hat y= 1-2\cos t+2\sin t\nonumber\]
es la solución de
\[y''+y=1, \quad y(0)=-1,\quad y'(0)=2.\nonumber\]
Desde
\[w={\cal L}^{-1}\left(1\over s^2+1\right)=\sin t,\nonumber\]
la solución de la Ecuación\ ref {eq:8.7.18} es
\[\begin{aligned} y&=1-2\cos t+2\sin t+2u(t-\pi)\sin(t-\pi)-3u(t-2\pi)\sin(t-2\pi)\\ &=1-2\cos t+2\sin t-2u(t-\pi)\sin t-3u(t-2\pi)\sin t,\end{aligned}\nonumber\]
o
\[\label{eq:8.7.19} y=\left\{\begin{array}{cl} 1-2\cos t+2\sin t,&0\le t<\pi,\\[4pt] 1-2\cos t,&\pi\le t<2\pi,\\[4pt] 1-2\cos t-3\sin t,&t\ge 2\pi\end{array}\right.\]
(Figura 8.7.5 ).
