10: Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales
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En este Capítulo consideramos sistemas de ecuaciones diferenciales que involucran a más de una función desconocida. Dichos sistemas surgen en muchas aplicaciones físicas.La sección 10.1 presenta ejemplos de situaciones físicas que conducen a sistemas de ecuaciones diferenciales. SECCIÓN 10.2 analiza los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales. La SECCIÓN 10.3 trata de la teoría básica de los sistemas lineales homogéneos. Las SECCIONES 10.4, 10.5, Y 10.6 presentan la teoría de los sistemas homogéneos de coeficiente constante. SECCIÓN 10.7 presenta el método de variación de parámetros para sistemas lineales no homogéneos.
- 10.1: Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
- Muchas situaciones físicas son modeladas por sistemas de n ecuaciones diferenciales en n funciones desconocidas, donde n≥2. En esta sección se presentan ejemplos de situaciones físicas que conducen a sistemas de ecuaciones diferenciales.
- 10.2: Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales
- Se introduce un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.
- 10.3: Teoría Básica de Sistemas Lineales Homogéneos
- En esta sección consideramos sistemas lineales homogéneos Y′=A (t) y, donde A=A (t) es una función matricial continua n×n en un intervalo (a, b). La teoría de los sistemas homogéneos lineales tiene mucho en común con la teoría de ecuaciones escalares homogéneas lineales.
- 10.4: Sistemas Homogéneos de Coeficiente Constante I
- Comenzaremos ahora nuestro estudio del sistema homogéneo Y′=Ay, donde A es una matriz constante n×n. En esta sección asumimos que todos los valores propios de A son reales y que A tiene un conjunto de n vectores propios linealmente independientes. En las dos secciones siguientes consideramos los casos en los que algunos de los valores propios de A son complejos, o donde A no tiene n vectores propios linealmente independientes.
- 10.5: Coeficiente Constante Sistemas Homogéneos II
- En esta sección consideramos el caso donde A tiene n valores propios reales, pero no tiene n vectores propios linealmente independientes. Se muestra en álgebra lineal que esto ocurre si y sólo si A tiene al menos un valor propio de multiplicidad r>1 tal que el espacio propio asociado tiene dimensión menor que r. En este caso se dice que A es defectuoso. Restringiremos nuestra atención a algunos casos especiales que ocurren comúnmente.
- 10.6: Sistemas Homogéneos de Coeficiente Constante III
- Consideramos ahora el sistema Y′=Ay, donde A tiene un valor propio complejo λ=α+iβ con β≠ 0. Seguimos asumiendo que A tiene entradas reales, por lo que el polinomio característico de A tiene coeficientes reales. Esto implica que λ=α−iβ es también un valor propio de A.
- 10.7: Variación de parámetros para sistemas lineales no homogéneos
- Ahora discutimos una extensión del método de variación de parámetros a sistemas lineales no homogéneos. Este método producirá una solución particular de un sistema no homogéneo Y′=a (t) y+f (t) siempre que se conozca una matriz fundamental para el sistema complementario.
Miniaturas: Ejemplo de campo vectorial fuente espiral. (CC BY-SA 4.0; Jiří Lebl vía Fuente)