10.1: Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
- Page ID
- 114700
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Muchas situaciones físicas son modeladas por sistemas de ecuaciones\(n\) diferenciales en funciones\(n\) desconocidas, donde\(n\ge2\). Los siguientes tres ejemplos ilustran problemas físicos que conducen a sistemas de ecuaciones diferenciales. En estos ejemplos y a lo largo de este capítulo vamos a denotar la variable independiente por\(t\).
Tanques\(T_1\) y\(T_2\) contienen 100 galones y 300 galones de soluciones salinas, respectivamente. Las soluciones salinas se agregan simultáneamente a ambos tanques desde fuentes externas, se bombean de cada tanque al otro y se drenan de ambos tanques (Figura 10.1.1 ). Una solución con\(1\) libra de sal por galón se bombea\(T_1\) desde una fuente externa a\(5\) gal/min, y una solución con\(2\) libras de sal por galón se bombea\(T_2\) desde una fuente externa a\(4\) gal/min. La solución de\(T_1\) se\(T_2\) bombea a 2 gal/min, y la solución de\(T_2\) se\(T_1\) bombea a\(3\) gal/min. \(T_1\)se drena a\(6\) gal/min y\(T_2\) se drena a 3 gal/min. Dejar\(Q_1(t)\) y\(Q_2(t)\) ser el número de libras de sal en\(T_1\) y\(T_2\), respectivamente, en el momento\(t>0\). Derivar un sistema de ecuaciones diferenciales para\(Q_1\) y\(Q_2\). Supongamos que ambas mezclas están bien agitadas.
Al igual que en la Sección 4.2, la tasa de entrada y salida denotan las tasas (lb/min) a las que la sal entra y sale de un tanque; así,
\[\begin{aligned} Q_1'&= (\mbox{rate in})_1-(\mbox{rate out})_1,\\[4pt] Q_2'&= (\mbox{rate in})_2-(\mbox{rate out})_2.\end{aligned}\]
Tenga en cuenta que los volúmenes de las soluciones en\(T_1\) y\(T_2\) permanecen constantes en 100 galones y 300 galones, respectivamente.
\(T_1\)recibe sal de la fuente externa a razón de
\[\mbox{(1 lb/gal) }\times\mbox{ (5~gal/min)}=\mbox{ 5 lb/min}, \nonumber\]
y de\(T_2\) a razón de
\[\mbox{(lb/gal in }T_2)\times\mbox{ (3~gal/min) }={1\over300}Q_2\times3\\[4pt]={1\over100}Q_2 \mbox{ lb/min}.\nonumber\]
Por lo tanto
\[\label{eq:10.1.1} \mbox{(rate in)}_1= 5+{1\over100}Q_2.\]
La solución sale\(T_1\) a razón de 8 gal/min, ya que se drenan 6 gal/min y se bombean a 2 gal/min\(T_2\); por lo tanto,
\[\label{eq:10.1.2} (\mbox{rate out})_1=(\mbox{ lb/gal in T}_1)\times \mbox{(8~gal/min) } ={1\over100}Q_1\times8={2\over25}Q_1.\]
Las ecuaciones\ ref {eq:10.1.1} y la ecuación\ ref {eq:10.1.2} implican que
\[\label{eq:10.1.3} Q_1'=5+{1\over100}Q_2-{2\over25}Q_1.\]
\(T_2\)recibe sal de la fuente externa a razón de
\[\mbox{(2 lb/gal) }\times\mbox{ (4~gal/min)}=\mbox{ 8 lb/min},\nonumber\]
y de\(T_1\) a razón de
\[\mbox{(lb/gal in }T_1)\times\mbox{ (2~gal/min) }={1\over100}Q_1\times2\\[4pt]={1\over50}Q_1 \mbox{ lb/min}.\nonumber\]
Por lo tanto
\[\label{eq:10.1.4} \mbox{(rate in)}_2= 8+{1\over50}Q_1.\]
La solución sale\(T_2\) a razón de\(6\) gal/min, ya que se drenan\(3\) gal/min y se bombean\(3\) gal/min a\(T_1\); por lo tanto,
\[\label{eq:10.1.5} (\mbox{rate out})_2=(\mbox{ lb/gal in T}_2)\times \mbox{(6~gal/min) } ={1\over300}Q_2\times6={1\over50}Q_2.\]
Las ecuaciones\ ref {eq:10.1.4} y\ ref {eq:10.1.5} implican que
\[\label{eq:10.1.6} Q_2'=8+{1\over50}Q_1-{1\over50}Q_2.\]
Decimos que las ecuaciones\ ref {eq:10.1.3} y\ ref {eq:10.1.6} forman un sistema de dos ecuaciones de primer orden en dos incógnitas, y las escribimos juntas como
\[\begin{align*} Q_1'&= 5- \dfrac{2}{25}Q_1 + \dfrac{1}{100} Q_2 \\ Q_2' &= 8+ \dfrac{1}{50} Q_1 - \dfrac{1}{50} Q_2. \end{align*}\]
Una masa\(m_1\) se suspende de un soporte rígido sobre un resorte\(S_1\) y una segunda masa\(m_2\) se suspende de la primera en un resorte\(S_2\) (Figura 10.1.2 ). Los manantiales obedecen a la ley de Hooke, con constantes de resorte\(k_1\) y\(k_2\). La fricción interna hace que los resortes ejerzan fuerzas de amortiguación proporcionales a las tasas de cambio de sus longitudes, con constantes de amortiguación\(c_1\) y\(c_2\). Dejar\(y_1=y_1(t)\) y\(y_2=y_2(t)\) ser los desplazamientos de las dos masas desde sus posiciones de equilibrio en el tiempo\(t\), medidos positivos hacia arriba. Derivar un sistema de ecuaciones diferenciales para\(y_1\) y\(y_2\), asumiendo que las masas de los resortes son insignificantes y que las fuerzas externas verticales\(F_1\) y\(F_2\) también actúan sobre los objetos.
Solución
En equilibrio,\(S_1\) soporta tanto\(m_1\) y\(m_2\) y\(S_2\) soporta solamente\(m_2\). Por lo tanto, si\(\Delta\ell_1\) y\(\Delta\ell_2\) son los alargamientos de los resortes en equilibrio entonces
\[\label{eq:10.1.7} (m_1+m_2)g=k_1\Delta\ell_1\quad\mbox{ and }\quad m_2g=k_2\Delta\ell_2.\]
\(H_1\)Déjese actuar sobre la fuerza de ley del Hooke\(m_1\), y\(D_1\) déjese actuar sobre la fuerza amortiguadora\(m_1\). De igual manera, dejemos\(H_2\) y\(D_2\) ser la ley del Hooke y sobre las fuerzas amortiguadoras que actúan\(m_2\). Según la segunda ley de movimiento de Newton,
\[\label{eq:10.1.8} \begin{array}{ccl} m_1y_1''=-m_1g+H_1+D_1+F_1,\\[4pt] m_2y_2''=-m_2g+H_2+D_2+F_2. \end{array}\]
Cuando los desplazamientos son\(y_1\) y\(y_2\), el cambio en longitud de\(S_1\) es\(-y_1+\Delta\ell_1\) y el cambio en longitud de\(S_2\) es\(-y_2+y_1+\Delta\ell_2\). Ambos resortes ejercen sobre las fuerzas de la ley de Hooke\(m_1\), mientras que solo\(S_2\) ejerce una fuerza de ley de Hooke sobre\(m_2\). Estas fuerzas están en direcciones que tienden a restaurar los resortes a sus longitudes naturales. Por lo tanto
\[\label{eq:10.1.9} H_1=k_1(-y_1+\Delta\ell_1)-k_2(-y_2+y_1+\Delta\ell_2)\quad\mbox{ and }\quad H_2=k_2(-y_2+y_1+\Delta\ell_2).\]
Cuando las velocidades son\(y_1'\) y\(y_2'\),\(S_1\) y\(S_2\) están cambiando longitud a las tasas\(-y_1'\) y\(-y_2'+y_1'\), respectivamente. Ambos resortes ejercen fuerzas de amortiguación\(m_1\), mientras que solo\(S_2\) ejercen una fuerza de amortiguación sobre\(m_2\). Dado que la fuerza debida a la amortiguación ejercida por un resorte es proporcional a la tasa de cambio de longitud del resorte y en una dirección que se opone al cambio, se deduce que
\[\label{eq:10.1.10} D_1=-c_1y_1'+c_2(y_2'-y_1')\quad\mbox{ and }\quad D_2=-c_2(y_2'-y_1').\]
De Ecuaciones\ ref {eq:10.1.8},\ ref {eq:10.1.9}, y\ ref {eq:10.1.10},
\[\label{eq:10.1.11} \begin{array} {m_1y_1''}&{= -m_1g+k_1(-y_1+\Delta\ell_1)-k_2(-y_2+y_1+\Delta\ell_2) -c_1y_1'+c_2(y_2'-y_1')+F_1}\\ {}&{= -(m_1g-k_1\Delta\ell_1+k_2\Delta\ell_2)-k_1y_1+k_2(y_2-y_1) -c_1y_1'+c_2(y_2'-y_1')+F_1} \end{array}\]
y
\[\label{eq:10.1.12} \begin{array}{ccl} m_2y_2''&= -m_2g+k_2(-y_2+y_1+\Delta\ell_2)-c_2(y_2'-y_1')+F_2\\[4pt] &= -(m_2g-k_2\Delta\ell_2)-k_2(y_2-y_1)-c_2(y_2'-y_1')+F_2. \end{array}\]
De la ecuación\ ref {eq:10.1.7},
\[m_1g-k_1\Delta\ell_1+k_2\Delta\ell_2=-m_2g+k_2\Delta\ell_2=0. \nonumber \]
Por lo tanto podemos reescribir la Ecuación\ ref {eq:10.1.11} y la Ecuación\ ref {eq:10.1.12} como
\[\begin{align*} m_1y_1''&= -(c_1+c_2)y_1'+c_2y_2'-(k_1+k_2)y_1+k_2y_2+F_1\\ m_2y_2''&= c_2y_1'-c_2y_2'+k_2y_1-k_2y_2+F_2. \quad \end{align*}\]
Dejar\({\bf X}={\bf X}(t)=x(t)\,{\bf i}+y(t)\,{\bf j}+z(t)\,{\bf k}\) ser el vector de posición en el momento\(t\) de un objeto con masa\(m\), relativo a un sistema de coordenadas rectangulares con origen en el centro de la Tierra (Figura 10.1.3 ).
De acuerdo con la ley de gravitación de Newton, la fuerza gravitacional de la Tierra\({\bf F}={\bf F}(x,y,z)\) sobre el objeto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del objeto desde el centro de la Tierra, y dirigida hacia el centro; así,
\[\label{eq:10.1.13} \bf {F}= \dfrac{K}{ || \bf {X} ||^2} \left(- \dfrac{ \bf {X}} {|| \bf {X} ||} \right) = -K {x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}\over\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},\]
donde\(K\) es una constante. Para determinar\(K\), observamos que la magnitud\({\bf F}\) de
\[\|{\bf F}\|=K{\|{\bf X}\|\over\|{\bf X}\|^3}={K\over\|{\bf X}\|^2} ={K\over(x^2+y^2+z^2)}. \nonumber \]
\(R\)Sea el radio de la Tierra. Desde\(\|{\bf F}\|=mg\) cuando el objeto está en la superficie de la Tierra,
\[mg = {K\over R^2},\quad\mbox{ so }\quad K=mgR^2. \nonumber\]
Por lo tanto podemos reescribir la Ecuación\ ref {eq:10.1.13} como
\[{\bf F}=-mgR^2{x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}\over\mbox{}\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}. \nonumber\]
Ahora supongamos que\({\bf F}\) es la única fuerza que actúa sobre el objeto. Según la segunda ley de movimiento de Newton,\({\bf F}=m{\bf X}''\); es decir,
\[m(x''\,{\bf i}+y''\,{\bf j}+z''\,{\bf k})= -mgR^2{x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}\over\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}. \nonumber\]
Al cancelar el factor común\(m\) y equiparar componentes en los dos lados de esta ecuación se obtiene el sistema\[\label{eq:10.1.14} \begin{array}{ll} {x''}&{= - \dfrac{ gR^2x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}} \\ {y''} &{= - \dfrac{gR^2y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}} \\ {z''}&{= - \dfrac{gR^2z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}.} \end{array}\]
Reescritura de sistemas de orden superior como sistemas de primer orden
Un sistema de la forma
\[\label{eq:10.1.15} \begin{array}{ccl} y_1'&= g_1(t,y_1,y_2,\dots,y_n)\\ y_2'&= g_2(t,y_1,y_2,\dots,y_n)\\ &\vdots&\\ y_n'&= g_n(t,y_1,y_2,\dots,y_n) \end{array}\]
se denomina sistema de primer orden, ya que las únicas derivadas que se producen en él son las derivadas de primer orden. La derivada de cada una de las incógnitas puede depender de la variable independiente y de todas las incógnitas, pero no de las derivadas de otras incógnitas. Cuando deseamos enfatizar el número de funciones desconocidas en la Ecuación\ ref {eq:10.1.15} diremos que la Ecuación\ ref {eq:10.1.15} es un\(n\times n\) sistema.
Los sistemas que involucran derivados de orden superior a menudo se pueden reformular como sistemas de primer orden mediante la introducción de incógnitas adicionales. Los siguientes dos ejemplos ilustran esto.
Reescribir el sistema
\[\label{eq:10.1.16} \begin{array}{ll} {m_1y_1''}&{= -(c_1+c_2)y_1'+c_2y_2'-(k_1+k_2)y_1+k_2y_2+F_1}\\ {m_2y_2''}&{= c_2y_1'-c_2y_2'+k_2y_1-k_2y_2+F_2.} \end{array}\]
derivado en Ejemplo 10.1.2 como un sistema de ecuaciones de primer orden.
Solución
Si definimos\(v_1=y_1'\) y\(v_2=y_2'\), entonces\(v_1'=y_1''\) y\(v_2'=y_2''\), así Ecuación\ ref {eq:10.1.16} se convierte
\[\begin{aligned} m_1v_1'&= -(c_1+c_2)v_1+c_2v_2-(k_1+k_2)y_1+k_2y_2+F_1\\[4pt] m_2v_2'&= c_2v_1-c_2v_2+k_2y_1-k_2y_2+F_2. \end{aligned}\nonumber \]
Por lo tanto\(\{y_1,y_2,v_1,v_2\}\) satisface el sistema de\(4\times4\) primer orden
\[\label{eq:10.1.17} \begin{array}{ll} {y_1'} &{= v_1} \\ {y_2'} &{= v_2} \\ {v_1'} &{= \dfrac{1}{m_1} \left[-(c_1+c_2)v_1+c_2v_2-(k_1+k_2)y_1+k_2y_2+F_1\right]} \\ {v_2'}&{= \dfrac{1}{m_2} \left[c_2v_1-c_2v_2+k_2y_1-k_2y_2+F_2\right].} \end{array}\]
La diferencia de forma entre la Ecuación\ ref {eq:10.1.15} y la Ecuación\ ref {eq:10.1.17}, debido a la manera en que se denotan las incógnitas en los dos sistemas, no es importante; la Ecuación\ ref {eq:10.1.17} es un sistema de primer orden, en que cada ecuación en la Ecuación\ ref {eq:10.1.17} expresa la primera derivada de una de las funciones desconocidas de manera que no implique derivadas de ninguna de las otras incógnitas.
Reescribir el sistema
\[\begin{array}{ccc} x''&= f(t,x,x',y,y',y'')\\[4pt]y'''&= g(t,x,x',y,y'y'') \end{array}\nonumber \]
como sistema de primer orden.
Solución
Consideramos\(x\),,\(x'\),\(y\)\(y'\), y\(y''\) como funciones desconocidas, y renombrarlas
\[x=x_1,\; x'=x_2,\quad y=y_1,\quad y'=y_2,\quad y''=y_3.\nonumber \]
Estas incógnitas satisfacen al sistema
\[\begin{aligned} x_1'&= x_2\\[4pt]x_2' &= f(t,x_1,x_2,y_1,y_2,y_3) \\[4pt] y_1' &= y_2\\[4pt] y_2' &= y_3 \\[4pt] y_3'&= g(t,x_1,x_2,y_1,y_2,y_3).\end{aligned}\nonumber \]
Reescritura de ecuaciones diferenciales escalares como sistemas
En este capítulo nos referiremos a ecuaciones diferenciales que involucran solo una función desconocida como ecuaciones diferenciales escalares. Las ecuaciones diferenciales escalares se pueden reescribir como sistemas de ecuaciones de primer orden mediante el método ilustrado en los siguientes dos ejemplos.
Reescribir la ecuación
\[\label{eq:10.1.18} y^{(4)}+4y'''+6y''+4y'+y=0\]
como sistema de\(4\times4\) primer orden.
Solución
Nosotros consideramos\(y\),,\(y'\)\(y''\), y\(y'''\) como incógnitas y renombramos
\[y=y_1,\quad y'=y_2,\quad y''=y_3,\quad \text{and} \quad y'''=y_4. \nonumber\]
Entonces\(y^{(4)}=y_4'\), así la Ecuación\ ref {eq:10.1.18} puede escribirse como
\[y_4'+4y_4+6y_3+4y_2+y_1=0. \nonumber\]
Por lo tanto\(\{y_1,y_2,y_3,y_4\}\) satisface el sistema
\[\begin{align*} y_1' &= y_2\\ y_2' &= y_3 \\ y_3' &= y_4\\ y_4' &= -4y_4-6y_3-4y_2-y_1. \end{align*}\]
Reescribir
\[x'''=f(t,x,x',x'') \nonumber\]
como un sistema de ecuaciones de primer orden.
Solución
Nosotros consideramos\(x\),\(x'\), y\(x''\) como incógnitas y renombrarlas
\[x=y_1, \quad x'=y_2,\quad \text{and} \quad x''=y_3. \nonumber\]
Entonces
\[y_1'=x'=y_2,\quad y_2'=x''=y_3,\quad \text{and} \quad y_3'=x'''. \nonumber\]
Por lo tanto\(\{y_1,y_2,y_3\}\) satisface el sistema de primer orden
\[\begin{align*} y_1'&= y_2 \\[4pt] y_2' &= y_3\\[4pt] y_3' &= f(t,y_1,y_2,y_3). \end{align*}\]
Dado que los sistemas de ecuaciones diferenciales que involucran derivadas superiores pueden ser reescritos como sistemas de primer orden por el método utilizado en Examples 10.1.5 - 10.1.7 , consideraremos solo sistemas de primer orden.
Solución Numérica de Sistemas
Los métodos numéricos que estudiamos en el Capítulo 3 pueden extenderse a los sistemas, y la mayoría de los paquetes de software de ecuaciones diferenciales incluyen programas para resolver sistemas de ecuaciones. No entraremos en detalles sobre métodos numéricos para sistemas; sin embargo, con fines ilustrativos describiremos el método Runge-Kutta para la solución numérica del problema del valor inicial
\[\begin{aligned} y_1'&= g_1(t,y_1,y_2),\quad y_1(t_0)=y_{10},\\[4pt] y_2'&= g_2(t,y_1,y_2),\quad y_2(t_0)=y_{20}\end{aligned}\]
en puntos igualmente espaciados\(t_0\)\(t_1\),,...,\(t_n=b\) en un intervalo\([t_0,b]\). Así,
\[t_i=t_0+ih,\quad i=0,1,\dots,n, \nonumber\]
donde
\[h={b-t_0\over n}. \nonumber\]
Denotaremos los valores aproximados de\(y_1\) y\(y_2\) en estos puntos por\(y_{10},y_{11},\dots,y_{1n}\) y\(y_{20},y_{21},\dots,y_{2n}\). El método Runge-Kutta calcula estos valores aproximados de la siguiente manera: dado\(y_{1i}\) y\(y_{2i}\), computar
\[\begin{aligned} I_{1i}&= g_1(t_i,y_{1i},y_{2i}),\\[4pt] J_{1i}&= g_2(t_i,y_{1i},y_{2i}),\\[4pt] I_{2i}&= g_1\left(t_i+{h\over2},y_{1i}+{h\over2}I_{1i},y_{2i}+{h\over2}J_{1i}\right),\\[4pt] J_{2i}&= g_2\left(t_i+{h\over2},y_{1i}+{h\over2}I_{1i},y_{2i}+{h\over2}J_{1i}\right),\\[4pt] I_{3i}&= g_1\left(t_i+{h\over2},y_{1i}+{h\over2}I_{2i},y_{2i}+{h\over2}J_{2i}\right),\\[4pt] J_{3i}&= g_2\left(t_i+{h\over2},y_{1i}+{h\over2}I_{2i},y_{2i}+{h\over2}J_{2i}\right),\\[4pt] I_{4i}&= g_1(t_i+h,y_{1i}+hI_{3i},y_{2i}+hJ_{3i}),\\[4pt] J_{4i}&= g_2(t_i+h,y_{1i}+hI_{3i},y_{2i}+hJ_{3i}),\end{aligned}\]
y
\[\begin{aligned} y_{1,i+1}&= y_{1i}+{h\over6}(I_{1i}+2I_{2i}+2I_{3i}+I_{4i}),\\[4pt] y_{2,i+1}&= y_{2i}+{h\over6}(J_{1i}+2J_{2i}+2J_{3i}+J_{4i})\end{aligned}\]
para\(i=0\),...,\(n-1\). En condiciones apropiadas sobre\(g_1\) y\(g_2\), se puede demostrar que el error de truncamiento global para el método Runge-Kutta es\(O(h^4)\), como en el caso escalar considerado en la Sección 3.3.