2.2.1: Un método de linealización

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Podemos transformar la ecuación no homogénea (2.2.1) en una ecuación lineal homogénea para una función desconocida de tres variables mediante el siguiente truco.

Estamos buscando una función$\psi(x,y,u)$ tal que la solución$u=u(x,y)$ de la Ecuación (2.2.1) se defina implícitamente por$\psi(x,y,u)=const.$ Supongamos que existe tal función$\psi$ y dejar$u$ ser una solución de (2.2.1), entonces

$$
\ psi_x+\ psi_uu_x=0,\\\ psi_y+\ psi_uu_y=0.
$$
Supongamos$\psi_u\not=0$, entonces
$$
u_x=-\ frac {\ psi_x} {\ psi_u},\\ u_y=-\ frac {\ psi_y} {\ psi_u}.
$$
De (2.2.1) obtenemos
\ begin {ecuación}
\ label {homthree}\ tag {2.2.1.1}
a_1 (x, y, z)\ psi_x+a_2 (x, y, z)\ psi_y+a_3 (x, y, z)\ psi_z=0,
\ end {ecuación}
donde$z:=u$.

Consideramos el sistema asociado de ecuaciones características
\ begin {eqnarray*}
x' (t) &=&a_1 (x, y, z)\\
y' (t) &=&a_2 (x, y, z)\\
z' (t) &=&a_3 (x, y, z).
\ end {eqnarray*}

Se llega a este sistema por los mismos argumentos que en el caso bidimensional anterior.

Proposición 2.2. (i) Supongamos$w\in C^1$$w=w(x,y,z)$,, es una integral, es decir, es constante a lo largo de cada solución fija de (\ ref {homthree}), entonces$\psi=w(x,y,z)$ es una solución de (\ ref {homthree}).

(ii) La función$z=u(x,y)$, implícitamente definida a través de$\psi(x,u,z)=const.$, es una solución de (2.2.1), siempre que$\psi_z\not=0$.

(iii) Dejar$z=u(x,y)$ ser una solución de (2.2.1) y dejar$(x(t),y(t))$ ser una solución
de
$$
x' (t) =a_1 (x, y, u (x, y)),\\ y' (t) =a_2 (x, y, u (x, y)),
$$$z(t):=u(x(t),y(t))$ satisface
entonces la tercera de las ecuaciones características anteriores .

Prueba. Ejercicio.

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