2.2.2: Problema de Valor Inicial de Cauchy

Consideremos de nuevo la ecuación cuasilineal

(\(\star\))\(a_1(x,y,u)u_x+a_2(x,y,u)u_y=a_3(x,y,u)\).

Que
$$
\ Gamma:\\ x=x_0 (s),\ y=y_0 (s),\ z=z_0 (s),\ s_1\ le s\ le s_2,\ -\ infty<s_1<s_2<+\ infty
$$
sea una curva regular en\(\mathbb{R}^3\) y denotar por\(\mathcal{C}\) la proyección ortogonal de\(\Gamma\) sobre el\((x,y)\) plano, es decir,
$$
\ mathcal {C}:\\ x=x_0 (s),\\ y=y_0 (s).
\]

Problema de valor inicial de Cauchy: Encontrar una\(C^1\) -solución\(u=u(x,y)\) de\((\star)\) tal manera que\(u(x_0(s),y_0(s))=z_0(s)\), es decir, buscamos una superficie\(\mathcal{S}\) definida por la\(z=u(x,y)\) cual contiene la curva\(\Gamma\).

Figura 2.2.2.1: Problema de valor inicial de Cauchy

Definición. \(\Gamma\)Se dice que la curva no es característica si
$$
x_0' (s) a_2 (x_0 (s), y_0 (s)) -y_0' (s) a_1 (x_0 (s), y_0 (s))\ not=0.
\]

Teorema 2.1. Asumir\(a_1,\ a_2,\ a_2\in C^1\) en sus argumentos, los datos iniciales\(x_0,\ y_0,\ z_0\in C^1[s_1,s_2]\) y no\(\Gamma\) es característico.

Entonces hay un barrio de\(\cal{C}\) tal que existe exactamente una solución\(u\) del problema del valor inicial de Cauchy.

Comprobante. (i) Existencia. Considere el siguiente problema de valor inicial para el sistema de ecuaciones características a (\(\star\)):
\ begin {eqnarray*}
x' (t) &=&a_1 (x, y, z)\\
y' (t) &=&a_2 (x, y, z)\\
z' (t) &=&a_3 (x, y, z)
\ end {eqnarray*}
con las condiciones iniciales
\ begin {eqnarray*}
x (s,0) &=&x_0 (s)\\
y (s,0) &=&y_0 (s)\\
z (s,0) &=&z_0 (s).
\ end {eqnarray*}
Dejar\(x=x(s,t)\),\(y=y(s,t)\),\(z=z(s,t)\) ser la solución,\(s_1\le s\le s_2\),\(|t|<\eta\) para un\(\eta>0\). Mostraremos que este conjunto de curvas, ver Figura 2.2.2.1, define una superficie. Para mostrar esto, consideramos las funciones inversas\(s=s(x,y)\),\(t=t(x,y)\) de\(x=x(s,t)\),\(y=y(s,t)\) y demostramos que\(z(s(x,y),t(x,y))\) es una solución al problema inicial de Cauchy. Las funciones inversas\(s\) y\(t\) existen en una vecindad de\(t=0\) desde
$$
\ det\ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (s, t)}\ Big|_ {t=0} =
\ izquierda|\ begin {array} {cc} x_s&x_t\\ y_s&y_t\ end {array}\ right|_ {t=0}
=x_0' (s) a_2-y_0' (s) a_1\ not=0,
$$
y la curva inicial no\(\Gamma\) es característica por suposición.

Establecer
$$
u (x, y) :=z (s (x, y), t (x, y)),
$$
luego\(u\) satisface la condición inicial ya que
$$
u (x, y) |_ {t=0} =z (s,0) =z_0 (s).
$$
El siguiente cálculo muestra que también\(u\) es una solución de la ecuación diferencial (\(\star\)).
\ begin {eqnarray*}
a_1u_x+a_2u_y&=&a_1 (z_ss_x+z_tt_x) +a_2 (z_ss_y+z_tt_y)\\
&=&z_s (a_1s_x+a_2s_y) +z_t (a_1t_x+a_2t_y)\\
&=&=_s (s_xx_t+s_yy_t) +z_t (t_xx_t+t_yy_t)\\
&=&a_3
\ end {eqnarray*}
desde\(0=s_t=s_xx_t+s_yy_t\) y\(1=t_t=t_xx_t+t_yy_t\).

(ii) Singularidad. Supongamos que\(v(x,y)\) es una segunda solución. Considera un punto\((x',y')\) en un barrio de la curva\((x_0(s),y(s))\),\(s_1-\epsilon\le s\le s_2+\epsilon\),\(\epsilon>0\) pequeño. Los parámetros inversos son\(s'=s(x',y')\)\(t'=t(x',y')\), ver Figura 2.2.2.2.

Figura 2.2.2.2: Prueba de unicidad

Que
$$
{\ mathcal {A}}:\\ x (t) :=x (s', t),\ y (t) :=y (s', t),\ z (t) :=z (s', t)
$$
sea la solución del problema de valor inicial anterior para las ecuaciones diferenciales características con los datos iniciales
$$
x (s',0) =x_0 (s'),\ y (s',0) =y_ 0 (s'),\ z (s',0) =z_0 (s').
$$
De acuerdo a su construcción esta curva se encuentra en la superficie\(\mathcal{S}\) definida por\(u=u(x,y)\) y\(u(x',y')=z(s',t')\). Establecer
$$
\ psi (t) :=v (x (t), y (t)) -z (t),
$$
entonces
\ begin {eqnarray*}
\ psi' (t) &=&v_xx'+v_yy'-z'\\
&=&x_xa_1+v_ya_2-a_3=0
\ end {eqnarray*}
y
$$
\ psi (0) =v (x (s',0), y (s',0)) -z (s',0) =0
$$
ya que\(v\) es una solución de la ecuación diferencial y satisface la condición inicial por suposición. Así,\(\psi(t)\equiv0\), i. e.,
$$
v (x (s', t), y (s', t)) -z (s', t) =0.
$$
Set\(t=t'\), luego
$$
v (x', y') -z (s', t') =0,
$$
lo que demuestra que\(v(x',y')=u(x',y')\) debido a\(z(s',t')=u(x',y')\).

\(\Box\)

OBSERVACIÓN. En general, no hay singularidad si la curva inicial\(\Gamma\) es una curva característica, ver un ejercicio y la Figura 2.2.2.3, que ilustra este caso.

Figura 2.2.2.3: Múltiples soluciones

Ejemplos

Ejemplo 2.2.2.1:

Considere el problema del valor inicial de Cauchy
$$
u_x+u_y=0
$$
con los datos iniciales
$$
x_0 (s) =s,\ y_0 (s) =1,\ z_0 (s)\\ mbox {es un dado}\ C^1\ mbox {-function}.
$$
Estos datos iniciales no son característicos ya que\(y_0'a_1-x_0'a_2=-1\). La solución del sistema asociado de ecuaciones características
$$
x' (t) =1,\ y' (t) =1,\ u' (t) =0
$$
con las condiciones iniciales
$$
x (s,0) =x_0 (s),\ y (s,0) =y_0 (s),\ z (s,0) =z_0 (s)
$$
es dado por
$$
x=t+x_0 (s),\ y=t+y_0 (s),\ z=z_0 (s),
$$
i. e.,
$$
x=t+s,\ y=t+1,\ z=z_0 (s).
$$
Se sigue\(s=x-y+1,\ t=y-1\) y esa\(u=z_0(x-y+1)\) es la solución del problema del valor inicial de Cauchy.

Ejemplo 2.2.2.2:

Un problema desde la cinética en la química. Considera para\(x\ge0\),\(y\ge0\) el problema
$$
u_x+u_y=\ left (k_0e^ {-k_1x} +k_2\ right) (1-u)
$$
con datos iniciales
$$
u (x,0) =0,\ x>0,\\ mbox {y}\ u (0, y) =u_0 (y),\ y>0.
$$
Aquí las constantes\(k_j\) son positivas, estas constantes definen la velocidad de las reacciones en consideración, y\(u_0(y)\) se da la función. La variable\(x\) es el tiempo y\(y\) es la altura de un tubo, por ejemplo, en el que tiene lugar la reacción química, y\(u\) es la concentración de la sustancia química.

A diferencia de nuestras suposiciones anteriores, los datos iniciales no están en\(C^1\). La proyección\({\mathcal C}_1\cup {\mathcal C}_2\) de la curva inicial sobre el\((x,y)\) plano tiene una esquina en el origen, ver Figura 2.2.2.4.

Figura 2.2.2.4: Dominios al ejemplo de cinética química

El sistema asociado de ecuaciones características es
$$
x' (t) =1,\ y' (t) =1,\ z' (t) =\ left (k_0e^ {-k_1x} +k_2\ right) (1-z).
$$
Sigue\(x=t+c_1\),\(y=t+c_2\) con constantes\(c_j\). Así, la proyección de las curvas características en el\((x,y)\) plano -son líneas rectas paralelas a\(y=x\). Vamos a resolver los problemas de valor inicial en los dominios\(\Omega_1\) y\(\Omega_2\), ver Figura 2.2.2.4, por separado.

(i) El problema de valor inicial en\(\Omega_1\). Los datos iniciales son
$$
x_0 (s) =s,\ y_0 (s) =0,\ z_0 (0) =0,\ s\ ge 0.
$$
Sigue
$$
x=x (s, t) =t+s,\ y=y (s, t) =t.
$$
Así
$$
z' (t) =( k_0e^ {-k_1 (t+s)} +k_2) (1-z),\ z (0) =0.
$$
La solución de este problema de valor inicial viene dada por
$$
z (s, t) =1-\ exp\ left (\ frac {k_0} {k_1} e^ {-k_1 (s+t)} -k_2t-\ frac {k_0} {k_1} e^ {-k_1s}\ right).
$$
Consecuentemente
$$
u_1 (x, y) =1-\ exp\ left (\ frac {k_0} {k_1} e^ {-k_1x} -k_2y- {k_0} {k_1} e^ {-k_1 (x-y)}\ right)
$$
es la solución del problema del valor inicial de Cauchy en\(\Omega_1\). Si el tiempo\(x\) tiende a\(\infty\), obtenemos el límite
$$
\ lim_ {x\ to\ infty} u_1 (x, y) =1-e^ {-k_2y}.
\]

(ii) El problema de valor inicial en\(\Omega_2\). Los datos iniciales están aquí

$$
x_0 (s) =0,\ y_0 (s) =s,\ z_0 (0) =u_0 (s),\ s\ ge 0.
$$
Sigue
$$
x=x (s, t) =t,\ y=y (s, t) =t+s.
$$
Así
$$
z' (t) =( k_0e^ {-k_1t} +k_2) (1-z),\ z (0) =0.
$$
La solución de este problema de valor inicial viene dada por
$$
z (s, t) =1- (1-u_0 (s))\ exp\ left (\ frac {k_0} {k_1} e^ {-k_1t} -k_2t-\ frac {k_0} {k_1}\ right).
$$
Consecuentemente
$$
u_2 (x, y) =1- (1-u_0 (y-x))\ exp\ left (\ frac {k_0} {k_1} e^ {-k_1x} -k_2x-\ frac {k_0} {k_1}\ right)
$$
es la solución en\(\Omega_2\).

Si\(x=y\), entonces
\ comienza {eqnarray*}
u_1 (x, y) &=&1-\ exp\ izquierda (\ frac {k_0} {k_1} e^ {-k_1x} -k_2x-\ frac {k_0} {k_1}\ derecha)\\
u_2 (x, y) &=&1- (1-u_0 (0))\ exp\ izquierda (\ frac {k_0} {k_1} e^ {-k_1x} -k_2x-\ frac {k_0} {k_1}\ derecha).
\ end {eqnarray*}
Si\(u_0(0)>0\), entonces\(u_1<u_2\) si\(x=y\), i. e., hay un salto de la concentración del sustrato a lo largo de su frente ardiente definido por\(x=y\).

OBSERVACIÓN. Tal problema con los datos iniciales discontinuos se llama problema de Riemann. Ver un ejercicio para otro problema de Riemann.

El caso de que se conozca una solución de la ecuación

Aquí veremos que obtenemos de inmediato una solución del problema del valor inicial de Cauchy si se conoce una solución de la ecuación lineal homogénea
$$
a_1 (x, y) u_x+a_2 (x, y) u_y=0
$$
.

Que
$$
x_0 (s),\ y_0 (s),\ z_0 (s),\ s_1<s<s_2
$$
sean los datos iniciales y dejemos\(u=\phi(x,y)\) ser una solución de la ecuación diferencial. Suponemos que
$$
\ phi_x (x_0 (s), y_0 (s)) x_0' (s) +\ phi_y (x_0 (s), y_0 (s)) y_0' (s)\ no=0
$$
está satisfecho. Establecer
$$
g (s) =\ phi (x_0 (s), y_0 (s))
$$
y dejar\(s=h(g)\) ser la función inversa.

La solución del problema inicial de Cauchy viene dada por\(u_0\left(h(\phi(x,y))\right)\).

Esto sigue ya que en el problema considerado una composición de una solución es una solución de nuevo, ver un ejercicio, y desde
$$
u_0\ left (h (\ phi (x_0 (s), y_0 (s))\ right) =u_0 (h (g)) =u_0 (s).
\]

Ejemplo 2.2.2.3:

Considera la ecuación
$$
u_x+u_y=0
$$
con datos iniciales
$$
x_0 (s) =s,\ y_0 (s) =1,\ u_0 (s)\\ mbox {es una función dada}.
$$
Una solución de la ecuación diferencial es\(\phi(x,y)=x-y\). Así
$$
\ phi ((x_0 (s), y_0 (s)) =s-1
$$
y
$$
u_0 (\ phi+1) =u_0 (x-y+1)
$$
es la solución del problema.

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