2.3: Ecuaciones no lineales en dos variables

Aquí consideramos la ecuación

\ begin {ecuación}
\ label {no lineal1}
F (x, y, z, p, q) =0,
\ end {ecuación}

donde\(z=u(x,y)\),\(p=u_x(x,y)\),\(q=u_y(x,y)\) y\(F\in C^2\) se le da tal que\(F_p^2+F_q^2\not=0\).

A diferencia del caso cuasilineal, esta ecuación general no lineal es más complicada.

Junto con (\ ref {nonlineal1}) consideraremos el siguiente sistema de ecuaciones ordinarias que se derivan de consideraciones a continuación como condiciones necesarias, en particular de la suposición de que existe una solución de (\ ref {nonlinear1}).

\ begin {eqnarray}
\ label {char1}
x' (t) &=&f_p\
\ label {char2}
y' (t) &=&f_q\
\ etiqueta {char3}
z' (t) &=&pf_p+qf_q\
\ label {char4}
p' (t) &=&-f_x-f_up\\
\ label {char5}
q' (t) &=&-f_y-f_uq.
\ end {eqnarray}

Definición. Se dice que las ecuaciones (\ ref {char1}) — (\ ref {char5}) son ecuaciones características de la ecuación (\ ref {nonlineal1}) y una solución

$$ (x (t), y (t), z (t), p (t), q (t))\]

de las ecuaciones características se llama tira característica o curva de Monge.

Figura 2.3.1: Gaspard Monge (Panthèon, París)

Veremos, como en el caso cuasilineal, que las tiras definidas por las ecuaciones características construyen la superficie de solución del problema del valor inicial de Cauchy.

\(z=u(x,y)\)Sea una solución de la ecuación diferencial no lineal general (\ ref {nonlinear1}).

\((x_0,y_0,z_0)\)Sea fijo, entonces la ecuación (\ ref {nonlineal1}) define un conjunto de planos dados por
\((x_0,y_0,z_0,p,q)\), es decir, planos dados por los\(z=v(x,y)\) cuales contienen el punto\((x_0,y_0,z_0)\)
y para los cuales\(v_x=p\),\(v_y=q\) at\((x_0,y_0)\). En el caso de las ecuaciones cuasilineales, este conjunto de planos es un haz de planos que todos contienen una línea recta fija, ver Sección 2.1. En el caso general de esta sección la situación es más complicada.

Considera el ejemplo

\ begin {ecuación}
\ label {monge1}
p^2+q^2=f (x, y, z),
\ end {ecuación}

donde\(f\) es una función positiva dada. Dejar\(E\) ser un plano definido por\(z=v(x,y)\) y que contiene\((x_0,y_0,z_0)\). Entonces la normal en el plano\(E\) dirigido hacia abajo es

$$ {\ bf N} =\ frac {1} {\ sqrt {1+|\ nabla v|^2}} (p, q, -1),\]

donde\(p=v_x(x_0,y_0)\),\(q=v_y(x_0,y_0)\). De (\ ref {monge1}) se deduce que la normal\({\bf N}\) hace un ángulo constante con el\(z\) eje -y la\(z\) coordenada de\({\bf N}\) es constante, ver Figura 2.3,2.

Figura 2.3.2: Cono de Monge en un ejemplo

Así los extremos de las normales fijados en\((x_0,y_0,z_0)\) definen un círculo paralelo al\((x,y)\) -plano, es decir, hay un cono que es la envolvente de todos estos planos.

Suponemos que la ecuación general (\ ref {nonlineal1}) define tal cono Monge en cada punto de\(\mathbb{R}^3\). Después buscamos una superficie\(S\) que toque en cada punto su cono Monge, ver Figura 2.3.3.

Figura 2.3.3: Conos Monge

Más precisamente, suponemos que existe, como en el ejemplo anterior, una\(C^1\) familia de un parámetro

$$p (\ lambda) =p (\ lambda; x, y, z),\ q (\ lambda) =q (\ lambda; x, y, z)\]

de soluciones de (\ ref {nonlineal1}). Estos\((p(\lambda),q(\lambda))\) definen una familia\(\Pi(\lambda)\) de planos.

Let

$$ {\ bf x} (\ tau) = (x (\ tau), y (\ tau), z (\ tau))\]

ser una curva en la superficie\(S\) que toca en cada punto su cono Monge, ver Figura 2.3.4. Así asumimos que en cada punto de la superficie\(\mathcal S\) el plano tangente asociado coincide con un plano de la familia\(\Pi(\lambda)\) en este punto.

Figura 2.3.4: Conos Monge a lo largo de una curva en la superficie

Considere el plano tangencial\(T_{{\bf x}_0}\) de la superficie\(S\) en\({\bf x}_0=(x(\tau_0),y(\tau_0),z(\tau_0))\). La línea recta

$$ {\ bf l} (\ sigma) = {\ bf x} _0+\ sigma {\ bf x} '(\ tau_0),\ qquad -\ infty<\ sigma<\ infty,\]

es un apotema (en alemán: Mantellinie) del cono por suposición y está contenido en el plano tangencial\(T_{{\bf x}_0}\) como la tangente de una curva en la superficie\(S\). Se define a través de

\ begin {ecuación}
\ label {xl}
{\ bf x} '(\ tau_0) = {\ bf l}' (\ sigma).
\ end {ecuación}

La línea recta\({\bf l}(\sigma)\) satisface

$$l_3 (\ sigma) -z_0= (l_1 (\ sigma) -x_0) p (\ lambda_0) + (l_2 (\ sigma) -y_0) q (\ lambda_0),\]

ya que está contenida en el plano tangencial\(T_{{\bf x}_0}\) definido por la pendiente\((p,q)\). De ello se sigue

$$l_3' (\ sigma) =p (\ lambda_0) l_1' (\ sigma) +q (\ lambda_0) l_2' (\ sigma).\]

Junto con (\ ref {xl}) obtenemos

\ begin {ecuación}
\ label {zpq}
z' (\ tau) =p (\ lambda_0) x' (\ tau) +q (\ lambda_0) y' (\ tau).
\ end {ecuación}

La línea recta anterior\({\bf l}\) es el límite de la línea de intersección de dos planos vecinos que envuelven el cono Monge:

\ begin {eqnarray*}
z-z_0&=& (x-x_0) p (\ lambda_0) + (y-y_0) q (\ lambda_0)\\
z-z_0&=& (x-x_0) p (\ lambda_0+h) + (y-y_0) q (\ lambda_0+h).
\ end {eqnarray*}

En la intersección se tiene

$$ (x-x_0) p (\ lambda) + (y-y_0) q (\ lambda_0) = (x-x_0) p (\ lambda_0+h) + (y-y_0) q (\ lambda_0+h).\]

Vamos\(h\to 0\), sigue

$$ (x-x_0) p' (\ lambda_0) + (y-y_0) q' (\ lambda_0) =0.\]

Ya que\(x=l_1(\sigma)\),\(y=l_2(\sigma)\) en esta posición límite, tenemos

$$p' (\ lambda_0) l_1' (\ sigma) +q' (\ lambda_0) l_2' (\ sigma) =0,\]

y se deduce de (\ ref {xl}) que

\ begin {ecuación}
\ label {pxqy}
p' (\ lambda_0) x' (\ tau) +q' (\ lambda_0) y' (\ tau) =0.
\ end {ecuación}

De la ecuación diferencial\(F(x_0,y_0,z_0,p(\lambda),q(\lambda))=0\) vemos que
\ begin {ecuación}
\ label {Fpq}
F_pp' (\ lambda) +F_QQ' (\ lambda) =0.
\ end {ecuación}

Supongamos\(x'(\tau_0)\not=0\) y\(F_p\not=0\), entonces obtenemos de (\ ref {pxqy}), (\ ref {Fpq})
\ begin {equation*}
%\ label {q1}
\ frac {y' (\ tau_0)} {x' (\ tau_0)} =\ frac {f_q} {f_p},
\ end {equation*}
y from (\ ref {zpq}) (\ ref {Fpq}) que
\ begin { ecuación*}
%\ label {q2}
\ frac {z' (\ tau_0)} {x' (\ tau_0)} =p+q\ frac {f_q} {f_p}.
\ end {ecuation*}
Se sigue, ya que\(\tau_0\) era un parámetro fijo arbitrario,
\ begin {eqnarray*}
{\ bf x} '(\ tau) &=& (x' (\ tau), y' (\ tau), z' (\ tau))\\
&=&\ left (x' (\ tau), x' (\ tau)\ frac {f_q} {f_p}, x' (\ tau)\ izquierda (p+q\ frac {f_q} { F_p}\ right)\ right)\\
&=&\ frac {x' (\ tau)} {f_p} (f_p, f_q, pf_p+qf_q),
\ end {eqnarray*}
i. e., el vector tangencial\({\bf x}'(\tau)\) es proporcional a\((F_p,F_q,pF_p+qF_q)\).
Establecer
$$
a (\ tau) =\ frac {x' (\ tau)} {f_p},
$$
donde\(F=F(x(\tau),y(\tau),z(\tau),p(\lambda(\tau)),q(\lambda(\tau)))\). Presentando el nuevo parámetro\(t\) por la inversa de\(\tau=\tau(t)\), donde
$$
t (\ tau) =\ int_ {\ tau_0} ^\ tau\ a (s)\ ds,
$$
obtenemos las ecuaciones características (\ ref {char1}) — (\ ref {char3}).
Aquí denotamos\({\bf x}(\tau(t))\) de\({\bf x}(t)\) nuevo.
De la ecuación diferencial (\ ref {nonlinear1}) y de (\ ref {char1}) — (\ ref {char3}) obtenemos ecuaciones (\ ref {char4}) y (\ ref {char5}). Supongamos que la superficie en\(z=u(x,y)\) consideración está adentro\(C^2\), entonces
\ begin {eqnarray*}
f_x+f_zp+f_pp_x+f_qp_y&=&0,\\ (q_x=p_y)\\
f_x+f_zp+x' (t) p_x+y' (t) p_y&=&0\
f_x+f__zp+p' (t) &=&0
\ end {eqnarray*}
ya que\(p=p(x,y)=p(x(t),y(t))\) en la curva\({\bf x}(t)\). Así se muestra la ecuación (\ ref {char4}) del sistema característico. Diferenciando la ecuación diferencial (\ ref {nonlineal1}) con respecto a\(y\), obtenemos finalmente ecuación (\ ref {char5}).

OBSERVACIÓN. En el caso cuasilineal anterior
$$
F (x, y, z, p, q) =a_1 (x, y, z) p+a_2 (x, y, z) q-a_3 (x, y, z)
$$
las tres primeras ecuaciones características son las mismas:
$$
x' (t) =a_1 (x, y, z),\ y' (t) =a_2 (x, y, z),\ z' (t) =a_3 (x, y, z).
$$
El punto es que los lados de la derecha son independientes sobre\(p\) o\(q\). Del Teorema 2.1 se deduce que existe una solución al problema del valor inicial de Cauchy siempre que los datos iniciales no sean característicos. Es decir, no necesitamos las otras dos ecuaciones características restantes.

Las otras dos ecuaciones (\ ref {char4}) y (\ ref {char5}) se satisfacen en este caso cuasilineal automáticamente si hay una solución de la ecuación, ver la derivación anterior de estas ecuaciones.

El significado geométrico de las tres primeras ecuaciones diferenciales características (\ ref {char1}) — (\ ref {char5}) es el siguiente. Cada punto de la curva
$$
{\ mathcal A}:\ quad (x (t), y (t), z (t))
$$
corresponde a un plano tangencial con la dirección normal\((-p,-q,1)\) tal que
$$
z' (t) =p (t) x' (t) +q (t) y' (t).
$$
Esta ecuación se llama condición de tira. Por otro lado, let\(z=u(x,y)\) define una superficie, luego\(z(t):=u(x(t),y(t))\) satisface la condición de tira, donde\(p=u_x\) y\(q=u_y\), es decir, las “escalas” definidas por las normales encajan entre sí.

Proposición 2.3. \(F(x,y,z,p,q)\)es una integral, es decir, es constante a lo largo de cada curva característica.

Comprobante.
\ begin {eqnarray*}
\ frac {d} {dt} F (x (t), y (t), z (t), p (t), q (t)) &=&F_XX'+F_YY'+F_ZZ'+F_PP'+F_QQ'\\
&=&F_XF_P+F_YF_Q+PF_zf_p+qf_zf_q\\
&&-f_pf_x-f_pf_zp-f_qf_y-f_qf_zq\\
&=&0.
\ end {eqnarray*}

\(\Box\)

Corolario. Supongamos\(F(x_0,y_0,z_0,p_0,q_0)=0\), luego\(F=0\) a lo largo de curvas características con los datos iniciales\((x_0,y_0,z_0,p_0,q_0)\).

Proposición 2.4.
Dejar\(z=u(x,y)\),\(u\in C^2\), ser una solución de la ecuación no lineal (\ ref {nonlinear1}). Establecer
$$
z_0=u (x_0, y_0,)\ p_0=u_x (x_0, y_0),\ q_0=u_y (x_0, y_0).
$$
Entonces la tira característica asociada está en la superficie\(\mathcal{S}\), definida por\(z=u(x,y)\).
Así
\ begin {eqnarray*}
z (t) &=&u (x (t), y (t))\\
p (t) &=&u_x (x (t), y (t))\\
q (t) &=&u_y (x (t), y (t)),
\ end {eqnarray*}
donde\((x(t),y(t),z(t),p(t),q(t))\) esta la solución del sistema caracteristico ( \ ref {char1}) — (\ ref {char5}) con datos iniciales\((x_0,y_0,z_0,p_0,q_0)\)

Comprobante. Considera el problema del valor inicial
\ begin {eqnarray*}
x' (t) &=&f_p (x, y, u (x, y), u_x (x, y), u_y (x, y))\\
y' (t) &=&f_q (x, y, u (x, y), u_x (x, y), u_y (x, y), u_y (x, y), u_y (x, y), u_y (x, y) y))
\ end {eqnarray*}
con los datos iniciales\(x(0)=x_0\),\(y(0)=y_0\). Mostraremos que
$$
(x (t), y (t), u (x (t), y (t)), u_x (x (t), y (t)), u_y (x (t), y (t)))
$$
es una solución del sistema característico. Recordamos que la solución existe y está determinada de manera única.

Establecer\(z(t)=u(x(t),y(t))\), entonces\((x(t),y(t),z(t))\subset\mathcal{S}\), y
$$
z' (t) =u_xx' (t) +u_yy' (t) =u_xf_p+u_yf_q.
$$
Establecer\(p(t)=u_x(x(t),y(t)),\ q(t)=u_y(x(t),y(t))\), entonces
\ begin {eqnarray*}
p' (t) &=&u_ {xx} f_p+u_ {xy} f_q\\
q' (t) &=&u_ {y_ x} f_p+u_ {yy} f_q.
\ end {eqnarray*}
Finalmente, de la ecuación diferencial\(F(x,y,u(x,y),u_x(x,y),u_y(x,y))=0\) sigue
\ begin {eqnarray*}
p' (t) &=&-f_x-f_up\\
q' (t) &=&-f_y-f_uq.
\ end {eqnarray*}

\(\Box\)

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