2.3.1: Problema de Valor Inicial de Cauchy

Let

\ begin {ecuación}
\ label {inicial}\ tag {2.3.1.1}
x=x_0 (s),\ y=y_0 (s),\ z=z_0 (s),\ p=p_0 (s),\ q=q_0 (s),\ s_1<s<s_2,
\ end {ecuación}

ser una tira inicial dada de tal manera que la condición de la tira

\ begin {ecuación}
\ etiqueta {tira}\ etiqueta {2.3.1.2}
z_0' (s) =p_0 (s) x_0' (s) +q_0 (s) y_0' (s)
\ end {ecuación}

está satisfecho. Además, suponemos que la franja inicial satisface la ecuación no lineal, es decir,

\ begin {ecuación}
\ label {nonl}\ tag {2.3.1.3}
F (x_0 (s), y_0 (s), z_0 (s), p_0 (s), q_0 (s)) =0.
\ end {ecuación}

Problema de valor inicial de Cauchy: Encontrar una\(C^2\) solución\(z=u(x,y)\) de\(F(x,y,z,p,q)=0\) tal manera que la superficie\(\mathcal{S}\) definida por\(z=u(x,y)\) contenga la tira inicial anterior.

Similar al caso cuasilineal mostraremos que el conjunto de tiras definidas por el sistema característico que se fijan sobre la tira inicial, ver Figura 2.3.1.1, encajan entre sí y definen la superficie para la que estamos mirando.

Figura 2.3.1.1: Construcción de la solución

Definición. Una tira\((x(\tau),y(\tau),z(\tau),p(\tau),q(\tau))\),\(\tau_1<\tau<\tau_2\), se dice que no es característica si

$$x' (\ tau) f_q (x (\ tau), y (\ tau), z (\ tau), p (\ tau), q (\ tau)) -y' (\ tau) f_p (x (\ tau), y (\ tau), z (\ tau), p (\ tau), q (\ tau))\ no=0.\]

Teorema 2.2. Para una tira inicial no característica dada (\ ref {initial}),\(x_0,\ y_0,\ z_0\in C^2\) y\(p_0,\ q_0\in C^1\) que satisface la condición de tira (\ ref {strip}) y la ecuación diferencial (\ ref {nonl}) existe exactamente una solución\(z=u(x,y)\) del problema del valor inicial de Cauchy en una vecindad de la inicial curve\((x_0(s),y_0(s),z_0(s))\), i. e.,\(z=u(x,y)\) es la solución de la ecuación diferencial (2.3.1) y
\ begin {eqnarray*}
u (x_0 (s), y_0 (s)) &=&z_0 (s)\\
u_x (x_0 (s), y_0 (s)) &=&p_0 (s)\\
u_y (x_0 (s), y_0 (s)) &=&q_0 (s).
\ end {eqnarray*}

Comprobante. Considerar el sistema (2.7) — (2.11) con datos iniciales

\ begin {eqnarray*}
x (s,0) &=&x_0 (s),\ y (s,0) =y_0 (s),\ z (s,0) =z_0 (s)\\
p (s,0) &=&p_0 (s),\ q (s,0) =q_0 (s).
\ end {eqnarray*}

Mostraremos que la superficie definida por\(x=x(s,t),\ y(s,t)\) es la superficie definida por\(z=u(x,y)\), donde\(u\) está la solución del problema del valor inicial de Cauchy. Resulta que\(u(x,y)=z(s(x,y),t(x,y))\), donde\(s=s(x,y)\),\(t=t(x,y)\) es lo inverso de\(x=x(s,t)\),\(y=y(s,t)\) en un barrio de\(t=0\). Esta inversa existe ya que la tira inicial no es característica por suposición:

$$\ det\ frac {\ parcial (x, y)} {\ parcial (s, t)}\ Big|_ {t=0} =x_0f_q -y_0f_q\ no=0.\]

Set

$$P (x, y) =p (s (x, y), t (x, y)),\\ Q (x, y) =q (s (x, y), t (x, y)).\]

De la Proposición 2.3 y de la Proposición 2.4 se sigue\(F(x,y,u,P,Q)=0\). Vamos a mostrar eso\(P(x,y)=u_x(x,y)\) y\(Q(x,y)=u_y(x,y)\). Para ver esto, consideramos que la función

$$h (s, t) =z_s-px_s-qy_s.\]

Uno tiene

$$h (s,0) =z_0' (s) -p_0 (s) x_0' (s) -q_0 (s) y_0' (s) =0\]

ya que la tira inicial satisface la condición de tira por suposición. A continuación encontraremos que para fijo\(s\) la función\(h\) satisface una ecuación diferencial ordinaria homogénea lineal de primer orden. En consecuencia,\(h(s,t)=0\) en un barrio de\(t=0\). Por lo tanto, la condición de tira también se satisface a lo largo de las tiras transversales a las tiras características, ver Figura 2.3.1.1.
Entonces el conjunto de “escamas” encajan entre sí y definen una superficie como las escamas de un pez.

De la definición de\(h(s,t)\) y las ecuaciones características obtenemos

\ begin {eqnarray*}
h_t (s, t) &=&z_ {st} -p_tx_s-q_ty_s-px_ {st} -qy_ {st}\\
&=&\ frac {\ parcial} {\ parcial s} (z_t-px_t-qy_t) +p_sx_t+q_sy_t-q_ty_p__tx_s\\
&=& (px_s+qy_s) f_z +f_xx_s+f_yz_s+f_pp_s+f_qq_s.
\ end {eqnarray*}

Ya que\(F(x(s,t),y(s,t),z(s,t),p(s,t),q(s,t))=0\), se deduce después de la diferenciación de esta ecuación con respecto a\(s\) la ecuación diferencial

$$H_t=-F_zh.\]

De ahí\(h(s,t)\equiv0\), ya que\(h(s,0)=0\).

Así tenemos

\ begin {eqnarray*}
z_s&=&px_s+qy_s\\
z_t&=&px_t+qy_t\\
z_s&=&u_xx_s+u_yy_s\\
z_t&=&u_xy_t+u_yy_t.
\ end {eqnarray*}

La primera ecuación se mostró arriba, la segunda es una ecuación característica y las dos últimas siguen de\(z(s,t)=u(x(s,t),y(s,t))\). Este sistema implica

\ begin {eqnarray*}
(p-u_x) x_s+ (Q-u_y) y_s&=&0\\
(p-u_x) x_t+ (Q-u_y) y_t&=&0.
\ end {eqnarray*}

De ello se sigue\(P=u_x\) y\(Q=u_y\).

Las condiciones iniciales

\ begin {eqnarray*}
u (x (s,0), y (s,0)) &=&z_0 (s)\\
u_x (x (s,0), y (s,0)) &=&p_0 (s)\\
u_y (x (s,0), y (s,0)) &=&q_0 (s)
\ end {eqnarray*}

están satisfechos ya que

\ begin {eqnarray*}
u (x (s, t), y (s, t)) &=&z (s (x, y), t (x, y)) =z (s, t)\\
u_x (x (s, t), y (s, t)) &=&p (s (x, y), t (x, y) =p (s, t)\\
u_y (x (s, t), y (s, t)) &=&q (s (x, y), t (x, y)) =q (s, t).
\ end {eqnarray*}

La singularidad sigue como en la prueba del Teorema 2.1.

\(\Box\)

Ejemplo 2.3.1.1:

Una ecuación diferencial que ocurre en la óptica geométrica es

$$u_x^2+u_y^2=f (x, y),\]

donde la función positiva\(f(x,y)\) es el índice de refracción. Los conjuntos de niveles definidos por\(u(x,y)=const.\) se llaman {\ it wave fronts}. Las curvas características\((x(t),y(t))\) son los rayos de luz. Si\(n\) es una constante, entonces los rayos de luz son líneas rectas. En\(\mathbb{R}^3\) la ecuación es

$$u_x^2+u_y^2+u_z^2=f (x, y, z).\]

Así tenemos que extender la teoría anterior de\(\mathbb{R}^2\) a\(\mathbb{R}^n\),\(n\ge3\).

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