3.1: Ecuaciones Lineales de Segundo Orden

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La ecuación diferencial parcial no lineal general de segundo orden es

$$
F (x, u, Du, d^2u) =0,
$$
donde$n$,$u:\ \Omega\subset\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}^1$,$Du\equiv\nabla u$ y$u$ representa todas las segundas derivadas. La función$F$ es dada y suficientemente regular con respecto a sus$2n+1+n^2$ argumentos.

En esta sección consideramos el caso
\ begin {ecuación}
\ label {linsecond}
\ suma_ {i, k=1} ^na^ {ik} (x) u_ {x_ix_k} +f (x, u,\ nabla u) =0.
\ end {ecuación}
La ecuación es lineal si
$$
f=\ suma_ {i=1} ^nb^i (x) u_ {x_i} +c (x) u+d (x).
$$
En cuanto a la clasificación la parte principal
$$
\ sum_ {i, k=1} ^n a^ {ik} (x) u_ {x_ix_k}
$$
juega el papel esencial. Supongamos$u\in C^2$, entonces podemos asumir, sin restricción de generalidad, que$a^{ik}=a^{ki}$, ya que
$$
\ sum_ {i, k=1} ^n a^ {ik} u_ {x_ix_k} =\ suma_ {i, k=1} ^n (a^ {ik}) ^\ star u_ {x_ix_k},
$$
donde
$$
(a^ {ik}) ^\ star=\ frac {1} {2} ( a^ {ik} +a^ {ki}).
$$
Considerar una hipersuperficie$\mathcal{S}$ en$n$ definida implícitamente por$\chi(x)=0$,$\nabla\chi\not=0$, ver Figura 3.1.1

$alt$

Figura 3.1.1: Colector inicial$\mathcal{S}$

Asumir$u$ y$\nabla u$ se dan en$\mathcal{S}$.

Problema: ¿Podemos calcular todas las demás derivadas de$u$ on$\mathcal{S}$ usando la ecuación diferencial (\ ref {linsecond}\) y los datos dados?

Encontraremos una respuesta si mapeamos$\mathcal{S}$ a un hiperplano$\mathcal{S}_0$ mediante un mapeo
\ begin {eqnarray*}
\ lambda_n&=&\ chi (x_1,\ ldots, x_n)\
\ lambda_i&=&\ lambda_i (x_1,\ ldots, x_n),\ i=1,\ ldots, n-1,
\ end {eqnarray*}
para funciones$\lambda_i$ tales que
$$
\ det\ frac {\ parcial (\ lambda_1,\ ldots,\ lambda_n)} {\ parcial (x_1,\ ldots, x_n)}\ no=0
$$
in$n$. Se supone que$i$ y$i$ son suficientemente regulares. Tal mapeo$\lambda=\lambda(x)$ existe, ver un ejercicio.

Los mapas de transformación anteriores$\mathcal{S}$ en un subconjunto del hiperplano definido por$\lambda_n=0$, ver Figura 3.1.2.

$alt$

Figura 3.1.2: Colector plano transformado$\mathcal{S}$

Escribiremos la ecuación diferencial en estas nuevas coordenadas. Aquí usamos la convención de Einstein, es decir, agregamos términos con índices repetitivos. Desde
$$
u (x) =u (x (\ lambda)) =:v (\ lambda) =v (\ lambda (x)),
$$
donde$x=(x_1,\ldots,x_n)$ y$\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, obtenemos
\ begin {eqnarray}
\ label {conocido}
u_ {x_j} &=&v_ {\ lambda_i}\ frac {\ parcial\ lambda_i} {\ parcial x_j},\\
u_ {x_jx_k} &=&v_ {\ lambda_i\ lambda_l}\ frac {\ parcial\ lambda_i} {\ parcial x_j}\ frac {\ parcial\ lambda_l} {\ parcial x_k} +v_ {\ lambda_i}\ frac {\ parcial^2\ lambda_i} {\ parcial _j\ x_k parcial}. \ nonumber
\ end {eqnarray}
Luego la ecuación diferencial (\ ref {linsecond}) en las nuevas coordenadas viene dada por
$$
a^ {jk} (x)\ frac {\ parcial\ lambda_i} {\ parcial x_j}\ frac {\ parcial\ lambda_l} {\ parcial x_k} v_ {\ lambda_i\ lambda_l} +\ mbox {términos conocidos en}\\ mathcal {S} _0=0.
$$
Ya que$v_{\lambda_k}(\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1},0)$$n$,, se conocen, véase (\ ref {conocido}), se deduce que$v_{\lambda_k\lambda_l}$,$l=1,\ldots,n-1$, se conocen en$\mathcal{S}_0$. Así conocemos todas las segundas derivadas$\mathcal{S}_0$ con$v_{\lambda_i\lambda_j}$ la única excepción de$v_{\lambda_n\lambda_n}$.

Recordamos que, siempre que$v$ sea suficientemente regular,
$$
v_ {\ lambda_k\ lambda_l} (\ lambda_1,\ ldots,\ lambda_ {n-1} ,0)
$$
es el límite de
$$
\ frac {v_ {\ lambda_k} (\ lambda_1,\ ldots,\ lambda_1+h,\ lambda_ {l+1},\ lpuntos,\ lambda_ {n -1} ,0) -
v_ {\ lambda_k} (\ lambda_1,\ ldots,\ lambda_l,\ lambda_ {l+1},\ ldots,\ lambda_ {n-1} ,0)} {h}
$$
as$h\to0$.

Entonces la ecuación diferencial se puede escribir como
$$
\ sum_ {j, k=1} ^na^ {jk} (x)\ frac {\ parcial\ lambda_n} {\ parcial x_j}\ frac {\ parcial\ lambda_n} {\ parcial x_k} v_ {\ lambda_n\ lambda_n} =\ mbox {términos conocidos en}\\ mathcal {} _0.
$$ De
ello se deduce que podemos calcular$v_{\lambda_n\lambda_n}$ si
\ begin {ecuación}
\ label {nonchar}
\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x)\ chi_ {x_i}\ chi_ {x_j}\ not=0
\ end {ecuación}

encendido$\mathcal{S}$. Esta es una condición para la ecuación dada y para la superficie dada$\mathcal{S}$.

Definición. La ecuación diferencial
$$
\ sum_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x)\ chi_ {x_i}\ chi_ {x_j} =0
$$
se denomina ecuación diferencial característica asociada a la ecuación diferencial dada (\ ref {linsecond}).

Si$\chi$,$\nabla \chi\not=0$, es una solución de la ecuación diferencial característica, entonces la superficie definida por$\chi=0$ se llama superficie característica.

Observación. La condición (\ ref {nonchar}) se satisface para cada uno$\chi$ con$\nabla\chi\not=0$ si la matriz cuadrática$(a^{ij}(x))$ es positiva o negativa definida para cada uno$x\in\Omega$, lo que equivale a la propiedad de que todos los valores propios son diferentes de cero y tienen el mismo signo. Esto sigue ya que existe$\lambda(x)>0$ tal que, en el caso de que la matriz$(a^{ij})$ sea poitiva definida,
$$
\ sum_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x)\ zeta_i\ zeta_j\ ge\ lambda (x) |\ zeta|^2
$$
para todos$\zeta\in\mathbb{R}$. Aquí y en lo siguiente suponemos que la matriz$(a^{ij})$ es real y simétrica.

La caracterización de la ecuación diferencial (\ ref {linsecond}) se desprende de los signos de los valores propios de$(a^{ij}(x))$.

Definición. Se dice que la ecuación diferencial (\ ref {linsecond}) es de tipo$(\alpha,\beta,\gamma)$ at$x\in\Omega$ si$\alpha$ los valores propios de$(a^{ij})(x)$ son positivos,$\beta$ los valores propios son negativos y$\gamma$ los valores propios son cero ($\alpha+\beta+\gamma=n$).
En particular, la ecuación se llama

elíptica si es de tipo$(n,0,0)$ o de tipo$(0,n,0)$, es decir, todos los valores propios son diferentes de cero y tienen el mismo signo,\\
parabólico si es de tipo$(n-1,0,1)$ o de tipo$(0,n-1,1)$, es decir, un valor propio es cero y todos los demás son diferentes de cero y tienen el mismo signo,
hiperbólico si es de tipo$(n-1,1,0)$ o de tipo$(1,n-1,0)$, es decir, todos los valores propios son diferentes de cero y un valor propio tiene otro signo que todos los demás.

Observaciones:

1. Según esta definición existen otros tipos aparte de las ecuaciones elípticas, parabólicas o hiperbólicas.

2. La clasificación depende en general de$x\in\Omega$. Un ejemplo es la ecuación de Tricomi, que aparece en la teoría de los flujos transsónicos,
$$
yu_ {xx} +u_ {yy} =0.
$$
Esta ecuación es elíptica si$y>0$, parabólica si$y=0$ e hiperbólica para$y<0$.

Ejemplos:

Ejemplo 3.1.1:

La ecuación de Laplace en$\mathbb{R}^3$ es$\triangle u=0$, donde
$$
\ triángulo u: =u_ {xx} +u_ {yy} +u_ {zz}.
$$
Esta ecuación es elíptica ya que para cada colector$\mathcal{S}$ dado por$\{(x,y,z):\ \chi(x,y,z)=0\}$, donde$\chi$ es una función arbitraria suficientemente regular tal que$\nabla \chi\not=0$, todas las derivadas de$u$ son conocidas en$\mathcal{S}$, proporcionadas$u$ y$\nabla u$ son conocido en$\mathcal{S}$.

Ejemplo 3.1.2:

La ecuación de onda$u_{tt}=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}$, donde$u=u(x,y,z,t)$, es hiperbólica. Tal tipo describe oscilaciones de estructuras mecánicas, por ejemplo.

Ejemplo 3.1.3:

La ecuación de calor$u_t=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}$, donde$u=u(x,y,z,t)$, es
parabólica. Describe, por ejemplo, la propagación del calor en un dominio.

Ejemplo 3.1.4:

Considere el caso de que los coeficientes (reales)$a^{ij}$ en la ecuación (\ ref {linsecond}) son {\ it constante}. Recordamos que la matriz$A=(a^{ij})$ es simétrica, es decir,$A^T=A$. En este caso, el eje de transformación a principio conduce a una forma normal de la que obviamente es la clasificación de la ecuación. Dejar$U$ ser la matriz ortogonal asociada, entonces
$$
U^TAU=\ left (\ begin {array} {llcl}
\ lambda_1 & 0&\ cdots & 0\\
0 &\ lambda_2&\ cdots&0\\
... &... &... &... \\
0&0&\ cdots&\ lambda_n
\ end {array}\ right).
$$
Aquí está$U=(z_1,\ldots,z_n)$, donde$z_l$$l=1,\ldots,n$,, es un sistema ortonormal de vectores propios a los autovalores$\lambda_l$.

Establecer$y=U^Tx$ y$v(y)=u(Uy)$, entonces
\ comenzar {ecuación}
\ etiqueta {hauptachs}
\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij} u_ {x_ix_j} =\ suma_ {i=1} ^n\ lambda_iv_ {y_iy_j}.
\ end {ecuación}

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