3.1.1: Forma Normal en Dos Variables

Considerar la ecuación diferencial

\ begin {ecuación}
\ label {eqnplane}\ tag {3.1.1.1}
a (x, y) u_ {xx} +2b (x, y) u_ {xy} +c (x, y) u_ {yy} +\ mbox {términos de orden inferior} =0
\ end {ecuación}

pulg\(\Omega\subset\mathbb{R}^2\). La ecuación diferencial característica asociada es

\ begin {ecuación}
\ label {planechar}\ tag {3.1.1.2}
a\ chi_x^2+2b\ chi_x\ chi_y+c\ chi_y^2=0.
\ end {ecuación}

Mostramos que una transformación de coordenadas apropiada simplificará la ecuación (\ ref {eqnplane}) a veces de tal manera que podamos resolver la ecuación transformada explícitamente.

Dejar\(z=\phi(x,y)\) ser una solución de (\ ref {planechar}). Considere los conjuntos de niveles\(\{(x,y):\ \phi(x,y)=const.\}\) y asuma\(\phi_y\not=0\) en un punto\((x_0,y_0)\) del conjunto de niveles. Entonces hay una función\(y(x)\) definida en un barrio de\(x_0\) tal manera\(\phi(x,y(x))=const.\) que sigue

$$y' (x) =-\ dfrac {\ phi_x} {\ phi_y},\]

lo que implica, ver la ecuación característica (\ ref {planechar}),

\ begin {ecuación}
\ label {cuadrático}\ tag {3.1.1.3}
ay'^2-2by'+c=0.
\ end {ecuación}

Luego, siempre y cuando\(a\not=0\), podemos calcular\(\mu:=y'\) a partir de los coeficientes (conocidos)\(a\),\(b\) y\(c\):

\ begin {ecuación}
\ label {mu}\ tag {3.1.1.4}
\ mu_ {1,2} =\ dfrac {1} {a}\ left (b\ pm\ sqrt {b^2-ac}\ right).
\ end {ecuación}

Estas soluciones son reales si y sólo de\(ac-b^2\le0\).

La ecuación (\ ref {eqnplane}) es hiperbólica si\(ac-b^2<0\), parabólica si\(ac-b^2=0\) y elipticif\(ac-b^2>0\). Esto se desprende de una fácil discusión de los valores propios de la matriz

$$\ left (\ begin {array} {cc}
a&b\\
b&c
\ end {array}\ derecha),\]

ver un ejercicio.

Forma normal de una ecuación hiperbólica

Dejar\(\phi\) y\(\psi\) son soluciones de la ecuación característica (\ ref {planechar}) tal que

\ begin {eqnarray*}
y_1'\ equiv\ mu_1&=&-\ dfrac {\ phi_x} {\ phi_y}\\
y_2'\ equiv\ mu_2&=&-\ dfrac {\ psi_x} {\ psi_y},
\ end {eqnarray*}

donde\(\mu_1\) y\(\mu_2\) son dados por (\ ref {mu}). Así\(\phi\) y\(\psi\) son soluciones de las ecuaciones lineales homogéneas de primer orden

\ begin {eqnarray}
\ label {phi}\ tag {3.1.1.5}
\ phi_x+\ mu_1 (x, y)\ phi_y&=&0\
\ etiqueta {psi}\ tag {3.1.1.6}
\ psi_x+\ mu_2 (x, y)\ psi_y&=&0.
\ end {eqnarray}

Asumir\(\phi(x,y)\),\(\psi(x,y)\) son soluciones tales que\(\nabla\phi\not=0\) y\(\nabla\psi\not=0\), ver un ejercicio para la existencia de tales soluciones.

Considera dos familias de conjuntos de niveles definidos por\(\phi(x,y)=\alpha\) y\(\psi(x,y)=\beta\), ver Figura 3.1.1.1.

Figura 3.1.1.1: Conjuntos de niveles

Estos conjuntos de niveles son curvas características de las ecuaciones diferenciales parciales (\ ref {phi}) y (\ ref {psi}), respectivamente, ver un ejercicio del capítulo anterior.

Lema. (i) Las curvas de diferentes familias no pueden tocarse entre sí

ii)\(\phi_x\psi_y-\phi_y\psi_x\not=0\).

Comprobante. (i):
$$
y_2'-y_1'\ equiv\ mu_2-\ mu_1=-\ dfrac {2} {a}\ sqrt {b^2-ac}\ no=0.
$$
(ii):
$$
\ mu_2-\ mu_1=\ dfrac {\ phi_x} {\ phi_y} -\ dfrac {\ psi_x} {\ psi_y}.
\]

\(\Box\)

Proposición 3.1. El mapeo\(\xi=\phi(x,y)\),\(\eta=\psi(x,y)\) transforma la ecuación (\ ref {eqnplane}) en
\ begin {ecuación}
\ label {normhyp}\ tag {3.1.1.7}
v_ {\ xi\ eta} =\ mbox {términos de orden inferior},
\ end {ecuación}
donde\(v(\xi,\eta)=u(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta))\).}

Comprobante. La prueba se desprende de un cálculo sencillo.
\ begin {eqnarray*}
u_x&=&v_\ xi\ phi_x+v_\ eta\ psi_x\\
u_y&=&v_\ xi\ phi_y+v_\ eta\ psi_y\\
u_ {xx} &=&v_ {\ xi\ xi}\ phi_x^2+2v_ {\ xi\} eta\ phi_x\ psi_x+v_ {\ eta\ eta}\ psi_x^2+\ mbox {términos de pedido inferiores}\\
u_ {xy} &=&v_ {\ xi\ xi}\ phi_x\ phi_y+v_ {\ xi\ eta} (\ phi_x\ psi_y+\ phi_y\ psi_x) +v_ {\ eta\ eta}\ psi_x\ psi_y+\ mbox {términos de orden inferior}\\
u_ {yy} &=&v_ {\ xi\ xi}\ phi_y^2+2v_ {\ xi eta\}\ phi_y\ psi_y+v_ {\ eta\ eta}\ psi_y^2+\ mbox {términos de orden inferior}.
\ end {eqnarray*}
Así
$$
au_ {xx} +2bu_ {xy} +cu_ {yy} =\ alpha v_ {\ xi\ xi} +2\ beta v_ {\ xi\ eta} +\ gamma v_ {\ eta\ eta} +l.o.t.,
$$
donde
\ begin {eqnarray*}
\ alpha: &=&a\ phi_x^2+2b\ phi_x2+2b\ phi_x\ phi_y+c\ phi_y^2\\
\ beta: &=&a\ phi_x\ psi_x+b (\ phi_x\ psi_y+\ phi_y\ psi_x) +c\ phi_y\ psi_y\
\ gamma: &=&a\ psi_x^2+2b\ psi_x\ psi_y+c\ psi_y^2.
\ end {eqnarray*}
Los coeficientes\(\alpha\) y\(\gamma\) son cero ya\(\phi\) y\(\psi\) son soluciones de la ecuación característica. Desde
$$
\ alpha\ gamma-\ beta^2 =( ac-b^2) (\ phi_x\ psi_y-\ phi_y\ psi_x) ^2,
$$
se deduce del lema anterior que el coeficiente\(\beta\) es diferente de cero.

\(\Box\)

Ejemplo 3.1.1.1:

Considera la ecuación diferencial
$$
u_ {xx} -u_ {yy} =0.
$$
La ecuación diferencial característica asociada es
$$
\ chi_x^2-\ chi_y^2=0.
$$
Desde\(\mu_1=-1\) y\(\mu_2=1\), las funciones\(\phi\) y\(\psi\) satisfacer ecuaciones diferenciales
\ comienzan {eqnarray*}
\ phi_x+\ phi_y&=&0\\
\ psi_x-\ psi_y&=&0.
\ end {eqnarray*}
Soluciones con\(\nabla\phi\not=0\) y\(\nabla\psi\not=0\) son
$$
\ phi=x-y,\\\ psi=x+y.
$$
Entonces el mapeo
$$
\ xi=x-y,\\\ eta=x+y
$$
lleva a la ecuación simple
$$
v_ {\ xi\ eta} (\ xi,\ eta) =0.
$$
Supongamos que\(v\in C^2\) es una solución, entonces\(v_\xi=f_1(\xi)\) para una\(C^1\) función arbitraria\(f_1(\xi)\). De ello se desprende
$$
v (\ xi,\ eta) =\ int_0^\ xi\ f_1 (\ alpha)\ d\ alpha+g (\ eta),
$$
donde\(g\) es una\(C^2\) función arbitraria. Así, cada\(C^2\) solución de la ecuación diferencial puede escribirse como

\((\star)\)\(v(\xi,\eta)=f(\xi)+g(\eta)\),

donde\(f,\ g\in C^2\). Por otro lado, para\(C^2\) las funciones arbitrarias\(f\),\(g\) la función\((\star)\) es una solución de la ecuación diferencial\(v_{\xi\eta}=0\). En consecuencia, cada\(C^2\) -solución de la ecuación original\(u_{xx}-u_{yy}=0\) viene dada por
$$
u (x, y) =f (x-y) +g (x+y),
$$
donde\(f,\ g\in C^2\).

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