3.3: Sistemas de Primer Orden

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Considerar el sistema cuasilineal

\ begin {ecuación}
\ label {syst1}
\ suma_ {k=1} ^Na^k (x, u) u_ {u_k} +b (x, u) =0,
\ end {ecuación}

donde$A^k$ son$m\times m$ -matrices, suficientemente regulares con respecto a sus argumentos, y

$$
u=\ left (\ begin {array} {c}
u_1\\\ vdots\\ u_m
\ end {array}\ derecha),\\
u_ {x_k} =\ left (\ begin {array} {c}
u_ {1, x_k}\\ vdots\\ u_ {m, x_k}
\ end {array}\ derecha),\\
b=\ left (\ begin {array} {c}
b_1\\\ vdots\\ b_ m
\ end {array}\ right).
\]

Hacemos la misma pregunta que anteriormente: ¿podemos calcular todas las derivadas de$u$ en un vecindario de una hipersuperficie dada$\mathcal{S}$ en$\mathbb{R}$ definida por$\chi(x)=0$,$\nabla\chi\not=0$, siempre que$u(x)$ se da en$\mathcal{S}$?

Para una respuesta mapeamos$\mathcal{S}$ sobre una superficie plana$\mathcal{S}_0$ usando el mapeo$\lambda=\lambda(x)$ de la Sección 3.1 y escribimos la ecuación (\ ref {syst1}) en nuevas coordenadas. Establezca$v(\lambda)=u(x(\lambda))$, luego

$$\ sum_ {k=1} ^na^k (x, u)\ chi_ {x_k} v_ {\ lambda_n} =\ mbox {términos conocidos en}\\ mathcal {S} _0.\]

Podemos resolver este sistema con respecto a$v_{\lambda_n}$, siempre que

$$\ det\ izquierda (\ suma_ {k=1} ^na^k (x, u)\ chi_ {x_k}\ derecha)\ no=0\]

encendido$\mathcal{S}$.

Definición. Ecuación

$$\ det\ izquierda (\ suma_ {k=1} ^Na^k (x, u)\ chi_ {x_k}\ derecha) =0\]

se denomina ecuación característica asociada a la ecuación (\ ref {syst1}) y una superficie${\mathcal{S}}$:$\chi(x)=0$, definida por una solución$\chi$,$\nabla\chi\not=0$, de esta ecuación característica se dice que es superficie característica.

Set

$$C (x, u,\ zeta) =\ det\ izquierda (\ suma_ {k=1} ^Na^k (x, u)\ zeta_k\ derecha)\]

para$\zeta_k\in\mathbb{R}$.

Definición.

El sistema (\ ref {syst1}) es hiperbólico en$(x,u(x))$ si hay un mapeo lineal regular$\zeta=Q\eta$, donde$\eta=(\eta_1,\ldots,\eta_{n-1},\kappa)$, tal que existe$m$ {\ it real} raíces$\kappa_k=\kappa_k(x,u(x),\eta_1,\ldots,\eta_{n-1})$,$k=1,\ldots,m$, de $$ D (x, u (x),\ eta_1,\ ldots,\ eta_ {n-1},\ kappa) =0 $$ para todos$(\eta_1,\ldots,\eta_{n-1})$, donde $$ D (x, u (x),\ eta_1, \ lpuntos,\ eta_ {n-1},\ kappa) =C (x, u (x), x, Q\ eta) . $$
El sistema (\ ref {syst1}) es parabólico si existe un mapeo lineal regular$\zeta=Q\eta$ tal que$D$ es independiente de$\kappa$, es decir,$D$ depende de menos de$n$ parámetros.
El sistema (\ ref {syst1}) es elíptico si$C(x,u,\zeta)=0$ solo si$\zeta=0$.

Observación. En el caso elíptico todas las derivadas de la solución pueden calcularse a partir de los datos dados y la ecuación dada.

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