3.5: Teorema de Cauchy-Kovalevskaya

Consideremos el sistema cuasilineal de primer orden (3.3.1) de la Sección 3.3. Supongamos que un colectores iniciales\(\mathcal{S}\) viene dado por\(\chi(x)=0\),\(\nabla\chi\not=0\), y supongamos que eso no\(\chi\) es característico. Entonces, ver Sección 3.3, el sistema (3.3.1) puede escribirse como

\ begin {eqnarray}
\ label {syst2}
u_ {x_n} &=&\ sum_ {i=1} ^ {n-1} a^i (x, u) u_ {x_i} +b (x, u)\
\ etiqueta {syst2inicial}
u (x_1,\ ldots, x_ {n-1} ,0) &=&f (x_1,\ ldots, x_ {n-1})
\ end {eqnarray}

Aquí está\(u=(u_1,\ldots,u_m)^T\),\(b=(b_1,\ldots,b_n)^T\) y\(a^i\) son\((m\times m)\) -matrices.

Eso lo asumimos\(a^i\),\(b\) y\(f\) estamos en lo que\(C^\infty\) respecta a sus argumentos. De (\ ref {syst2}) y (\ ref {syst2initial}) se deduce que podemos calcular formalmente todas las derivadas\(D^\alpha u\) en un vecindario del plano\(\{x:\ x_n=0\}\), en particular en un vecindario de\(0\in\mathbb{R}\). Así tenemos una serie formal de poder de\(u(x)\) al\(x=0\):

$$u (x)\ sim\ suma\ frac {1} {\ alpha!} D^\ alfa u (0) x^\ alfa.\]

Para las notaciones y definiciones utilizadas aquí y en lo siguiente ver el apéndice de esta sección.

Entonces, como suele surgir dos preguntas:

1. ¿La serie power converge en un barrio de\(0\in\mathbb{R}\)?
2. ¿Es una serie de potencia convergente una solución del problema de valor inicial (\ ref {syst2}), (\ ref {syst2initial})?

Comentario. Muy diferente a este método de series de poder es el método de las expansiones asintóticas. Aquí uno está interesado en una buena aproximación de una solución desconocida de una ecuación por una suma finita\(\sum_{i=0}^N\phi_i(x)\) de funciones\(\phi_i\). En general, la suma infinita
\(\sum_{i=0}^\infty\phi_i(x)\) no converge, en contraste con el método de series de potencia de esta sección. Ver [15] para algunas fórmulas asintóticas en capilaridad.

Teorema 3.1. (Cauchy-Kovalevskaya). Hay un vecindario de\(0\in\mathbb{R}\) tal hay una solución analítica real del problema de valor inicial (\ ref {syst2}), (\ ref {syst2initial}). Esta solución es única en la clase de funciones analíticas reales.

Prueba. La prueba está tomada de F. John\ cite {John}. Presentamos\(u-f\) como la nueva solución para la que estamos viendo y agregamos una nueva coordenada\(u^\star\) al vector de solución configurando\(u^\star (x)=x_n\). Entonces

$$u^\ estrella_ {x_n} =1,\ u^\ estrella_ {x_k} =0,\ k=1,\ lpuntos, n-1,\ u^\ estrella (x_1,\ lpuntos, x_ {n-1} ,0) =0\]

y el sistema extendido (\ ref {syst2}), (\ ref {syst2initial}) es

$$
\ left (\ begin {array} {c}
u_ {1, x_n}\\
\ vdots\\
u_ {m, x_n}\\
u^\ star_ {x_n}
\ end {array}\ derecha) =
\ suma_ {i=1} ^ {n-1}\ left (\ begin {array} {cc}
a^i&0\
0&0
\ end matriz }\ derecha)
\ izquierda (\ begin {array} {c}
u_ {1, x_i}\\
\ vdots\\
u_ {m, x_i}\\
u^\ star_ {x_i}
\ end {array}\ derecha) +
\ left (\ begin {array} {c}
b_1\\
\ vdots\\
b_m\\
1
\ end {array}\ derecha),
\]

donde está la condición inicial asociada\(u(x_1,\ldots,x_{n-1},0)=0\).

Lo nuevo\(u\) es\(u=(u_1,\ldots,u_m)^T\), lo nuevo\(a^i\) son\(a^i(x_1,\ldots,x_{n-1},u_1,\ldots,u_m,u^\star)\) y lo nuevo\(b\) es\(b=(x_1,\ldots,x_{n-1},u_1,\ldots,u_m,u^\star)^T\).

Así nos llevan a un problema de valor inicial del tipo

\ begin {eqnarray}
\ label {syst3}
u_ {j, x_n} &=&\ sum_ {i=1} ^ {n-1}\ sum_ {k=1} ^Na_ {jk} ^i (z) u_ {k, x_i} +b_j (z),\ j=1,\ ldots, N\\
\ etiqueta {syst3initial}
u_j (x) &=&0\\\ mbox {if}\ x_n=0,
\ end {eqnarray}
donde\(j=1,\ldots,N\) y \(z=(x_1,\ldots,x_{n-1},u_1,\ldots,u_N)\).

El punto aquí es que\(a_{jk}^i\) y\(b_j\) son independientes de\(x_n\). Este hecho simplifica la prueba del teorema.

De (\ ref {syst3}) y (\ ref {syst3initial}) podemos calcular formalmente todos\(D^\beta u_j\). Luego tenemos series formales de poder para\(u_j\):

$$u_j (x)\ sim\ suma_\ alfa c_\ alfa^ {(j)} x^\ alfa,\]

donde

$$c_\ alfa^ {(j)} =\ frac {1} {\ alfa!} D^\ alfa u_j (0).\]

Mostraremos que estas series de poder son (absolutamente) convergentes en un vecindario de\(0\in\mathbb{R}\), es decir, son funciones analíticas reales, ver el apéndice para la definición de funciones analíticas reales. Insertando estas funciones en el lado izquierdo y derecho de (\ ref {syst3}) obtenemos en el lado derecho y en el lado izquierdo funciones analíticas reales. Esto sigue ya que las composiciones de funciones analíticas reales vuelven a ser analíticas reales, véase la Proposición A7 del apéndice de esta sección. Las series de potencias resultantes a la izquierda y a la derecha tienen los mismos coeficientes causados por el cálculo de las\(D^\alpha u_j(0)\) derivadas de (\ ref {syst3}). De ello se deduce que\(u_j(x)\)\(j=1,\ldots,n\),, definidas por su serie formal de poder son soluciones del problema de valor inicial (\ ref {syst3}), (\ ref {syst3initial}).

Set

$$d=\ izquierda (\ frac {\ parcial} {\ parcial z_1},\ ldots,\ frac {\ parcial} {\ parcial z_ {n+n-1}}\ derecha)\]

Lemma A. Asumir\(u\in C^\infty\) en un barrio de\(0\in\mathbb{R}\). Entonces

$$D^\ alpha u_j (0) =P_\ alfa\ izquierda (d^\ beta a_ {jk} ^i (0), d^\ gamma b_j (0)\ derecha), $$

donde\(|\beta|,\ |\gamma|\le|\alpha|\) y\(P_\alpha\) son polinomios en los argumentos indicados con enteros no negativos como coeficientes que son independientes de\(a^i\) y de\(b\).

Prueba. De la ecuación (\ ref {syst3}) se deduce que

\ begin {ecuación}
\ label {hilf1}
d_nd^\ alpha u_j (0) =P_\ alfa (d^\ beta a_ {jk} ^i (0), d^\ gamma b_j (0), D^\ delta u_k (0)).
\ end {ecuación}

Aquí está\(D_n=\partial/\partial x_n\) y\(\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta\) satisfacer las desigualdades

$$|\ beta|,\ |\ gamma|\ le|\ alfa|,\\ |\ delta|\ le|\ alfa|+1,\]

y, que es esencial en la prueba, las últimas coordenadas en los multi-índices\(\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\),\(\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)\) satisfacen\(\delta_n\le\alpha_n\) ya que el lado derecho de (\ ref {syst3}) es independiente de\(x_n\).
Además, de (\ ref {syst3}) se deduce que los polinomios\(P_\alpha\) tienen enteros como coeficientes. La condición inicial (\ ref {syst3initial}) implica

\ begin {ecuación}
\ label {hilf2}
D^\ alpha u_j (0) =0,
\ end {ecuación}

donde\(\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1},0)\), es decir,\(\alpha_n=0\). Entonces, la prueba es por inducción con respecto a\(\alpha_n\). La inducción comienza con\(\alpha_n=0\), luego reemplazamos $D^\ delta u_k (0) $ en el lado derecho de (\ ref {hilf1}) por (\ ref {hilf2}), es decir por cero. Entonces se deduce de (\ ref {hilf1}) que

$$D^\ alfa u_j (0) =P_\ alfa (d^\ beta a_ {jk} ^i (0), d^\ gamma b_j (0), D^\ delta u_k (0)),\]

donde\(\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1},1)\).

\(\Box\)

Definición. Vamos\(f=(f_1,\ldots,f_m)\),\(F=(F_1,\ldots,F_m)\),\(f_i=f_i(x)\),\(F_i=F_i(x)\), y\(f,\ F\in C^\infty\). Decimos\(f\) está mayorizado por\(F\) si
$$
|D^\ alpha f_k (0) |\ le D^\ alpha f_k (0),\\ k=1,\ ldots, m
$$
para todos\(\alpha\). Escribimos\(f<<F\), si\(f\) es mayorizado por\(F\).

Definición. El problema del valor inicial
\ begin {eqnarray}
\ label {syst4}
U_ {j, x_n} &=&\ sum_ {i=1} ^ {n-1}\ sum_ {k=1} ^N A_ {jk} ^i (z) U_ {k, x_i} +b_j (z)\
\ label {syst4initial}
u_j (x) &=&0\ qquad\ mbox {if}\ x_n=0,
\ end {eqnarray}
\(j=1,\ldots,N\), analítica\(A_{jk}^i,\ B_j\) real, se llama problema de mayorización a (\ ref {syst3}), (\ ref {syst3initial}) si
$$
a_ {jk} ^i<<a_ {jk} ^i\\\ mbox {y}\ b_j<<b_j.
\]

Lema B. La serie formal de poder
$$
\ sum_\ alpha\ frac {1} {\ alpha!} D^\ alpha u_j (0) x^\ alpha,
$$
donde se\(D^\alpha u_j(0)\) definen en Lema A, es convergente en un vecindario de\(0\in\mathbb{R}\) si existe un problema mayorizante que tiene una solución analítica real\(U\) en\(x=0\), y
$$
|D^\ alpha u_j (0) |\ le D^\ alfa U_j (0).
$$

Prueba. Se deduce del Lema A y del supuesto del Lema B que
\ comienzan {eqnarray*}
|D^\ alpha u_j (0) |&\ le&p_\ alpha\ left (|d^\ beta a_ {jk} ^i (0) |, |d^\ gamma b_j (0) |\ right)\\
&\ Le&p_\ alpha\ left (|d^ ^\ beta A_ {jk} ^i (0) |, |d^\ gamma B_j (0) |\ derecha)\ equiv D^\ alfa U_j (0).
\ end {eqnarray*}
La serie formal power
$$
\ sum_\ alpha\ frac {1} {\ alpha!} D^\ alpha u_j (0) x^\ alpha,
$$
es convergente desde
$$
\ sum_\ alpha\ frac {1} {\ alpha!} |D^\ alfa u_j (0) x^\ alfa|\ le
\ sum_\ alfa\ frac {1} {\ alfa!} D^\ alfa U_j (0) |x^\ alfa|.
$$
El lado derecho es convergente en un barrio de\(x\in\mathbb{R}\) por suposición.

\(\Box\)

Lema C. Existe un problema mayoritario que tiene una solución analítica real.

Prueba. Ya que\(a_{ij}^i(z)\),\(b_j(z)\) son reales analíticos en un barrio de\(z=0\) ello se deduce de la Proposición A5 del apéndice a esta sección que hay constantes positivas\(M\) y\(r\) tal que todas estas funciones son mayorizadas por
$$
\ frac {Mr} {r-z_1-\ ldots -z_ {n+n-1}}.
$$
Así, un problema mayoritario es
\ begin {eqnarray*}
U_ {j, x_n} &=&\ frac {Mr} {r-x_1-\ ldots-x_ {n-1} -U_1-\ lDots-u_n}\ left (1+\ sum_ {i=1} ^ {n-1}\ sum_ {k=1} ^NU_ {k, _i}\ derecha)\\
u_j (x) &=&0\\\ mbox {si}\ x_n=0,
\ end { eqnarray*}
\(j=1,\ldots,N\).

La solución de este problema es
$$
u_j (x_1,\ ldots, x_ {n-1}, x_n) =V (x_1+\ ldots+x_ {n-1}, x_n),\ j=1,\ ldots, N,
$$
donde\(V(s,t)\),,\(s=x_1+\ldots+x_{n-1}\)\(t=x_n\), es la solución del problema del valor inicial de Cauchy
\ begin {eqnarray*}
v_t&=&\ frac {Mr} {r-s-nv}\ izquierda (1+N (n-1) V_s\ derecha),\\
V (s,0) &=&0.
\ end {eqnarray*}
que tiene la solución, ver un ejercicio,
$$
V (s, t) =\ frac {1} {Nn}\ left (r-s-\ sqrt {(r-s) ^2-2nMnRT}\ right).
$$
Esta función es real analítica en\((s,t)\) at\((0,0)\). De ello se deduce que también\(U_j(x)\) son funciones analíticas reales. Así se muestra el teorema de Cauchy-Kovalevskaya.

\(\Box\)

Ejemplo 3.5.1: Ecuaciones diferenciales ordinarias

Considera el problema del valor inicial
\ begin {eqnarray*}
y' (x) &=&f (x, y (x))\\
y (x_0) &=&y_0,
\ end {eqnarray*}
donde\(x_0\in\mathbb{R}^1\) y\(y_0\in\mathbb{R}\) se dan. Supongamos que\(f(x,y)\) es real analítico en un barrio de\((x_0,y_0)\in\mathbb{R}^1\times\mathbb{R}\). Entonces se deduce del teorema anterior que existe una solución analítica\(y(x)\) del problema de valor inicial en un barrio de\(x_0\). Esta solución es única en la clase de funciones analíticas según el teorema de Cauchy-Kovalevskaya. Del teorema Picard-Lindel\ "se deduce que esta solución analítica es única incluso en la clase de\(C^1\) -funciones.

Ejemplo 3.5.2: Ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden

Considere el problema del valor límite para dos variables
\ begin {eqnarray*}
u_ {yy} &=&f (x, y, u, u_x, u_y, u_ {xx}, u_ {xy})\\
u (x,0) &=&\ phi (x)\\
u_y (x,0) &=&\ psi (x).
\ end {eqnarray*}
Suponemos que\(\phi,\ \psi\) son analíticos en un barrio de\(x=0\) y eso\(f\) es real analítico en un barrio de
$$
(0,0,\ phi (0),\ phi' (0),\ psi (0),\ psi' (0)).
$$
Existe una solución analítica real en un barrio del problema\(0\in\mathbb{R}^2\) de valor inicial anterior.

En particular, existe una solución analítica real en un barrio del problema\(0\in\mathbb{R}^2\) de valor inicial
\ begin {eqnarray*}
\ triángulo u&=&1\\
u (x,0) &=&0\\
u_y (x,0) &=&0.
\ end {eqnarray*}

La prueba sigue escribiendo el problema anterior como un sistema. Establezca\(p=u_x\)\(q=u_y\),\(r=u_{xx}\),
\(s=u_{xy}\),\(t=u_{yy}\), luego
$$
t=f (x, y, u, p, q, r, s).
$$
Set\(U=(u,p,q,r,s,t)^T\),\(b=(q,0,t,0,0,f_y+f_uq+f_qt)^T\) y
$$
A=\ left (\ begin {array} {cccccc}

0&0&0&0&0&0\
0&0&0&1&0&0&0&0\
0&0&0 &0&1&0\
0&0&0&0&0&0&1\
0&0&0&f_p&0&f_r&f_s
\ end {array}\ right).
$$
Entonces la ecuación diferencial reescrita es el sistema
\(U_y=AU_x+b\) con la condición inicial
$$
U (x,0) =\ left (\ phi (x),\ phi' (x),\ psi (x),\ phi "(x),\ psi' (x), f_0 (x)\ right),
$$
donde\(f_0(x)=f(x,0,\phi(x),\phi'(x),\psi(x),\phi''(x),\psi'(x))\).

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