3.5.1 Apéndice: Funciones analíticas reales

Notación multi-índice

La siguiente notación multiíndice simplifica muchas presentaciones de fórmulas. Let\(x=(x_1,\ldots,x_n)\) y
$$
u:\\ Omega\ subconjunto\ mathbb {R}\ mapsto\ mathbb {R} ^1\\ (\ mbox {o}\\ mathbb {R} ^m\\ mbox {para sistemas}).
$$
La n-tupla de enteros no negativos (incluyendo cero)
$$
\ alpha =(\ alpha_1,\ ldots,\ alpha_n)
$$
se llama multi-índice. Establecer
\ begin {eqnarray*}
|\ alpha|&=&\ alpha_1+\ ldots+\ alpha_n\\
\ alpha! &=&\ alpha_1! \ alfa_2! \ cdot\ lpuntos\ cdot\ alpha_n! \\
x^\ alpha&=&x_1^ {\ alpha_1} x_2^ {\ alpha_2}\ cdot\ ldots\ cdot x_n^ {\ alpha_n}\\ (\ mbox {para un monom})\\
d_k&=&\ frac {\ parcial} {\ x_k parcial}\\
D&=& (D_1,\ lpuntos, D_n)\\
Du&=& (D_1u,\ ldots, d_nu)\ equiv\ nabla u\ equiv\ texto {grad}\ u\\
D^\ Alpha&=&d_1^ {\ alpha_1} D_2^ {\ alpha_2}\ cdot\ ldots\ cdot d_n^ {\ alpha_n}\ equiv\ frac {\ parcial^ {|\ alpha|}} {\ x_1^ parcial {\ alpha_1}\ x_2^ parcial {\ alpha_2}\ lpuntos\ x_parcial n^ {\ alpha_n}}.
\ end {eqnarray*}
Definir un orden parcial por
$$
\ alpha\ ge\ beta\\\ mbox {si y solo si}\\\ alpha_i\ ge\ beta_i\\\ mbox {para todos}\ i.
$$
A veces usamos las notaciones
$$
{\ bf 0} =( 0,0\ ldots, 0),\\\ bf {1} = (1,1\ ldots,1),
$$
donde
\({\bf 0},\ {\bf 1}\in\mathbb{R}.\)

Usando esta noción de índice múltiple, tenemos

1.
$$
(x+y) ^\ alpha=\ sum_ {\ begin {array} {c}\ beta,\ gamma\\ beta+\ gamma=\ alpha\ end {array}}\ frac {\ alpha!} {\ beta! \ gamma!} x^\ beta y^\ gamma,
$$
donde\(x,\ y\in\mathbb{R}\) y\(\alpha,\ \beta,\ \gamma\) son multi-índices.

2. Expansión de Taylor para un polinomio\(f(x)\) de grado\(m\):
$$
f (x) =\ sum_ {|\ alpha|\ le m}\ frac {1} {\ alpha!} \ izquierda (D^\ alfa f (0)\ derecha) x^\ alfa,
$$
aquí está\(D^\alpha f(0):=\left(D^\alpha f(x)\right)|_{x=0}\).

3. Let\(x=(x_1,\ldots,x_n)\) y\(m\ge0\) un entero, entonces
$$
(x_1+\ ldots+x_n) ^m=\ sum_ {|\ alpha|=m}\ frac {m!} {\ alfa!} x^\ alfa.
\]

4.
$$
\ alfa! \ le|\ alfa|! \ le n^ {|\ alpha|}\ alpha!.
\]

5. Regla de Leibniz:
$$
D^\ alpha (fg) =
\ sum_ {\ begin {array} {c}\ beta,\ gamma\\ beta+\ gamma=\ alpha\ end {array}}\ frac {\ alpha!} {\ beta! \ gamma!} (D^\ beta f) (D^\ gamma g).
\]

6.
\ begin {eqnarray*}
D^\ beta x^\ alpha&=&\ frac {\ alpha!} {(\ alfa-\ beta)!} x^ {\ alfa-\ beta}\\\ mbox {if}\\ alfa\ ge\ beta,\\
D^\ beta x^\ alpha&=&0\\\ mbox {de lo contrario}.
\ end {eqnarray*}

7. Derivada direccional:
$$
\ frac {d^m} {dt^m} f (x+ty) =\ sum_ {|\ alpha|=m}\ frac {|\ alpha|!} {\ alfa!} \ izquierda (D^\ alfa f (x+ty)\ derecha) y^\ alfa,
$$
donde\(x,\ y\in\mathbb{R}\) y\(t\in\mathbb{R}^1\).

8. Teorema de Taylor: Vamos\(u\in C^{m+1}\) en un barrio\(N(y)\) de\(y\), entonces, si\(x\in N(y)\),
$$
u (x) =\ sum_ {|\ alpha|\ le m}\ frac {1} {\ alpha!} \ izquierda (D^\ alfa u (y)\ derecha) (x-y) ^\ Alfa+R_M,
$$
donde
$$
r_m=\ sum_ {|\ alpha|=m+1}\ frac {1} {\ alpha!} \ izquierda (D^\ alfa u (y+\ delta (x-y))\ derecha) x^\ alfa,\ 0<\ delta<1,
$$
\(\delta=\delta(u,m,x,y)\),
o
$$
r_m=\ frac {1} {m!} \ int_0^1\ (1-t) ^m\ Phi^ {(m+1)} (t)\ dt,
$$
donde\(\Phi(t)=u(y+t(x-y))\). Se desprende de 7. que
$$
R_m =( m+1)\ sum_ {|\ alpha|=m+1}\ frac {1} {\ alpha!} \ izquierda (\ int_0^1\ (1-t) D^\ alfa u (y+t (x-y))\ dt\ derecha) (x-y) ^\ alfa.
\]

9. Usando la notación multi-índice, la ecuación diferencial parcial lineal general de orden se\(m\) puede escribir como
$$
\ sum_ {|\ alpha|\ le m} a_\ alpha (x) D^\ alpha u=f (x)\\\ mbox {in}\\ Omega\ subconjunto\ mathbb {R}.
\]

Serie Power

Aquí recopilamos algunas definiciones y resultados para series de potencia en\(\mathbb{R}\).

Definición. Vamos\(c_\alpha\in\mathbb{R}^1\ (\mbox{or}\ \in\mathbb{R}^m)\). La serie
$$
\ sum_\ alpha c_\ alpha\ equiv\ sum_ {m=0} ^\ infty\ left (\ sum_ {|\ alpha|=m} c_\ alpha\ right)
$$ se dice que
es convergente si
$$
\ sum_\ alpha |c_\ alpha|\ equiv\ sum_ {m=0} ^\ infty\ left (\ sum_ {| alfa|\ alpha|\ =m} |c_\ alfa|\ derecha)
$$
es convergente.

OBRA. De acuerdo con la definición anterior, una serie convergente es absolutamente convergente. De ello se deduce que podemos reorganizar el orden de la suma.

Usando la notación multi-índice anterior y teniendo en cuenta que podemos reorganizar series convergentes, tenemos

10. Vamos\(x\in\mathbb{R}\), entonces
\ comenzar {eqnarray*}
\ sum_\ alpha x^\ alpha&=&\ prod_ {i=1} ^n\ left (\ sum_ {\ alpha_i=0} ^\ infty x_i^ {\ alpha_i}\ derecha)\\
&=&\ frac {1} {(1-x_1) (1-x_2)\ cdot\ ldots\ cdot (1-x_n)}\\
&=&\ frac {1} {({\ bf 1} -x) ^ {\ bf 1}},
\ end {eqnarray*}
siempre que\(|x_i|<1\) se satisfaga para cada uno\(i\).

11. Asumir\(x\in\mathbb{R}\) y\(|x_1|+|x_2|+\ldots+|x_n|<1\), entonces
\ comenzar {eqnarray*}
\ sum_\ alpha\ frac {|\ alpha|!} {\ alfa!} x^\ alpha&=&\ sum_ {j=0} ^\ infty\ suma_ {|\ alpha|=j}\ frac {|\ alpha|!} {\ alfa!} x^\ alfa\\
&=&\ sum_ {j=0} ^\ infty (x_1+\ ldots+x_n) ^j\\
&=&\ frac {1} {1- (x_1+\ ldots+x_n)}.
\ end {eqnarray*}

12. Vamos\(x\in\mathbb{R}\),\(|x_i|<1\) para todos\(i\), y\(\beta\) es un multi-índice dado. Entonces
\ comienza {eqnarray*}
\ sum_ {\ alpha\ ge\ beta}\ frac {\ alpha!} {(\ alfa-\ beta)!} x^ {\ alfa-\ beta} &=&D^\ beta\ frac {1} {({\ bf 1} -x) ^1}\\
&=&\ frac {\ beta!} {({\ bf 1} -x) ^ {1+\ beta}}\
\ end {eqnarray*}

13. Dejar\(x\in\mathbb{R}\) y\(|x_1|+\ldots+|x_n|<1\). Entonces
\ comienza {eqnarray*}
\ sum_ {\ alpha\ ge\ beta}\ frac {|\ alpha|!} {(\ alfa-\ beta)!} x^ {\ alfa-\ beta} &=&D^\ beta\ frac {1} {1-x_1-\ ldots-x_n}\\
&=&\ frac {|\ beta|!} {(1-x_1-\ lpuntos-x_n) ^ {1+|\ beta|}}\.
\ end {eqnarray*}

Considera la serie de potencia
\ begin {ecuación}
\ label {power}\ tag {3.34}
\ sum_\ alpha c_\ alpha x^\ alpha\ alpha
\ end {ecuación}
y supongamos que esta serie es convergente para a\(z\in\mathbb{R}\). Entonces, por definición,
$$
\ mu: =\ sum_\ alpha|c_\ alpha||z^\ alpha|<\ infty
$$
y la serie (\ ref {power}) es uniformemente convergente para todos\(x\in Q(z)\), donde
$$
Q (z):\\ |x_i|\ le|z_i|\\\ mbox {para todos}\\ i.
\]

\ (D\ en Q (z)\)” style="width: 251px; alto: 235px;” width="251px” height="235px” src=” https://math.libretexts.org/@api/dek...6/analytic.jpg "/>

Figura 3.5.1.1: Definición de\(D\in Q(z)\)

Así, la serie de potencia (\ ref {power}) define una función continua definida en\(Q(z)\), según un teorema de Weierstrass.

El interior de no\(Q(z)\) está vacío si y sólo si\(z_i\not=0\) para todos\(i\), ver Figura 3.5.1.1.
Para dado\(x\) en un subconjunto compacto fijo\(D\) de\(Q(z)\) hay un\(q\),\(0<q<1\), tal que
$$
|x_i|\ le q|z_i|\\\ mbox {para todos}\ i.
$$
Set
$$
f (x) =\ sum_\ alpha c_\ alpha x^\ alfa.
\]

Proposición A1. (i) En cada subconjunto compacto\(D\) de\(Q(z)\) uno tiene\(f\in C^\infty(D)\) y
el formal diferenciar series, es decir\(\sum_\alpha D^\beta c_\alpha x^\alpha\), es uniformemente convergente en el cierre de\(D\) y es igual a\(D^\beta f\). }

(ii)
$$
|D^\ beta f (x) |\ le M|\ beta|! r^ {-|\ beta|}\\\ mbox {in}\ D,
$$
donde
$$
M=\ frac {\ mu} {(1-q) ^n},\ qquad\ qquad r =( 1-q)\ min_i|z_i|.
$$

Comprobante. Véase F. John [10], p. 64. O un ejercicio. Pista: Usa la fórmula 12. donde\(x\) se sustituye por\((q,\ldots,q)\).

OBRA. De la proposición anterior se desprende
$$
c_\ alpha=\ frac {1} {\ alpha!} D^\ alfa f (0).
\]

Definición. Supongamos que\(f\) se define en un dominio\(\Omega\subset\mathbb{R}\), entonces se dice que\(f\) es {\ it real analytic in\(y\in\Omega\)} si hay\(c_\alpha\in\mathbb{R}^1\) y si hay un barrio\(N(y)\) de\(y\) tal que
$$
f (x) =\ sum_\ alpha c_\ alpha (x-y) ^\ alpha
$$
para todos\(x\in N(y)\), y la serie converge (absolutamente) para cada uno\(x\in N(y)\).
Una función\(f\) se llama {\ it real analytic in\(\Omega\)} si es analítica real para cada una\(y\in\Omega\).
Escribiremos\(f\in C^\omega(\Omega)\) en el caso que\(f\) sea real analítico en el dominio\(\Omega\).
Una función de valor vectorial\(f(x)=(f_1(x),\ldots,f_m)\) se denomina analítica real si cada coordenada es analítica real.

Proposición A2. (i) Dejar\(f\in C^\omega(\Omega)\). Entonces\(f\in C^\infty(\Omega)\). }

(ii)
Asumir\(f\in C^\omega(\Omega)\). Entonces para cada uno\(y\in \Omega\) existe una vecindad\(N(y)\) y constantes positivas\(M\),\(r\) tal que
$$
f (x) =\ sum_\ alpha\ frac {1} {\ alpha!} (D^\ alpha f (y)) (x-y) ^\ alfa
$$
para todos\(x\in N(y)\), y la serie converge (absolutamente) para cada uno\(x\in N(y)\), y
$$
|D^\ beta f (x) |\ le M|\ beta|! r^ {-|\ beta|}.
$$

La prueba se desprende de la Proposición A1.

Un conjunto abierto\(\Omega\in\mathbb{R}\) se llama conectado si no\(\Omega\) es una unión de dos conjuntos
abiertos no vacíos con intersección vacía. \(\Omega\in\mathbb{R}\)Se conecta un conjunto abierto si y solo si su ruta está conectada, ver [11], pp. 38, por ejemplo. Decimos que\(\Omega\) es camino conectado si para alguno\(x,y\in\Omega\) hay una curva continua\(\gamma(t)\in\Omega\),\(0\le t\le1\), con\(\gamma(0)=x\) y\(\gamma(1)=y\). De la teoría de una variable compleja sabemos que una continuación de una función analítica está determinada de manera única. Lo mismo es cierto para las funciones analíticas reales.

Proposición A3. Asumir\(f\in C^\omega(\Omega)\) y\(\Omega\) está conectado. Entonces
\(f\) se determina de manera única si por uno\(D^\alpha f(z)\) se conocen\(z\in\Omega\) todos.

Comprobante. Véase F. John [10], p. 65. Supongamos\(g, h\in C^\omega(\Omega)\) y
\(D^\alpha g(z)=D^\alpha h(z)\) para cada\(\alpha\). Establecer\(f=g-h\) y
\ comenzar {eqnarray*}
\ Omega_1&=&\ {x\ in\ Omega:\ D^\ alpha f (x) =0\\\ mbox {para todos}\\ alfa\},\\
\ Omega_2&=&\ {x\ in\ Omega:\ D^\ alfa f (x)\ not=0\\\ mbox {para al menos uno}\\ alfa\}.
\ end {eqnarray*}
El conjunto\(\Omega_2\) está abierto ya que\(D^\alpha f\) son continuos en\(\Omega\). El conjunto también\(\Omega_1\) está abierto ya que\(f(x)=0\) en un barrio de\(y\in\Omega_1\). Esto se deduce de
$$
f (x) =\ sum_\ alpha\ frac {1} {\ alpha!} (D^\ alfa f (y)) (x-y) ^\ alfa.
$$
Desde\(z\in\Omega_1\), i. e.,\(\Omega_1\not=\emptyset\), se deduce\(\Omega_2=\emptyset\).

\(\Box\)

Se demostró en la Proposición A2 que los derivados de una función analítica real satisfacen estimaciones.
Por otro lado se deduce, ver la proposición siguiente, que una función\(f\in C^\infty\) es analítica real si se satisfacen estas estimaciones.

Definición. Dejar\(y\in\Omega\) y constantes\(M,\ r\) positivas. Entonces\(f\) se dice que está en la clase\(C_{M,r}(y)\) si\(f\in C^\infty\) en un barrio de\(y\) y si
$$
|D^\ beta f (y) |\ le M|\ beta|! r^ {-|\ beta|}
$$
para todos\(\beta\).

Proposición A4. \(f\in C^\omega(\Omega)\)si y solo si\(f\in C^\infty(\Omega)\) y por cada subconjunto compacto\(S\subset\Omega\) hay constantes positivas\(M,\;r\) tales que
$$
f\ in C_ {M, r} (y)\\\ mbox {para todos}\ y\ en S.
$$

Comprobante. Véase F. John [10], pp. 65-66. Demostraremos la versión local de la proposición, es decir, la mostramos para cada fijo\(y\in\Omega\). La versión general se desprende del teorema de Heine-Borel. Debido a la Proposición A3 queda por demostrar que la serie de Taylor
$$
\ sum_\ alpha\ frac {1} {\ alpha!} D^\ alpha f (y) (x-y) ^\ alpha
$$
converge (absolutamente) en un vecindario de\(y\) y que esta serie es igual a\(f(x)\).

Definir un barrio de\(y\) por
$$
n_d (y) =\ {x\ in\ Omega:\\ |x_1-y_1|+\ ldots+|x_n-y_n|<d\},
$$
donde\(d\) es una constante positiva suficientemente pequeña. Set\(\Phi(t)=f(y+t(x-y))\). El teorema unidimensional de Taylor dice
$$
f (x) =\ Phi (1) =\ sum_ {k=0} ^ {j-1}\ frac {1} {k!} \ Phi^ {(k)} (0) +r_j,
$$
donde
$$
r_j=\ frac {1} {(j-1)!} \ int_0^1\ (1-t) ^ {j-1}\ Phi^ {(j)} (t)\ dt.
$$
De la fórmula 7. para derivados direccionales sigue para\(x\in N_d(y)\) ese
$$
\ frac {1} {j!} \ frac {d^j} {dt^j}\ Phi (t) =\ sum_ {|\ alpha|=j}\ frac {1} {\ alpha!} D^\ alfa f (y+t (x-y)) (x-y) ^\ alfa.
$$
De la asunción y la fórmula multinomial 3. obtenemos por\(0\le t\le 1\)
\ begin {eqnarray*}
\ izquierda|\ frac {1} {j!} \ frac {d^j} {dt^j}\ Phi (t)\ derecha|&\ le&M\ sum_ {|\ alpha|=j}\ frac {|\ alpha|!} {\ alfa!} r^ {-|\ alpha|}\ izquierda| (x-y) ^\ alfa\ derecha|\\
&=& Mr^ {-j}\ izquierda (|x_1-y_1|+\ ldots +|x_n-y_n|\ derecha) ^j\\
&\ le&M\ izquierda (\ frac {d} {r}\ derecha) ^j.
\ end {eqnarray*}
Elige\(d>0\) tal que\(d<r\), luego converja la serie Taylor ( absolutamente) en\(N_d(y)\) y es igual a\(f(x)\) ya que el resto satisface, ver la estimación anterior,
$$
|r_j|=\ izquierda|\ frac {1} {(j-1)!} \ int_0^1\ (1-t) ^ {j-1}\ phi^j (t)\ dt\ derecha|\ le M\ izquierda (\ frac {d} {r}\ derecha) ^j.
\]

\(\Box\)

Recordamos que la notación\(f<<F\) (\(f\)es mayorizada por\(F\)) fue definida en el apartado anterior.

Proposición A5. (i) \(f=(f_1,\ldots,f_m)\in C_{M,r}(0)\)si y solo si\(f<<(\Phi,\ldots,\Phi)\), donde
$$
\ Phi (x) =\ frac {Mr} {r-x_1-\ ldots-x_n}\.
$$}

(ii)\(f\in C_{M,r}(0)\) y\(f(0)=0\) si y solo si
$$
f<< (\ Phi-M,\ ldots,\ Phi-M),
$$
donde
$$
\ Phi (x) =\ frac {M (x_1+\ ldots+x_n)} {r-x_1-\ ldots-x_n}\.
$$

Comprobante.
$$
D^\ alfa\ Phi (0) =M|\ alpha|! r^ {-|\ alpha|}.
\]

\(\Box\)

OBRA. La definición de\(f<<F\) implica, trivialmente, eso\(D^\alpha f<<D^\alpha F\).

La siguiente proposición muestra que las composiciones mayorizan si las funciones involucradas mayorizan. Más precisamente, tenemos

Proposición A6. Deja\(f,\ F:\ \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}^m\) y\(g,\ G\) mapea un barrio de\(0\in\mathbb{R}^m\) en\({\mathbb R}^p\). Supongamos que todas las funciones\(f(x),\ F(x),\ g(u),\ G(u)\) están en\(C^\infty\)\(f(0)=F(0)=0\),,\(f<<F\) y\(g<<G\). Entonces
\(g(f(x))<<G(F(x))\). }

Comprobante. Véase F. John [10], p. 68. Establecer
$$
h (x) =g (f (x)),\\\ H (x) =G (F (x)).
$$
Por cada coordenada\(h_k\) de\(h\) tenemos, según la regla de la cadena,
$$
D^\ alpha h_k (0) =P_\ alpha (\ delta^\ beta g_l (0), D^\ gamma f_j (0)),
$$
donde\(P_\alpha\) son polinomios con no negativos enteros como coeficientes,\(P_\alpha\)
son independientes de\(g\) o\(f\) y\(\delta:=(\partial/\partial u_1,\ldots,\partial/\partial u_m)\). Así,
\ begin {eqnarray*}
|D^\ alpha h_k (0) |&\ Le&p_\ alpha (|\ delta^\ beta g_l (0) |, |D^\ gamma f_j (0) |)\\
&\ Le&p_\ alpha (\ delta^\ beta g_l (0), D^\ gamma f_j (0))\\
&=&D^\ alfa H_k (0).
\ end {eqnarray*}
\(\Box\)

Utilizando este resultado y la Proposición A4, que caracteriza las funciones analíticas reales, se deduce que las composiciones de funciones analíticas reales vuelven a ser funciones analíticas reales.

Proposición A7. Asumir\(f(x)\) y\(g(u)\) son reales analíticos, entonces\(g(f(x))\) es real analítico si\(f(x)\) está en el dominio de la definición de\(g\).

Comprobante. Véase F. John [10], p. 68. Supongamos que\(f\) mapea un vecindario de\(y\in\mathbb{R}\) in\(\mathbb{R}^m\) y\(g\) mapea un vecindario de\(v=f(y)\) en $ {\ mathbb R} ^m$. Entonces\(f\in C_{M,r}(y)\) e\(g\in C_{\mu,\rho}(v)\) implica
$$
h (x) :=g (f (x))\ in C_ {\ mu,\ rho r/ (mm+\ rho)} (y).
$$
Una vez que se ha mostrado esta inclusión, la proposición se desprende de la Proposición~A4. Para mostrar la inclusión, establecemos
$$
h (y+x) :=g (f (y+x))\ equiv g (v+f (y+x) -f (x)) =:g^* (f^* (x)),
$$
donde\(v=f(y)\) y
\ begin {eqnarray*}
g^* (u) :&=&g (v+u)\ en C_ {\ mu,\ rho} (0)\\
f^* (x) :&=&f (y+x) -f (y)\ en C_ {M, r} (0).
\ end {eqnarray*}
En las fórmulas anteriores\(v,\ y\) se consideran como parámetros fijos. De Proposición~A5 se sigue
\ begin {eqnarray*}
f^* (x) &<<& (\ Phi-M,\ ldots,\ Phi-M) =:F\\
g^* (u) &<<& (\ Psi,\ ldots,\ Psi) =:G,
\ end {eqnarray*}
donde
\ begin {eqnarray*}
\ Phi (x) &=& amp;\ frac {Sr} {r-x_1-x_2-\ ldots-x_n}\\
\ Psi (u) &=&\ frac {\ mu\ rho} {\ rho-x_1-x_2-\ ldots-x_n}.
\ end {eqnarray*}
De la Proposición A6 obtenemos
$$
h (y+x) << (\ chi (x),\ ldots,\ chi (x))\ equiv G (F),
$$
donde
\ begin {eqnarray*}
\ chi (x) &=&\ frac {\ mu\ rho} {\ rho-m (\ Phi (x) -M)}\
&=&\ frac {\ mu\ rho (r-x_1-\ ldots-x_n)} {\ rho r- (\ Rho+mm) (x_1+\ ldots+x_n)}\\
&<<&\ frac {\ mu\ rho r} {\ rho r- (\ Rho+mm) (x_1+\ ldots+x_n)}\\
&=&\ frac {\ mu\ rho r/ (\ Rho+mm)} {\ rho r/ (\ Rho+mm) - (x_1+\ ldots x_n)}.
\ end {eqnarray*}
Ver un ejercicio para la\(<<\) "” -desigualdad.

\(\Box\)

Colaboradores:

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