4.1: Ecuación de Onda Unidimensional
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\ begin {ecuación}
\ label {waveone}
\ dfrac {1} {c^2} u_ {tt} -u_ {xx} =0,
\ end {ecuación}
donde\(u=u(x,t)\) es una función escalar de dos variables y\(c\) es una constante positiva. Según consideraciones anteriores, todas las\(C^2\) soluciones de la ecuación de onda son
\ begin {ecuación}
\ label {wavegen}
u (x, t) =f (x+ct) +g (x-ct),
\ end {ecuación}
con\(C^2\) funciones arbitrarias\(f\) y\(g\)
El problema del valor inicial de Cauchy para la ecuación de onda es encontrar una\(C^2\) solución de
\ begin {eqnarray*}
\ dfrac {1} {c^2} u_ {tt} -u_ {xx} &=&0\\
u (x,0) &=&\ alpha (x)\\
u_t (x,0) &=&\ beta (x),
\ end {eqnarray*}
donde\(\alpha,\ \beta\in C^2(-\infty,\infty)\) se dan.
Teorema 4.1. Existe una\(C^2(\mathbb{R}^1\times\mathbb{R}^1)\) solución única del problema del valor inicial de Cauchy, y esta solución viene dada por la fórmula 1 de d'Alembert
\ begin {ecuación}
\ etiqueta {forma de onda}
u (x, t) =\ dfrac {\ alpha (x+ct) +\ alpha (x-ct)} {2} +\ dfrac {1} {2c}\ int_ {x-ct} ^ {x+ct}\\ beta (s)\ ds.
\ end {ecuación}
Comprobante. Supongamos que hay una solución al problema\(u(x,t)\) del valor inicial de Cauchy, entonces se deduce de (\ ref {wavegen}) que
\ begin {eqnarray}
\ label {ini1}
u (x,0) &=&f (x) +g (x) =\ alpha (x)\
\ etiqueta {ini2}
u_t (x,0) &=&cf' (x) -cg' (x) =\ beta (x).
\ end {eqnarray}
De (\ ref {ini1}) obtenemos
\[f'(x)+g'(x)=\alpha'(x),\]
lo que implica, junto con (\ ref {ini2}), que
\ [\ begin {eqnarray*}
\ label {12a} f' (x) &=&\ dfrac {\ alpha' (x) +\ beta (x) /c} {2}\\
\ label {12b} g' (x) &=&\ dfrac {\ alpha' (x) -\ beta (x) /c} {2}.
\ end {eqnarray*}\]
Entonces
\ [\ begin {eqnarray*}
f (x) &=&\ dfrac {\ alpha (x)} {2} +\ dfrac {1} {2c}\ int_0^x\ beta (s)\ ds +C_1\\
g (x) &=&\ dfrac {\ alpha (x)} {2} -\ dfrac {1} {2c}\ int_0^x\\ beta (s)\ ds +C_2.
\ end {eqnarray*}\]
Las constantes\(C_1\),\(C_2\) satisfacer
\[C_1+C_2=f(x)+g(x)-\alpha(x)=0,\]
ver (\ ref {ini1}). Así, cada\(C^2\) solución del problema del valor inicial de Cauchy viene dada por la fórmula de d'Alembert. Por otro lado, la función\(u(x,t)\) definida por el lado derecho de (\ ref {forma de onda}) es una solución del problema de valor inicial.
\(\Box\)
Corolarios. 1. La solución\(u(x,t)\) del problema del valor inicial depende de los valores de\(\alpha\) en los puntos finales del intervalo\([x-ct,x+ct]\) y de los valores de\(\beta\) en este intervalo solamente, ver Figura 4.1.1. El intervalo\([x-ct,x+ct]\) se llama {\ it dominio de dependencia}.
Figura 4.1.1: Intervalo de dependencia
2. Dejar\(P\) ser un punto en el\(x\) eje -. Entonces preguntamos ¿qué puntos\((x,t)\) necesitan valores de\(\alpha\) o\(\beta\)\(P\) en para poder calcular\(u(x,t)\)? De la fórmula d'Alembert se deduce que este dominio es un cono, ver Figura 4.2.1. Este conjunto se llama dominio de influencia.
Figura 4.2.1: Dominio de influencia
1 d'Alembert, Jean Bartiste le Rond, 1717-1783