4.2: Dimensiones más altas

Set

$$
\ Caja u=u_ {tt} -c^2\ triángulo u,\\\ triángulo\ equiv\ triangle_x=\ parcial^2/\ parcial x_1^2+\ ldots+
\ parcial^2/\ parcial x_n^2,
\]

y considerar el problema de valor inicial

\ begin {eqnarray}
\ label {wavehigher1}
\ Box u&=&0\\\\ mbox {in}\ mathbb {R} ^n\ veces\ mathbb {R} ^1\
\ etiqueta {wavehigher2}
u (x,0) &=&f (x)\\
\ label {wavehigher3}
u_t (x,0) &=g (x),
\ end {eqnarray}

donde\(f\) y\(g\) se les dan\(C^2(\mathbb{R}^2)\) -funciones.

Mediante el uso de medios esféricos y la fórmula d'Alembert anterior derivaremos una fórmula para la solución de este problema de valor inicial.

Método de medias esféricas

Definir la media esférica para una\(C^2\) solución\(u(x,t)\) del problema del valor inicial mediante

\ begin {ecuación}
\ etiqueta {media1}
M (r, t) =\ frac {1} {\ omega_n r^ {n-1}}\ int_ {\ parcial b_r (x)}\ u (y, t)\ ds_y,
\ final {ecuación}

donde

$$
\ omega_n =( 2\ pi) ^ {n/2}/\ Gamma (n/2)
\]

es el área de la esfera n-dimensional,\(\omega_n r^{n-1}\) es el área de una esfera con radio\(r\).

Del teorema del valor medio del cálculo integral obtenemos la función\(u(x,t)\) para la que estamos mirando por
\ begin {ecuación}
\ label {uM}
u (x, t) =\ lim_ {r\ to0} M (r, t).
\ end {ecuación}
Usando los datos iniciales, tenemos
\ begin {eqnarray}
\ label {mean2}
M (r,0) &=&\ frac {1} {\ omega_n r^ {n-1}}\ int_ {\ parcial b_r (x)}\ f (y)\ ds_y=:f (r)\\
\ label {mean3}
m_t (r, 0) &=&\ frac {1} { \ omega_n r^ {n-1}}\ int_ {\ parcial b_r (x)}\ g (y)\ ds_y=:g (r),
\ end {eqnarray}
que son las medias esféricas de\(f\) y\(g\).

El siguiente paso es derivar una ecuación diferencial parcial para la media esférica. De la definición (\ ref {media1}) de la media esférica obtenemos, después del mapeo\(\xi=(y-x)/r\), donde\(x\) y\(r\) son fijos,
$$
M (r, t) =\ frac {1} {\ omega_n}\ int_ {\ parcial B_1 (0)}\ u (x+r\ xi, t)\ dS_\ xi.
$$
Sigue
\ begin {eqnarray*}
m_r (r, t) &=&\ frac {1} {\ omega_n}\ int_ {\ parcial B_1 (0)}\\ sum_ {i=1} ^n u_ {y_i} (x+r\ xi, t)\ xi_i\ dS_\ xi\
&=&\ frac {1} {\ omega_n r^ {n-1}}\ int_ {\ parcial b_r (x)}\\ suma_ {i=1} ^n u_ {y_i} (y, t)\ xi_i\ dS_ y.
\ end {eqnarray*}
Integración por partes rinde
$$
\ frac {1} {\ omega_n r^ {n-1}}\ int_ {b_r (x)}\\ sum_ {i=1} ^n u_ {y_iy_i} (y, t)\ dy
$$
ya que $\ xi\ equiv (y-x) /r$ es la normal exterior en\(\partial B_r(x)\). Supongamos que\(u\) es una solución de la ecuación de onda, entonces
\ begin {eqnarray*}
r^ {n-1} m_r&=&\ frac {1} {c^2\ omega_n}\ int_ {b_r (x)}\ u_ {tt} (y, t)\ dy\\
&=&\ frac {1} {c^2\ omega_n}\ int_0^r\\ int_ {\ parcial b_c (x)}\ u_ {tt} (y, t)\ ds_yDC.
\ end {eqnarray*}
La ecuación anterior sigue usando coordenadas esféricas. En consecuencia
\ begin {eqnarray*}
(r^ {n-1} m_r) _r&=&\ frac {1} {c^2\ omega_n}\ int_ {\ parcial b_r (x)}\ u_ {tt} (y, t)\ ds_y\
&=&\ frac {r^ {n-1}} {c^2}\ frac {\ frac\ al^2} {\ parcial t^2}\ izquierda (\ frac {1} {\ omega_n r^ {n-1}}\ int_ {\ parcial b_r (x)}\ u (y, t)\ ds_y\ derecha)\\
&=&\ frac {r^ {n-1}} {c^2} M_ {tt}.
\ end {eqnarray*}
Así llegamos a la ecuación diferencial
$$
(r^ {n-1} m_R) _r=c^ {-2} r^ {n-1} M_ {tt},
$$
que puede escribirse como
\ begin {ecuación}
\ label {EPD}
M_ {rr} +\ frac {n -1} {r} m_r=C^ {-2} M_ {tt}.
\ end {ecuación}
Esta ecuación (\ ref {EPD}) se llama ecuación de Euler-Poisson-Darboux.

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