4.3: Ecuaciones no homogéneas

Aquí consideramos el problema de valor inicial

\ begin {eqnarray}
\ label {inh1}
\ Box u&=&w (x, t)\\ mbox {on}\ x\ in\ mathbb {R} ^n,\ t\ in\ mathbb {R} ^1\
\ etiqueta {inh2}
u (x,0) &=&f (x)\\
\ etiqueta {xh3}
u_t (,0) &=&g (x),
\ end {eqnarray}

donde\(\Box u:=u_{tt}-c^2\triangle u\). Asumimos\(f\in C^3\),\(g\in C^2\) y\(w\in C^1\), que se dan.

Set\(u=u_1+u_2\), donde\(u_1\) es una solución de problema (\ ref {inh1}) - (\ ref {inh3}) con\(w:=0\) y\(u_2\) es la solución donde\(f=0\) y\(g=0\) en (\ ref {inh1}) - (\ ref {inh3}). Ya que tenemos soluciones explícitas\(u_1\) en los casos\(n=1\)\(n=3\),\(n=2\) y, queda por resolver

\ begin {eqnarray}
\ label {duhu2gl}
\ Box u&=&w (x, t)\\\ mbox {on}\ x\ in\ mathbb {R} ^n,\ t\ in\ mathbb {R} ^1\
\ etiqueta {duhu2in1}
u (x,0) &=&0\
\
uetiqueta {duhu2in2} _t (x,0) &=&0.
\ end {eqnarray}

El siguiente método se llama principio de Duhamel que puede considerarse como una generalización del método de variaciones de constantes en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Para resolver este problema, hacemos el ansatz

\ begin {ecuación}
\ label {duh1}
u (x, t) =\ int_0^t\ v (x, t, s)\ ds,
\ end {ecuación}
donde\(v\) es una función que satisface
\ begin {ecuación}
\ label {duh2}
\ Box v=0\\ mbox {para todos}\ s
\ end {ecuación}

y

\ begin {ecuación}
\ label {duh3}
v (x, s, s) =0.
\ end {ecuación}

De ansatz (\ ref {duh1}) y suposición (\ ref {duh3}) obtenemos

\ begin {eqnarray}
u_t&=&v (x, t, t) +\ int_0^t\ v_t (x, t, s)\ ds,\ nonumber\
\ label {duh4}
&=&\ int_0^t\ v_t (x, t, s).
\ end {eqnarray}

De ello se desprende\(u_t(x,0)=0\). La condición inicial\(u(x,t)=0\) se cumple por el ansatz (\ ref {duh1}). De (\ ref {duh4}) y ansatz (\ ref {duh1}) vemos que

\ begin {eqnarray*}
u_ {tt} &=&v_t (x, t, t) +\ int_0^t\ v_ {tt} (x, t, s)\ ds,\
\ triangle_x u&=&\ int_0^t\\ triangle_x v (x, t, s)\ ds.
\ end {eqnarray*}

Por lo tanto, dado que\(u\) es un ansatz para (\ ref {duhu2gl}) - (\ ref {duhu2in2}),

\ begin {eqnarray*}
u_ {tt} -c^2\ triangle_x u&=&v_t (x, t, t) +\ int_0^t (\ Box v) (x, t, s)\ ds\\
&=&w (x, t).
\ end {eqnarray*}

Así necesariamente\(v_t(x,t,t)=w(x,t)\), ver (\ ref {duh2}). Hemos visto que el ansatz proporciona una solución de (\ ref {duhu2gl}) - (\ ref {duhu2in2}) si por todos\(s\)

\ begin {ecuación}
\ etiqueta {duh5}
\ Caja v=0,\\ v (x, s, s) =0,\\ v_t (x, s, s) =w (x, s).
\ end {ecuación}
Dejar\(v^*(x,t,s)\) ser una solución de
\ begin {ecuación}
\ label {duh6}
\ Box v=0,\\ v (x,0, s) =0,\\ v_t (x,0, s) =w (x, s),
\ end {ecuación}
entonces

$$v (x, t, s) :=v^* (x, t-s, s)\]

es una solución de (\ ref {duh5}).
En el caso\(n=3\), donde\(v^*\) está dado por, ver Teorema 4.2,

$$v^* (x, t, s) =\ frac {1} {4\ pi c^2 t}\ int_ {\ parcial B_ {ct} (x)}\ w (\ xi, s)\ dS_\ xi.\]

Entonces

\ begin {eqnarray*}
v (x, t, s) &=&v^* (x, t-s, s)\\
&=&\ frac {1} {4\ pi c^2 (t-s)}\ int_ {\ parcial B_ {c (t-s)} (x)}\ w (\ xi, s)\ dS_\ xi.
\ end {eqnarray*}

de ansatz (\ ref {duh1}) sigue

\ begin {eqnarray*}
u (x, t) &=&\ int_0^t\ v (x, t, s)\ ds\\
&=&\ frac {1} {4\ pi c^2}\ int_0^t\\ int_ {\ parcial B_ {c (t-s)} (x)}\\ frac {w (\ xi, s)} t-s}\ dS_\ xi ds.
\ end {eqnarray*}

Cambio de variables por\(\tau=c(t-s)\) rendimientos

\ begin {eqnarray*}
u (x, t) &=&\ frac {1} {4\ pi c^2}\ int_0^ {ct}\\ int_ {\ int_ {\ parcial B_ {\ tau} (x)}\\ frac {w (\ xi, t-\ tau/c)} {\ tau}\ ds_\ xi d\ tau\\
&=& ac {1} {4\ pi c^2}\ int_ {B_ {ct} (x)}\\ frac {w (\ xi, t-r/c)} {r}\ d\ xi,
\ end {eqnarray*}

donde\(r=|x-\xi|\).

Fórmulas para los casos\(n=1\) y\(n=2\) seguir de fórmulas para la ecuación homogénea asociada con valores iniciales no homogéneos para estos casos.

Teorema 4.4. La solución de

$$\ Caja u=w (x, t),\\ u (x,0) =0,\\ u_t (x,0) =0, $$

donde\(w\in C^1\), viene dada por:

Caso\(n=3\):

$$u (x, t) =\ frac {1} {4\ pi c^2}\ int_ {B_ {ct} (x)}\\ frac {w (\ xi, t-r/c)} {r}\ d\ xi, $$

donde\(r=|x-\xi|\),\(x=(x_1,x_2,x_3)\),\(\xi=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\).

Caso\(n=2\):

$$u (x, t) =\ frac {1} {4\ pi c}\ int_0^t\\ izquierda (\ int_ {B_ {c (t-\ tau)} (x)}\\ frac {w (\ xi,\ tau)} {\ sqrt {c^2 (t-\ tau) ^2-r^2}}\ d\ xi\ derecha)\\ tau, $$

\(x=(x_1,x_2)\),\(\xi=(\xi_1,\xi_2)\).

Caso\(n=1\):

$$u (x, t) =\ frac {1} {2c}\ int_0^t\\ izquierda (\ int_ {x-c (t-\ tau)} ^ {x+c (t-\ tau)}\ w (\ xi,\ tau)\ d\ xi\ derecha)\ d\ tau. $$

OBSERVACIÓN. El integrando a la derecha en fórmula para\(n=3\) se llama potencial retardado. El integrando no se toma en\(t\), se toma en un momento anterior\(t-r/c\).

Colaboradores y Atribuciones

• Template:ContribMiersemann
• Template:ContribMarshall