4.4: Un método de Riemann

El método de Riemann proporciona una fórmula para la solución del siguiente problema de valor inicial de Cauchy para una ecuación hiperbólica de segundo orden en dos variables. Let

$$ {\ mathcal S}:\\ x=x (t), y=y (t),\\ t_1\ le t\ le t_2,\]

ser una curva regular en\(\mathbb{R}^2\), es decir, suponemos\(x,\ y\in C^1[t_1,t_2]\) y\(x'^2+y'^2\not=0\). Set

$$Lu: =u_ {xy} +a (x, y) u_x+b (x, y) u_y+c (x, y) u,\]

donde\(a,\ b\in C^1\) y\(c,\ f\in C\) en un barrio de\({\mathcal S}\). Considerar el problema de valor inicial

\ begin {eqnarray}
\ label {riem1}
lu&=&F (x, y)\\
\ label {riem2}
u_0 (t) &=&u (x (t), y (t))\\ etiqueta {riem3} p_0 (t)
&=&u_x (x (t), y (t))
\\ etiqueta {riem3} p_0 (t) &=&u_x (x (t), y (t))
\\ etiqueta {riem3 4}
q_0 (t) &=&u_y (x (t), y (t)),
\ end {eqnarray}

donde\(f\in C\) en un barrio de\({\mathcal S}\) y\(u_0,\ p_0,\ q_0\in C^1\) se dan.

Asumimos:

1. \(u_0'(t)=p_0(t)x'(t)+q_0(t)y'(t)\)(condición de la tira),
2. \({\mathcal S}\)no es una curva característica. Además, supongamos que las curvas características, que son líneas aquí y están definidas por\(x=const.\) y\(y=const.\), tienen como máximo un punto de intersección con\({\mathcal S}\), y tal punto no es un punto de contacto, es decir, tangentes de la característica y\({\mathcal S}\) son diferentes en este punto.

Recordamos que la ecuación característica a (\ ref {riem1}) es la\(\chi_x\chi_y=0\) que se satisface si\(\chi_x(x,y)=0\) o\(\chi_y(x,y)=0\). Una familia de características asociadas a estos primeros diferenciales parciales de primer orden se define por\(x'(t)=1,\ y'(t)=0\), ver Capítulo 2.

Asumir\(u,\ v\in C^1\) y que\(u_{xy},\ v_{xy}\) existen y son continuos. Definir la expresión diferencial contigua mediante

$$mv=v_ {xy} - (av) _x- (bv) _y+cv.\]

Tenemos

\ begin {ecuación}
\ label {riem5}
2 (vlu-UMV) =( u_xv-v_xu+2buv) _y+ (u_yv-v_yu+2auv) _x.
\ end {ecuación}

Set

\ begin {eqnarray*}
P&=&- (u_xv-x_xu+2buv)\\
q&=&u_yv-v_yu+2AUV.
\ end {eqnarray*}

De (\ ref {riem5}) sigue para un dominio\(\Omega\in\mathbb{R}^2\)

\ begin {eqnarray}
2\ int_\ Omega\ (Vlu-UMV)\ dxdy&=&\ int_\ Omega\ (-p_y+q_x)\ dxdy\ nonumber\
\ label {riem6}
&=&\ oint\ Pdx+Qdy,
\ end {eqnarray}

donde la integración en la integral de línea es antihorario. La ecuación anterior se desprende del teorema de Gauss o después de la integración por partes:

$$\ int_\ Omega\ (-P_y+Q_x)\ dxdy=\ int_ {\ parcial\ Omega}\ (-Pn_2+Qn_1)\ ds,\]

donde\(n=(dy/ds,-dx/ds)\), longitud\(s\) del arco,\((x(s),y(s))\) representa\(\partial\Omega\).

Supongamos que\(u\) es una solución del problema de valor inicial (\ ref {riem1}) - (\ ref {riem4}) y supongamos que\(v\) satisface

$$Mv=0\\\ mbox {in}\\ Omega.\]

Figura 4.4.1: Método de Riemann, dominio de integración

Entonces, si integramos sobre un dominio\(\Omega\) como se muestra en la Figura 4.4.1, se deduce de (\ ref {riem6}) que

\ begin {ecuación}
\ label {riem7}
2\ int_\ Omega\ vf\ dxdy=\ int_ {BA}\ Pdx+Qdy+\ int_ {AP}\ Pdx+Qdy+\ int_ {PB}\ Pdx+Qdy.
\ end {ecuación}

La línea integral de\(B\) a\(A\) se conoce a partir de los datos iniciales, ver la definición de\(P\) y\(Q\).

Desde

$$u_xv-v_xu+2buv= (uv) _x+2u (bv-v_x),\]

se sigue

\ begin {eqnarray*}
\ int_ {AP} Pdx+Qdy&=&-\ int_ {AP}\ left ((uv) _x+2u (bv-v_x)\ derecha)\ dx\\
&=&- (uv) (P) + (uv) (A) -\ int_ {AP}\ 2u (bv-v_x)\ dx.
\ end {eqnarray*}

Por el mismo razonamiento obtenemos para la tercera línea integral

\ begin {eqnarray*}
\ int_ {PB} Pdx+Qdy&=&\ int_ {PB}\ izquierda ((uv) _y+2u (av-v_y)\ derecha)\ dy\\
&=& (uv) (B) - (uv) (P) +\ int_ {PB} 2u (av-v_y)\ dy.
\ end {eqnarray*}

Combinando estas ecuaciones con (\ ref {riem6}), obtenemos

\ begin {eqnarray}
2v (P) u (P) &=&\ int_ {BA} (u_xv-v_x+2buv)\ dx- (u_yv-v_yu+2auv)\ dy\ nonumber\\
&&+u (A) v (A) +u (B) v (B) +2\ int_ {AP} u (bv-v_x)\ dx\ nonumber\\
\ label {riemend}
&&+2\ int_ {PB} u (av-v_y)\ dy-2\ int_\ omega fv\ dxdy.
\ end {eqnarray}

\(v\)Sea una solución del problema de valor inicial, ver Figura 4.2.2 para la definición de dominio\(D(P)\),

Figura 4.4.2: Definición de la función de Riemann

\ begin {eqnarray}
\ label {riem9}
Mv&=&0\\\ mbox {in}\ D (P)
\\ etiqueta {riem10}
bv-v_x&=&0\\\ mbox {on}\ C_1\
\ etiqueta {riem11}
av-v_y&=&0\\\ mbox {on}\ C_2\
\ label {riem12}
v (P) &=&1.
\ end {eqnarray}

Supongamos\(v\) satisface (\ ref {riem9}) - (\ ref {riem12}), entonces

\ begin {eqnarray*}
2u (P) &=&u (A) v (A) +u (B) v (B) -2\ int_\ Omega\ fv\ dxdy\\
&&&=\ int_ {BA} (u_xv-v_x+2buv)\ dx- (u_yv-v_yu+2auv)\ dy,
\ end {eqnarray* ay*}

donde se conoce el lado derecho a partir de datos dados.

Una función\(v=v(x,y;x_0,y_0)\) satisfactoria (\ ref {riem9}) - (\ ref {riem12}) se llama función de Riemann.

Observación. Set\(w(x,y)=v(x,y;x_0,y_0)\) para fijo\(x_0,\ y_0\). Entonces (\ ref {riem9}) - (\ ref {riem12}) implica

\ begin {eqnarray*}
w (x, y_0) &=&\ exp\ left (\ int_ {x_0} ^x\ b (\ tau, y_0)\ d\ tau\ derecha)\\\ mbox {on}\ C_1,\\
w (x_0, y) &=&\ exp\ izquierda (\ int_ {y_0} ^y\ a (_0,\ tau)\ d\ tau\ derecha)\\\ mbox {on}\ C_2.
\ end {eqnarray*}

Ejemplo 4.4.1:

\(u_{xy}=f(x,y)\), entonces una función de Riemann es\(v(x,y)\equiv 1\).

Ejemplo 4.4.2:

Consideremos la ecuación telegráfica del Capítulo 3

$$\ varepsilon\ mu u_ {tt} =c^2\ triangle_xu-\ lambda\ mu u_t,\]

donde\(u\) representa una coordenada de campo eléctrico o magnético.

Presentando

$$u=w (x, t) e^ {\ kappa t},\]

donde\(\kappa=-\lambda/(2\varepsilon)\), llegamos a

$$w_ {tt} =\ frac {c^2} {\ varepsilon\ mu}\ triangle_xw-\ frac {\ lambda^2} {4\ epsilon^2}.\]

Estirando el eje y transformando la ecuación a la forma normal obtenemos finalmente la siguiente ecuación, la nueva función se denota por\(u\) y las nuevas variables se denotan por de\(x,y\) nuevo,

$$u_ {xy} +cu=0,\]

con una constante positiva\(c\). Hacemos el ansatz para una función de Riemann

$$v (x, y; x_0, y_0) =w (s),\\ s= (x-x_0) (y-y_0)\]

y obtener

$$sw"+w'+cw=0.\]

La sustitución\(\sigma=\sqrt{4cs}\) lleva a la ecuación diferencial de Bessel

$$\ sigma^2 z "(\ sigma) +\ sigma z' (\ sigma) +\ sigma^2 z (\ sigma) =0,\]

donde\(z(\sigma)=w(\sigma^2/(4c))\). Una solución es

$$J_0 (\ sigma) =J_0\ izquierda (\ sqrt {4c (x-x_0) (y-y_0)}\ derecha)\]

que define una función de Riemann desde\(J_0(0)=1\).

Observación. La ecuación diferencial de Bessel es

$$x^2y "(x) +xy' (x) + (x^2-n^2) y (x) =0,\]

donde\(n\in\mathbb{R}^1\). Si\(n\in{\mathbb N}\cup\{0\}\), entonces las soluciones son dadas por las funciones de Bessel. Una de las dos soluciones linealmente independientes está limitada a 0. Esta solución acotada es la función Bessel\(J_n(x)\) de primer tipo y de orden\(n\), véase [1], por ejemplo.

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