4.5.1: Oscilación de una cuerda

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Sea$u(x,t)$,$x\in[a,b]$$t\in\mathbb{R}^1$, la desviación de una cuerda, véase la Figura 1.1.1 del Capítulo 1. Supongamos que la desviación ocurre en el$(x,u)$ plano. Este problema se rige por el problema del valor de límite inicial
\ begin {eqnarray}
\ label {string1}\ tag {4.5.1.1}
u_ {tt} (x, t) &=&u_ {xx} (x, t)\\ mbox {on}\ (0, l)\
\ label {string2}\ tag {4.5.1.2}
u (x,0) &=&f (x)\\
\ label {string3}\ tag {4.5.1.3}
u_t (x,0) &=&g (x)\
\ etiqueta {string4}\ tag {4.5.1.4}
u (0, t) &=&u (l, t) =0.
\ end {eqnarray}
Supongamos que los datos iniciales$f$,$g$ son suficientemente regulares. Esto implica condiciones de compatibilidad$f(0)=f(l)=0$ y$g(0)=g(l)$.

Método de Fourier

Para encontrar soluciones de ecuación diferencial (\ ref {string1}) hacemos la separación de variables ansatz
$$
u (x, t) =v (x) w (t).
$$
Insertando el ansatz en (\ ref {string1}) obtenemos
$$
v (x) w "(t) =v" (x) w (t),
$$
o, if$v(x)w(t)\not=0$,
$$
\ frac {w "(t)} {w (t)} =\ frac {v" (x)} {v (x)}.
$$
Se sigue, siempre que$v(x)w(t)$ sea una solución de ecuación diferencial (\ ref {string1}) y$v(x)w(t)\not=0$,
$$
\ frac {w "(t)} {w (t)} =const. =: -\ lambda
$$
y
$$
\ frac {v "(x)} {v (x)} =-\ lambda
$$
ya que$x,\ t$ son variables independientes.

Supongamos que$v(0)=v(l)=0$, a continuación,$v(x)w(t)$ satisface la condición de límite (\ ref {string4}). Así buscamos soluciones del problema del valor propio
\ begin {eqnarray}
\ label {ewastring1}\ tag {4.5.1.5}
-v "(x) &=&\ lambda v (x)\\ lambda v (x)\\ mbox {in}\ (0, l)
\\ label {ewastring2}\ tag {4.5.1.6}
v (0) &=&v (l) =0,
\ end {eqnarray }
que tiene los valores propios
$$
\ lambda_n=\ left (\ frac {\ pi} {l} n\ right) ^2,\\ n=1,2,\ ldots,
$$
y las funciones propias asociadas son
$$
v_n=\ sin\ left (\ frac {\ pi} {l} nx\ right).
$$
Soluciones de
$$
-w "(t) =\ lambda_n w (t)
$$
son
$$
\ sin (\ sqrt {\ lambda_n} t),\\\\ cos (\ sqrt {\ lambda_n} t).
$$
Conjunto
$$
w_n (t) =\ alpha_n\ cos (\ sqrt {\ lambda_n} t) +\ beta_n\ sin (\ sqrt {\ lambda_n} t),
$$
donde$\alpha_n,\ \beta_n\in\mathbb{R}^1$.
Se ve fácilmente que$w_n(t)v_n(x)$ es una solución de ecuación diferencial (\ ref {string1}), y, dado que (\ ref {string1}) es lineal y homogénea, también (principio de superposición)
$$
u_n=\ sum_ {n=1} ^nW_n (t) v_n (x)
$$
que satisface la ecuación diferencial (\ ref {string1}) y las condiciones de contorno (\ ref {string4}). Considere la solución formal de (\ ref {string1}), (\ ref {string4})\ begin {ecuación}
\ label {string5}
\ tag {4.5.1.7}
u (x, t) =\ sum_ {n=1} ^\ infty\ left (\ alpha_n\ cos (\ sqrt {\ lambda_n} t) +\ beta_n\ sin (\ sqrt {\ lambda_n} t) +\ beta_n\ sin (\ sqrt {\ lambda_n} t) +\ beta_n da_n} t)\ derecha)\ sin\ izquierda (\ sqrt {\ lambda_n} x\ derecha).
\ end {equation}
“Formal” significa que aquí no sabemos que el lado derecho converge ni que es una solución del problema del valor de límite inicial. Formalmente, los coeficientes desconocidos pueden calcularse a partir de las condiciones iniciales (\ ref {string2}), (\ ref {string3}) de la siguiente manera. Tenemos
$$
u (x,0) =\ sum_ {n=1} ^\ infty\ alpha_n\ sin (\ sqrt {\ lambda_n} x) =f (x).
$$
Multiplicando esta ecuación por$\sin(\sqrt{\lambda_k}x)$ e integrando sobre$(0,l)$, obtenemos
$$
\ alpha_n\ int_0^l\\ sin^2 (\ sqrt {\ lambda_k} x)\ dx=\ int_0^l\ f (x)\ sin (\ sqrt {\ lambda_k} x)\ dx.
$$
Recordamos que
$$
\ int_0^l\\ sin (\ sqrt {\ lambda_n} x)\ sin (\ sqrt {\ lambda_k} x)\ dx=\ frac {l} {2}\ delta_ {nk}.
$$
Entonces
\ comienza {ecuación}
\ label {string6}\ tag {4.5.1.8}
\ alpha_k=\ frac {2} {l}\ int_0^l\ f (x)\ sin\ left (\ frac {\ pi k} {l} x\ right)\ dx.
\ end {ecuación}
Por el mismo argumento se desprende de
$$
u_t (x,0) =\ sum_ {n=1} ^\ infty\ beta_n\ sqrt {\ lambda_n}\ sin (\ sqrt {\ lambda_n} x) =g (x)
$$
que
\ begin {ecuación}
\ label {string7}\ tag {4.5.1. 9}
\ beta_k=\ frac {2} {k\ pi}\ int_0^l\ g (x)\ sin\ izquierda (\ frac {\ pi k} {l} x\ derecha)\ dx.
\ end {ecuación}

Bajo suposiciones adicionales$f\in C_0^4(0,l)$,$g\in C_0^3(0,l)$ se deduce que el lado derecho de (\ ref {string5}), donde$\alpha_n$,$\beta_n$ están dados por (\ ref {string6}) y (\ ref {string7}), respectivamente, define una solución clásica de (\ ref {string1}) - (\ ref {string4}) ya que bajo estos supuestos la serie para $u$y la serie diferenciada formal para$u_t$$u_{tt}$,$u_x$,,$u_{xx}$ converge uniformemente sobre$0\le x\le l$,$0\le t\le T$,$0<T<\infty$ fija, ver un ejercicio.

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