4.5.2: Oscilación de una Membrana

\(\Omega\subset\mathbb{R}^2\)Déjese ser un dominio acotado. Consideramos el problema del valor de límite inicial

\ begin {eqnarray}
\ label {mem1}\ tag {4.5.2.1}
u_ {tt} (x, t) &=&\ triangle_xu\\\ mbox {in}\\ Omega\ times\ mathbb {R} ^1,\
\ etiqueta {mem2}\ tag {4.5.2.2}
u (x,0) &=&f (x),\ x\ in\ overline {\ Omega},\\
\ label {mem3}\ tag {4.5.2.3}
u_t (x,0) &=&g (x),\\ x\ in\ overline {\ Omega},\
\ etiqueta {mem4}\ tag {4.5.2.4}
u (x, t) &=&0\\\ mbox {on}\\ parcial\ Omega\ veces\ mathbb {R} ^1.
\ end {eqnarray}

Al igual que en la subsección anterior para la cadena, hacemos el ansatz (separación de variables)

$$
u (x, t) =w (t) v (x)
\]

lo que lleva al problema del valor propio

\ begin {eqnarray}
\ label {evpmem1}\ tag {4.5.2.5}
-\ triángulo v&=&\ lambda v\\\ mbox {in}\\ Omega,\\\ etiqueta {evpmem2}
\ tag {4.5.2.6}
v&=&0\\\ mbox {on}\\\ mbox {on}\\\ parcial\ Omega.
\ end {eqnarray}

Let\(\lambda_n\) son los valores propios de\((\ref{evpmem1})\),\((\ref{evpmem2})\) y\(v_n\) un sistema ortonormal asociado completo de funciones propias. Suponemos que\(\Omega\) es lo suficientemente regular como para que los valores propios sean contables, lo que se satisface en los siguientes ejemplos. Entonces la solución formal del problema anterior del valor de límite inicial es

$$
u (x, t) =\ suma_ {n=1} ^\ infty\ izquierda (\ alpha_n\ cos (\ sqrt {\ lambda_n} t) +\ beta_n\ sin (\ sqrt {\ lambda_n} t)\ derecha) v_n (x),
\]

donde

\ begin {eqnarray*}
\ alpha_n&=&\ int_\ Omega\ f (x) v_n (x)\ dx\
\ beta_n&=&\ frac {1} {\ sqrt {\ lambda_n}}\ int_\ Omega\ g (x) v_n (x)\ dx.
\ end {eqnarray*}

Nota

En general, los valores propios de (\ ref {evpmem1}), (\ ref {evpmem1}) no se conocen explícitamente. Existen métodos numéricos para calcular estos valores. En algunos casos especiales, ver ejemplos siguientes, estos valores son conocidos.

Ejemplos

Ejemplo 4.5.2.1: Membrana rectangular

Dejar
$$
\ Omega =( 0, a)\ veces (0, b).
$$
Usando el método de separación de variables, encontramos todos los valores propios de (\ ref {evpmem1}), (\ ref {evpmem2}) que están dados por
$$
\ lambda_ {kl} =\ sqrt {\ frac {k^2} {a^2} +\ frac {l^2} {b^2}},\\ k, l=1,2,\ ldots
$$ y funciones propias asociadas, no normalizados, son
$$
u_ {kl} (x) =\ sin\ izquierda (\ frac {\ pi k} {a} x_1\ derecha)\ sin\ izquierda (\ frac {\ pi l} {b} x_2\ derecha).
\]

Ejemplo 4.5.2.2: Membrana de disco

Establecer
$$
\ Omega=\ {x\ in\ mathbb {R} ^2:\ x_1^2+x_2^2<R^2\}.
$$
En coordenadas polares, el problema del valor propio (\ ref {evpmem1}), (\ ref {evpmem2}) viene dado por
\ begin {eqnarray}
\ label {evppol1}\ tag {4.5.2.6}
-\ frac {1} {r}\ left ((ru_r) _r+\ frac {1} {r} u_ {\ theta\ theta}\ derecha) &=&\ lambda u\\
\ label {evppol2}\ tag {4.5.2.7}
u (R,\ theta) &=&0,
\ end {eqnarray}
aquí está\(u=u(r,\theta):=v(r\cos\theta,r\sin\theta)\). Encontraremos valores propios y funciones propias por separación de variables
$$
u (r,\ theta) =v (r) q (\ theta),
$$
donde\(v(R)=0\) y\(q(\theta)\) es periódica con periodo\(2\pi\) ya que\(u(r,\theta)\) es de valor único.
Esto lleva a
$$
-\ frac {1} {r}\ left ((rv') 'q+\ frac {1} {r} vq "\ right) =\ lambda v q.
$$
Dividiendo por\(vq\)\(vq\not=0\), siempre que obtengamos
\ begin {ecuación}
\ label {disk1}\ tag {4.5.2.8}
-\ frac {1} {r}\ izquierda (\ frac {(rv' (r)) '} {v (r)} +\ frac {1} {r}\ frac {q "(\ theta)} {q (\ theta)}\ derecha) =\ lambda,\ end {ecuación} lo
que implica
$$
\ frac {q" (
\ theta)} {q (\ theta)} {q (\ theta) eta)} =const. =: -\ mu.
$$
Así, llegamos al problema del valor propio
\ begin {eqnarray*}
-q "(\ theta) &=&\ mu q (\ theta)\\
q (\ theta) &=&q (\ theta+2\ pi).
\ end {eqnarray*} De
ello se deduce que los valores propios\(\mu\) son reales y no negativos. Todas las soluciones de la ecuación diferencial vienen dadas por
$$
q (\ theta) =A\ sin (\ sqrt {\ mu}\ theta) +B\ cos (\ sqrt {\ mu}\ theta),
$$
donde\(A\),\(B\) son constantes reales arbitrarias. Del requisito de periodicidad
$$
A\ sin (\ sqrt {\ mu}\ theta) +B\ cos (\ sqrt {\ mu}\ theta) =A\ sin (\ sqrt {\ mu} (\ theta+2\ pi)) +B\ cos (\ sqrt {\ mu} (\ theta+2\ pi))
$$
sigue\ begin {eqnarray*}
\ sin x-\ sin y&=&2\ cos\ frac {x+y} {2}\ sin\ frac {x-y} { 2}\\
\ cos x-\ cos y&=&-2\ sin\ frac {x+y} {2}\ sin\ frac {x-y} {2}\ end {eqnarray*}
$$
\ sin (\ sqrt {\ mu}\ pi)\ left (A\ cos (\ sqrt {\ mu}\ theta+\ sqrt {\ mu}\ pi) -B\ sin (\ sqrt {\ mu}\ theta+\ sqrt {\ mu}\ pi)\ derecha) =0,
$$ lo
que implica, ya que\(A\), \(B\)no son cero simultáneamente, porque estamos buscando\(q\) no idénticamente cero,
$$
\ sin (\ sqrt {\ mu}\ pi)\ sin (\ sqrt {\ mu}\ theta+\ delta) =0
$$
para todos\(\theta\) y a\(\delta=\delta(A,B,\mu)\). En consecuencia los valores propios son
$$
\ mu_n=n^2,\\ n=0,1,\ ldots\.
$$
\(q''(\theta)/q(\theta)=-n^2\) Insertando en (\ ref {disk1}), obtenemos el problema del valor límite
\ begin {eqnarray}
\ label {disk2}\ tag {4.5.2.9}
r^2v "(r) +rv' (r) + (\ lambda r^2-n^2) v&=&0\\ mbox {on}\ (0, R)
\\ label {disk3}\ { 4.5.2.10}
v (R) &=&0\\
\ label {disk4}\ tag {4.5.2.11}
\ sup_ {r\ in (0, R)} |v (r) |&<&\ infty.
\ end {eqnarray}
Establecer\(z=\sqrt{\lambda}r\) y\(v(r)=v(z/\sqrt{\lambda})=:y(z)\), entonces, ver (\ ref {disk2}),
$$
z^2y "(z) +zy' (z) + (z^2-n^2) y (z) =0,
$$
donde\(z>0\). Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales que están delimitadas a cero son las funciones de Bessel de primer tipo y orden\(n\) -ésimo\(J_n(z)\). Los valores propios se derivan de la condición de límite (\ ref {disk3}), i. e., de\(J_n(\sqrt{\lambda}R)=0\). Denote por\(\tau_{nk}\) los ceros de\(J_n(z)\), entonces los valores propios de (\ ref {evppol1}) - (\ ref {evppol1}) son
$$
\ lambda_ {nk} =\ left (\ frac {\ tau_ {nk}} {R}\ right) ^2
$$
y las funciones propias asociadas son
\ begin {eqnarray*}
J_n (\ sqrt {\ lambda_ {nk}} r)\ sin (n\ theta), &&\ n=1,2,\ ldots\\
j_n (\ sqrt {\ lambda_ {nk}} r)\ cos (n\ theta), &&\ n=0,1,2,\ ldots.
\ end {eqnarray*}
Así los valores propios\(\lambda_{0k}\) son simples y\(\lambda_{nk},\ n\ge1\), son valores propios dobles.

Observación. Para tablas con ceros de\(J_n(x)\) y para muchas más propiedades de las funciones de Bessel ver\ cite {Watson}. Uno tiene, en particular, la fórmula asintótica
$$
J_n (x) =\ left (\ frac {2} {\ pi x}\ right) ^ {1/2}\ left (\ cos (x-n\ pi/2-\ pi/5) +O\ left (\ frac {1} {x}\ right)\ right)
$$
as\(x\to\infty\). De esta fórmula se deduce que hay infinitamente muchos ceros de\(J_n(x)\).

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