4.5.3: Ecuaciones de onda no homogéneas

\(\Omega\subset\mathbb{R}^n\)Sea un dominio acotado y suficientemente regular. En esta sección consideramos el problema del valor de límite inicial

\ begin {eqnarray}
\ label {waveinh1}\ tag {4.5.3.1}
u_ {tt} &=&lu+f (x, t)\\\ mbox {in}\\ Omega\ times\ mathbb {R} ^1\
\ label {waveinh2}\ tag {4.5.3.2}
u (x,0) &=&\ phi (x)\ x\ in\ overline {\ Omega}\\
\ label {waveinh3}\ tag {4.5.3.3}
u_t (x,0) &=&\ psi (x)\\ x\ in\ overline {\ Omega}\
\ etiqueta {waveinh4}\ tag {4.5.3.4}
u (x, t) &=&0\\\ mbox {para}\ x\ in\ parcial\ Omega\\ mbox {y}\ t\ in\ mathbb {R} ^1,
\ end {eqnarray}

donde\(u=u(x,t)\),\(x=(x_1,\ldots,x_n)\),\(f,\ \phi,\ \psi\) se dan y\(L\) es un operador diferencial elíptico. Ejemplos de\(L\) son:

1. \(L=\partial^2/\partial x^2\), cuerda oscilante.
2. \(L=\triangle_x\), membrana oscilante.
3. $$Lu=\ suma_ {i, j=1} ^n\ frac {\ parcial} {\ parcial x_j}\ izquierda (a^ {ij} (x) u_ {x_i}\ derecha), $$

donde\(a^{ij}=a^{ji}\) se les dan funciones suficientemente regulares definidas en\(\overline{\Omega}\). Suponemos que\(L\) es uniformemente elíptica, es decir, hay una constante\(\nu>0\) tal que

$$\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij}\ zeta_i\ zeta_j\ ge\ nu|\ zeta|^2\]

para todos\(x\in\Omega\) y\(\zeta\in\mathbb{R}^n\).

4. Dejar\(u=(u_1,\ldots,u_m)\) y

$$Lu=\ suma_ {i, j=1} ^n\ frac {\ parcial} {\ parcial x_j}\ izquierda (A^ {ij} (x) u_ {x_i}\ derecha),\]

donde\(A^{ij}=A^{ji}\) se dan\((m\times m)\) matrices suficientemente regulares en\(\overline{\Omega}\). Suponemos que\(L\) define un sistema elíptico. Un ejemplo para este caso es la elasticidad lineal.

Considerar el problema del valor propio

\ begin {eqnarray}
\ label {osceigen1}\ tag {4.5.3.5}
-Lv&=&\ lambda v\\\ mbox {in}\\ Omega\\
\ etiqueta {osceigen2}\ tag {4.5.3.6}
v&=&0\\\ mbox {on}\\\ parcial\ Omega.
\ end {eqnarray}

Supongamos que hay infinitamente muchos valores propios

$$0<\ lambda_1\ le\ lambda_2\ le\ ldots\\ a\ infty\]

y un sistema de funciones propias asociadas\(v_1,\ v_2,\ldots\) que es completo y ortonormal en\(L^2(\Omega)\). Esta suposición se satisface si\(\Omega\) está acotada y si\(\partial\Omega\) es suficientemente regular.

Para la solución de (\ ref {waveinh1}) - (\ ref {waveinh4}) hacemos el ansatz

\ begin {ecuación}
\ label {oscinh1}\ tag {4.5.3.7}
u (x, t) =\ suma_ {k=1} ^\ infty v_k (x) w_k (t),
\ end {ecuación}

con funciones\(w_k(t)\) que se determinarán posteriormente. Se supone que todas las series son convergentes y que los siguientes cálculos tienen sentido.

Vamos

\ begin {ecuación}
\ label {oscinh2}\ tag {4.5.3.8}
f (x, t) =\ suma_ {k=1} ^\ infty c_k (t) v_k (x)
\ final {ecuación}

ser la descomposición de Fourier\(f\) con respecto a las funciones propias\(v_k\). Tenemos

\ begin {ecuación}
\ label {oscinh3}\ tag {4.5.3.9}
c_k (t) =\ int_\ Omega\ f (x, t) v_k (x)\ dx,
\ end {ecuación}

que se desprende de (\ ref {oscinh2}) después de multiplicar con\(v_l(x)\) e integrar sobre\(\Omega\).

Set

$$\ langle\ phi, v_k\ rangle=\ int_\ Omega\\ phi (x) v_k (x)\ dx,\]

entonces

\ begin {eqnarray*}
\ phi (x) &=&\ sum_ {k=1} ^\ infty\ langle\ phi, v_k\ rangle v_k (x)\
\ psi (x) &=&\ sum_ {k=1} ^\ infty\ langle\ psi, v_k\ rangle v_k (x)
\ end {eqnarray*}

son la descomposición de Fourier de\(\phi\) y\(\psi\), respectivamente.

A continuación determinaremos\(w_k(t)\), que ocurre en ansatz (\ ref {oscinh1}), a partir del requerimiento que\(u=v_k(x)w_k(t)\) es una solución de

$$u_ {tt} =lu+c_k (t) v_k (x)\]

y que las condiciones iniciales

$$w_k (0) =\ langle\ phi, v_k\ rangle,\\\ w_k' (0) =\ langle\ psi, v_k\ rangle\]

están satisfechos. De la ecuación diferencial anterior se desprende

$$w_k "(t) =-\ lambda_kw_k (t) +c_k (t).\]

Así

\ begin {eqnarray}
\ label {oscinh4}\ tag {4.5.3.10}
w_k (t) &=&a_k\ cos (\ sqrt {\ lambda_k} t) +b_k\ sin (\ sqrt {\ lambda_k} t)\\
&&+\ frac {1} {\ sqrt {\ lambda_k}}\ _0^t\ c_k (\ tau)\ sin (\ sqrt {\ lambda_k} (t-\ tau))\ d\ tau,\ nonumber
\ end {eqnarray}

donde

$$ a_k=\ langle\ phi, v_k\ rangle,\\ b_k=\ frac {1} {\ sqrt {\ lambda_k}}\ langle\ psi, v_k\ rangle.\]

Resumiendo, tenemos

Proposición 4.2. La solución (formal) del problema del valor de límite inicial (\ ref {waveinh1}) - (\ ref {waveinh4}) viene dada por

\[u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty v_k(x)w_k(t),\]

donde\(v_k\) es un sistema ortonormal completo de funciones propias de (\ ref {osceigen1}), (\ ref {osceigen2}) y las funciones\(w_k\) están definidas por (\ ref {oscinh4}).

El fenómeno de resonancia

Establecer en (\ ref {waveinh1}) - (\ ref {waveinh4})\(\phi=0\),\(\psi=0\) y asumir que la fuerza externa\(f\) es periódica y viene dada por

$$f (x, t) =A\ sin (\ omega t) v_n (x),\]

donde\(A,\ \omega\) son constantes reales y\(v_n\) es una de las funciones propias de (\ ref {osceigen1}), (\ ref {osceigen2}). Sigue

$$c_k (t) =\ int_\ Omega\ f (x, t) v_k (x)\ dx=A\ delta_ {nk}\ sin (\ omega t).\]

Entonces la solución del problema del valor inicial (\ ref {waveinh1}) - (\ ref {waveinh4}) es
\ begin {eqnarray*}
u (x, t) &=&\ frac {av_n (x)} {\ sqrt {\ lambda_n}}\ int_0^t\\ sin (\ omega\ tau)\ sin (\ sqrt {\ lambda_n}}\ int_0^t\ sin (\ omega\ tau)\ sin (\ sqrt {\ lambda_n da_n} (t-\ tau))\ d\ tau\\
&=&av_n (x)\ frac {1} {\ omega^2-\ lambda_n}\ left ( \ frac {\ omega} {\ sqrt {\ lambda_n}}\ sin (\ sqrt {\ lambda_k} t) -\ sin (\ omega t)\ derecha),
\ end {eqnarray*}
proporcionado\(\omega\not=\sqrt{\lambda_n}\). Sigue

$$u (x, t)\ a\ frac {A} {2\ sqrt {\ lambda_n}} v_n (x)\ left (\ frac {\ sin (\ sqrt {\ lambda_n} t)} {\ sqrt {\ lambda_n}} -t\ cos (\ sqrt {\ lambda_n} t)\ derecha)\]

si\(\omega\to\sqrt{\lambda_n}\). El lado derecho es también la solución del problema del valor de límite inicial si\(\omega=\sqrt{\lambda_n}\).

En consecuencia\(|u|\) puede ser arbitrariamente grande en algunos puntos\(x\) y en algunas ocasiones\(t\) si\(\omega=\sqrt{\lambda_n}\). Las frecuencias\(\sqrt{\lambda_n}\) se denominan frecuencias críticas a las que se produce la resonancia.

Un resultado de singularidad

La solución del problema del valor de límite inicial (\ ref {waveinh1}) - (\ ref {waveinh4}) es única en la clase\(C^2(\overline{\Omega}\times\mathbb{R}^1)\).

Prueba. Vamos\(u_1\),\(u_2\) son dos soluciones, luego\(u=u_2-u_1\) satisface

\ begin {eqnarray*}
u_ {tt} &=&Lu\\\ mbox {in}\\ Omega\ times\ mathbb {R} ^1\\
u (x,0) &=&0\\ x\ in\ overline {\ Omega}\\
u_t (x,0) &=&0\\ x\ in\ overline {Omega}\\
u (x, t) &=&0\\\ mbox {para}\ x\ in\ parcial\ Omega\\ mbox {y}\ t\ en\ mathbb {R} ^n.
\ fin {eqnarray*}

Como ejemplo consideramos el Ejemplo 3 desde arriba y establecemos

$$E (t) =\ int_\ Omega\ (\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x) u_ {x_i} u_ {x_j} +u_tu_t)\ dx.\]

Entonces
\ comienza {eqnarray*}
E' (t) &=&2\ int_\ Omega\ (\ sum_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x) u_ {x_i} u_ {x_jt} +u_tu_ {tt})\ dx\\
&=&2\ int_ {\ parcial\ Omega}\ (\ sum_ {i, j =1} ^na^ {ij} (x) u_ {x_i} u_tn_j)\ dS\\
&&&+2\ int_\ Omega\ u_t (-lu+u_tt)\ dx\\
& ; =&0.
\ end {eqnarray*}

Se deduce\(E(t)=const.\) De\(u_t(x,0)=0\) y\(u(x,0)=0\) obtenemos\(E(0)=0\). En consecuencia\(E(t)=0\) para todos\(t\), lo que implica, ya que\(L\) es elíptica, eso\(u(x,t)=const.\) en\(\overline{\Omega}\times\mathbb{R}^1\). Finalmente, las condiciones homogéneas de valor inicial y límite conducen a\(u(x,t)=0\) on\(\overline{\Omega}\times\mathbb{R}^1\).

\(\Box\)

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