7.2.1: Conclusiones de la Fórmula de Representación

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Similar a la teoría de funciones de una variable compleja, obtenemos aquí resultados para funciones armónicas a partir de la fórmula de representación, en particular de (7.2.5), (7.2.6). Recordamos que una función$u$ se llama armónica si$u\in C^2(\Omega)$ y
$\triangle u=0$ en$\Omega$.

Proposición 7.1. Supongamos$u$ que es armónico en$\Omega$. Entonces$u\in C^\infty(\Omega)$. }

Prueba. Que$\Omega_0\subset\subset\Omega$ sea un dominio tal que$y\in\Omega_0$. Se desprende de las fórmulas de representación (7.2.5), (7.2.6), donde$\Omega:=\Omega_0$, que$D^lu(y)$ existen y son continuas para todos$l$ ya que se puede cambiar la diferenciación con la integración en lados derechos de las fórmulas de representación.

$\Box$

OBSERVACIÓN. De hecho, una función que es armónica en$\Omega$ es incluso real analítica en$\Omega$, ver un ejercicio.

Proposición 7.2 (Fórmula de valor medio para funciones armónicas). Supongamos$u$ que es armónico en$\Omega$. Entonces por cada$B_\rho(x)\subset\subset\Omega$
$$
u (x) =\ frac {1} {\ omega_n\ rho^ {n-1}}\ int_ {\ parcial B_\ rho (x)}\ u (y)\ ds_y.
$$
Prueba. Considera el caso$n\ge3$. La aserción se desprende de (7.2.6) donde$\Omega:=B_\rho(x)$ since$r=\rho$ y
\ begin {eqnarray*}
\ int_ {\ parcial B_\ rho (x)}\ frac {1} {r^ {n-2}}\ frac {\ parcial u} {\ parcial n_y}\ ds_y&=&\ frac {1} {\ rho^ {n-2}}\ int_ {parcial\ B_\ rho (x)}\ frac {\ u parcial} {\ n_y parcial}\ ds_y\\
&=&\ frac {1} {\ rho^ {n-2}}\ int_ {B_\ rho (x)}\\ triángulo u\ dy\\
&=&0.
\ end {eqnarray*}

$\Box$

Recordamos que un dominio$\Omega\in\mathbb{R}^n$ se llama conectado si no$\Omega$ es la unión de dos subconjuntos abiertos no vacíos$\Omega_1$,$\Omega_2$ tal que$\Omega_1\cap\Omega_2=\emptyset$. Un dominio en$\mathbb{R}^n$ está conectado si y solo si su ruta está conectada.

Proposición 7.3 (Principio máximo). Supongamos que$u$ es armónico en un dominio conectado y alcanza su supremo o infimum en$\Omega$. Luego$u\equiv const.$ adentro$\Omega$.

Prueba. Considera el caso del supremo. Que$x_0\in\Omega$ tal que
$$
u (x_0) =\ sup_\ Omega u (x) =:M.
$$
Establecer
$\Omega_1:=\{x\in\Omega:\ u(x)=M\}$ y$\Omega_2:=\{x\in\Omega:\ u(x)<M\}$. El conjunto no$\Omega_1$ está vacío desde entonces$x_0\in\Omega_1$. El conjunto$\Omega_2$ está abierto desde$u\in C^2(\Omega)$. En consecuencia,$\Omega_2$ está vacío si podemos mostrar que$\Omega_1$ está abierto. Vamos$\overline{x}\in\Omega_1$, entonces hay$\rho_0>0$ tal que$\overline{B_{\rho_0}(\overline{x})}\subset\Omega$ y$u(x)=M$ para todos$x\in B_{\rho_0}(\overline{x})$. Si no, entonces existe$\rho>0$ y$\widehat{x}$ tal que
$|\widehat{x}-\overline{x}|=\rho$,$0<\rho<\rho_0$ y$u(\widehat{x})<M$. De la fórmula del valor medio, véase la Proposición 7.2, sigue
$$
M=\ frac {1} {\ omega_n\ rho^ {n-1}}\ int_ {\ parcial B_\ rho (\ overline {x})}\ u (x)\ dS
<\ frac {M} {\ omega_n\ rho^ {n-1}}\ int_ {\ parcial B_\ rho (\ overline {x})}\\ ds=M,
$$
que es un contradicción. Así, el conjunto$\Omega_2$ está vacío ya que$\Omega_1$ está abierto.

$\Box$

Corolario. Supongamos que$\Omega$ está conectado y acotado, y$u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ es armónico en$\Omega$. Después$u$ logra su mínimo y su máximo en el límite$\partial\Omega$.

OBSERVACIÓN. El corolario anterior falla si no$\Omega$ está acotado como muestran simples contraejemplos.

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