7.4: Función de Green para\(\Delta\)

El teorema 7.1 dice que cada función armónica satisface
\ begin {ecuación}
\ label {verde1}
u (x) =\ int_ {\ parcial\ Omega}\ left (\ gamma (y, x)\ frac {\ parcial u (y)} {\ parcial n_y} -u (y)\ frac {\ parcial\ gamma (y, x)} {\ parcial n_y}\ derecha)\ _Y,
\ end {ecuación}
donde\(\gamma(y,x)\) es una solución fundamental. En general,\(u\) no satisface la condición de límite en los problemas de valor límite anteriores. Ya que\(\gamma=s+\phi\), ver Sección 7.2, donde\(\phi\) se encuentra una función armónica arbitraria para cada fijo\(x\), tratamos de encontrar un\(\phi\) tal que\(u\) satisfaga también la condición de límite.

Consideremos el problema de Dirichlet, entonces buscamos un\(\phi\) tal que
\ comience {ecuación}
\ label {verde2}
\ gamma (y, x) =0,\\ y\ in\ parcial\ Omega,\ x\ in\ Omega.
\ end {ecuación}
Entonces
$$
u (x) =-\ int_ {\ parcial\ Omega}\\ frac {\ parcial\ gamma (y, x)} {\ parcial n_y} u (y)\ ds_y,\\ x\ in\ Omega.
$$
Supongamos que\(u\) logra sus valores límite\(\Phi\) del problema de Dirichlet, entonces
\ begin {ecuación}
\ label {verde3}
u (x) =-\ int_ {\ parcial\ Omega}\\ frac {\ parcial\ gamma (y, x)} {\ parcial n_y}\ Phi (y)\ ds_y,
\ end {equation}
Afirmamos que esta función resuelve el problema de Dirichlet (7.3.1.1), (7.3.1.2).

Una función\(\gamma(y,x)\) que satisface (\ ref {green2}), y algunas suposiciones adicionales, se llama función de Green. Más precisamente, definimos una función Verde de la siguiente manera.

Definición. Una función\(G(y,x)\),\(y,\ x\in\overline{\Omega}\),\(x\not= y\), se llama función verde asociada a\(\Omega\) y al problema de Dirichlet (7.3.1.1), (7.3.1.2) si para fijo\(x\in\Omega\), es decir consideramos\(G(y,x)\) como una función de\(y\), las siguientes propiedades se mantienen:

(i)\(G(y,x)\in C^2(\Omega\setminus\{x\})\cap C(\overline{\Omega}\setminus\{x\})\),\(\triangle_yG(y,x)=0,\ \ x\not=y\).

ii)\(G(y,x)-s(|x-y|)\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})\).

iii)\(G(y,x)=0\) si\(y\in\partial\Omega\),\(x\not=y\).

OBSERVACIÓN. Veremos en la siguiente sección que existe una función Verde al menos para algunos dominios de geometría simple. En cuanto a la existencia de una función Verde para dominios más generales ver [13].

Es un dato interesante que obtenemos de (i) - (iii) de la definición anterior dos propiedades más importantes, siempre que\(\Omega\) esté acotada, suficientemente regular y conectada.

Proposición 7.7. Una función Verde tiene las siguientes propiedades. En el caso\(n=2\) suponemos {\ rm diam}\(\Omega<1\).

(A)\(G(x,y)=G(y,x)\)\\ (simetría).

(B)\(0<G(x,y)<s(|x-y|), \ \ x,\ y\in\Omega,\ x\not=y\).

Comprobante. (A) Vamos\(x^{(1)},\ x^{(2)}\in\Omega\). Establecer\(B_i=B_\rho(x^{(i)})\),\(i=1,\ 2\). Asumimos\(\overline{B_i}\subset\Omega\) y\(B_1\cap B_2=\emptyset\). Dado que\(G(y,x^{(1)})\) y\(G(y,x^{(2)})\) son armónicos en\(\Omega\setminus\left(\overline{B_1}\cup\overline{B_2}\right)\) obtenemos de la identidad de Green, ver Figura 7.4.1 para notaciones,

Figura 7.4.1: Prueba de Proposición 7.7

\ begin {eqnarray*}
0&=&\ int_ {\ parcial\ izquierda (\ Omega\ setmenos (\ overline {B_1}\ copa\ overline {B_2})\ derecha)}
\ bigg (G (y, x^ {(1)})\ frac {\ parcial} {\ parcial n_y} G (y, x^ {(2)})\
&&\ qquad\ qquad\ qquad\ qquad\ qquad\ qquad\ qquad -G (y, x^ {(2)})\ frac {\ parcial} {\ parcial n_y} G (y, x^ {(1)})\ bigg) DS_y\\
&=&\ int_ {\ parcial\ Omega}
\ izquierda (G (y, x^ {(1)})\ frac {\ parcial} {\ parcial n_y} G (y, x^ {(2)}) -G (y, x^ {(2)})\ frac {\ parcial} {parcial\ n_y} G (y, x^ {(1)})\ derecha) DS_y\\
&+&\ int_ {\ parcial B_1}
\ izquierda (G (y, x^ {(1)})\ frac {\ parcial} {\ parcial n_y} G (y, x^ {(2)}) -G (y, x^ {(2)})\ frac {\ parcial} {\ parcial n_y} G (y, x^ {(1)})\ derecha) DS_y\\
&+&\ int_ {\ parcial B_2}
\ izquierda (G (y, x^ {(1)})\ frac {\ parcial} {\ parcial n_y} G (y, x^ {(2)}) -G (y, x^ {(2)})\ frac {\ parcial} {\ parcial n_y} G (y, x^ {(1)})\ derecha) DS_y.
\ end {eqnarray*}
La integral sobre\(\partial\Omega\) es cero debido a la propiedad (iii) de una función Verde, y
\ begin {eqnarray*}
\ int_ {\ parcial B_1}
\\ bigg (G (y, x^ {(1)})\ frac {\ parcial} {\ parcial n_y} G (y, x^ {(2)}) &-&G (y, x^ {(2)})\ frac {\ parcial} {\ parcial n_y} G (y, x^ {(1 )})\ bigg) DS_y\\
&\ to& G (x^ {(1)}, x^ {(2)}),\
\ int_ {\ parcial B_2}\
\ bigg (G (y, x^ {(1)})\ frac {\ parcial} {\ parcial n_y} G (y, x^ {(2)}) &-&G (y, x^ {(2)})\ frac {\ parcial} {\ n_y parcial} G (y, x^ {(1)})\ bigg)\ ds_y\\
&\ to&
-G (x^ {(2 )}, x^ {(1)})
\ end {eqnarray*}
as\(\rho\to 0\).
Esto sigue por consideraciones como en la prueba del Teorema 7.1.

(B) Desde
$$
G (y, x) =s (|x-y|) +\ phi (y, x)
$$
y\(G(y,x)=0\) si\(y\in\partial\Omega\) y\(x\in\Omega\) tenemos para\(y\in\partial\Omega\)
$$
\ phi (y, x) =-s (|x-y|).
$$
De la definición de\(s(|x-y|)\) ello se deduce que\(\phi(y,x)< 0\) si\(y\in\partial\Omega\). Así, ya que\(\triangle_y\phi=0\) en\(\Omega\), el principio máximo-mínimo implica eso\(\phi(y,x)<0\)
para todos\(y,~x\in\Omega\). En consecuencia
$$
G (y, x) <s (|x-y|),\\ x,\ y\ in\ Omega,\ x\ not=y.
$$
Queda por demostrar que
$$
G (y, x) >0,\\ x,\ y\ in\ Omega,\ x\ no=y.
$$
Fijar\(x\in\Omega\) y dejar que\(B_\rho(x)\) sea una bola tal que\(B_\rho(x)\subset\Omega\) para todos\(0<\rho<\rho_0\). Hay una suficientemente pequeña\(\rho_0>0\) tal que para cada\(\rho\),\(0<\rho<\rho_0\),
$$
G (y, x) >0\\\ mbox {para todos}\ y\ in\ overline {B_\ rho (x)},\ x\ not=y,
$$
ver propiedad (iii) de una función Verde. Desde
\ begin {eqnarray*}
\ triangle_y G (y, x) &=&0\\\ mbox {in}\\ Omega\ setmenos\ overline {B_\ rho (x)}\\
G (y, x) &>&0\\\ mbox {if}\ y\ in\ parcial B_\ rho (x)\
G (y, x) &=&0\\\ mbox {if}\ y\ in\ parcial\ Omega
\ end {eqnarray*}
se deduce del principio máximo-mínimo que
$$
G (y, x) >0\\\ mbox {on}\\ Omega\ setmenos\ overline {B_\ rho (x)}.
\]

\(\Box\)

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