7.4.1: La función de Green para una bola

Si\(\Omega=B_R(0)\) es una pelota, entonces se conoce explícitamente la función de Green.

Dejar\(\Omega=B_R(0)\) ser una bola adentro\(\mathbb{R}^n\) con radio\(R\) y el centro en el origen. Dejar\(x,\ y\in B_R(0)\) y dejar que\(y'\) el punto reflejado de\(y\) sobre la esfera\(\partial B_R(0)\), es decir, en particular\(|y||y'|=R^2\), ver Figura 7.4.1.1 para las notaciones.

\ (\ parcial B_R (0)\)” style="width: 250px; alto: 143px;” width="250px” height="143px” src=” https://math.libretexts.org/@api/dek...15/ellfig5.jpg "/>

Figura 7.4.1.1: Reflexión sobre\(\partial B_R(0)\)

Set

$$G (x, y) =s (r) -s\ izquierda (\ frac {\ rho} {R} r_1\ derecha),\]

donde\(s\) está la función de singularidad de la Sección 7.1,\(r=|x-y|\) y

$$\ rho^2=\ suma_ {i=1} ^ny_i^2,\\\ r_1=\ suma_ {i=1} ^n\ izquierda (x_i-\ frac {R^2} {\ rho^2} y_i\ derecha) ^2.\]

Esta función\(G(x,y)\) satisface (i) - (iii) de la definición de una función Verde. Afirmamos que

$$u (x) =-\ int_ {\ parcial B_R (0)}\ frac {\ parcial} {\ parcial n_y} G (x, y)\ Phi\ DS_Y\]

es una solución del problema de Dirichlet (7.3.1.1), (7.3.1.2). Esta fórmula también es cierta para una gran clase de dominios\(\Omega\subset\mathbb{R}^n\), véase [13].

Lema.

$$-\ frac {\ parcial} {\ parcial n_y} G (x, y)\ bigg|_ {|y|=R} =\ frac {1} {R\ omega_n}\ frac {r^2-|x|^2} {|y-x|^n}.\]

Comprobante. Ejercicio.

Establecer
\ begin {ecuación}
\ label {ell13}\ tag {7.4.1.1}
H (x, y) =\ frac {1} {R\ omega_n}\ frac {r^2-|x|^2} {|y-x|^n},
\ end {ecuación}
que se llama kernel de Poisson.

Teorema 7.2. Asumir\(\Phi\in C(\partial\Omega)\). Entonces

$$u (x) =\ int_ {\ parcial B_R (0)}\ H (x, y)\ Phi (y)\ Ds_y$$

es la solución del primer problema de valor límite (7.3.1.1), (7.3.1.2) en la clase\(C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})\).

Comprobante. La prueba se desprende de las siguientes propiedades de\(H(x,y)\):

1. \(H(x,y)\in C^\infty,\ \ |y|= R,\ |x|<R,\ x\not=y\),
2. \(\triangle_xH(x,y)=0,\ \ |x|<R,\ |y|=R\),
3. \(\int_{\partial B_R(0)}\ H(x,y)\ dS_y=1,\ \ |x|<R\),
4. \(H(x,y)>0,\ \ |y|=R,\ |x|<R\),
5. Fijar\(\zeta\in\partial B_R(0)\) y\(\delta>0\), luego\(\lim_{x\to\zeta,|x|<R}H(x,y)=0\) uniformemente adentro\(y\in\partial B_R(0),\ |y-\zeta|>\delta\).

(i), (iv) y (v) se derivan de la definición (\ ref {ell13}) de\(H\) y (ii) de (\ ref {ell13}) o de

$$H=-\ frac {\ parcial G (x, y)} {\ parcial n_y}\ bigg|_ {y\ in\ parcial B_R (0)},\]

\(G\)armónico y\(G(x,y)=G(y,x)\).

La propiedad (iii) es una consecuencia de la fórmula

$$u (x) =\ int_ {\ parcial B_R (0)}\ H (x, y) u (y)\ ds_y,\]

para cada función armónica\(u\), consulte los cálculos de la fórmula de representación anterior. Obtenemos (ii) si establecemos\(u\equiv1\).

Queda por demostrar que\(u\), dada por la fórmula de Poisson, está adentro\(C(\overline{B_R(0)})\) y eso\(u\) logra los valores límite prescritos. Arreglar\(\zeta\in \partial B_R(0)\) y dejar\(x\in B_R(0)\). Entonces

\ begin {eqnarray*}
u (x) -\ Phi (\ zeta) &=&\ int_ {\ parcial B_R (0)}\ H (x, y)\ izquierda (\ Phi (y) -\ Phi (\ zeta)\ derecha)\ ds_y\
&=& I_1+I_2,
\ end {eqnarray*}
donde
\ begin {eqnarray* ay*}
I_1&=&\ int_ {\ parcial B_R (0),\ |y-\ zeta| <\ delta}\ H (x, y)\ izquierda (\ Phi (y) -\ Phi (\ zeta)\ derecha)\ ds_y\\
I_2&=&\ int_ {\ parcial B_R (0),\ |y-\ zeta|\ ge\ delta}\ H (x, y)\ izquierda (\ Phi (y) -\ Phi (\ zeta) derecha\)\ ds_y.
\\\ end {eqnarray*}
Por dado (pequeño)\(\epsilon>0\) hay\(\delta=\delta(\epsilon)>0\) tal que

$$|\ Phi (y) -\ Phi (\ zeta) |<\ épsilon\]

para todos\(y\in\partial B_R(0)\) con\(|y-\zeta|<\delta\). Se deduce\(|I_1|\le\epsilon\) por los incisos iii) y iv). Set\(M=\max_{\partial B_R(0)}|\phi|\). Del (v) concluimos que existe\(\delta'>0\) tal que

$$H (x, y) <\ frac {\ épsilon} {2M\ Omega_NR^ {n-1}}\]

si\(x\) y\(y\) satisfacer\(|x-\zeta|<\delta',\ |y-\zeta|>\delta\), véase la Figura 7.4.1.2 para las anotaciones.

Figura 7.4.1.2: Prueba de teorema 7.2

Así\(|I_2|<\epsilon\) y la desigualdad

$$|u (x) -\ Phi (\ zeta) |<2\ épsilon\]

para\(x\in B_R(0)\) tal que\(|x-\zeta|<\delta'\) se muestra.

\(\Box\)

OBSERVACIÓN. Definir\(\delta\in[0,\pi]\) a través\(\cos\delta=x\cdot y/(|x||y|)\), luego escribimos la fórmula de Poisson del Teorema 7.2 como

$$u (x) =\ frac {r^2-|x|^2} {\ omega_nr}\ int_ {\ parcial B_R (0)}\ Phi (y)\ frac {1} {\ left (|x|^2+R^2-2|x|R\ cos\ delta\ derecha) ^ {n/2}}\ DS_Y.\]

En el caso\(n=2\) podemos ampliar esta integral en una serie de potencias con respecto a\(\rho:=|x|/R\) si\(|x|<R\), ya que

\ begin {eqnarray*}
\ frac {r^2-|x|^2} {|x|+R^2-2|x|R\ cos\ delta} &=&\ frac {1-\ rho^2} {\ rho^2-2\ rho\ cos\ delta+1}\\
&=&1+2\ sum_ {n=1} ^\ infty\ rho^n cos (n\ delta),
\ end {eqnarray*}

ver [16], pp. 18 para una prueba fácil de esta fórmula, o [4], Vol. II, p. 246.

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