5: Separación de variables en dominios rectangulares
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En esta sección investigaremos ecuaciones bidimensionales definidas en dominios rectangulares. O veremos rectángulos finitos, cuando tenemos dos variables de espacio, o en rectángulos semiinfinitos cuando una de las variables es el tiempo. Estudiaremos los tres tipos diferentes de ecuaciones diferenciales parciales: parabólica, hiperbólica y elíptica.
- 5.1: Libro de cocina
- Permítanme comenzar con una receta que describa el enfoque de la separación de variables, como se ejemplifica en las siguientes secciones, y en capítulos posteriores.
- 5.2: Ecuación parabólica
- Las PDE parabólicas se utilizan para describir una amplia variedad de fenómenos dependientes del tiempo, incluyendo la conducción de calor y la difusión de partículas.
- 5.3: Ecuación Hiperbólica
- Muchas de las ecuaciones de la mecánica son hiperbólicas y la ecuación hiperbólica modelo es la ecuación de onda. Las soluciones de ecuaciones hiperbólicas son “onduladas”. Si se realiza una perturbación en los datos iniciales de una ecuación diferencial hiperbólica, entonces no todos los puntos del espacio sienten la perturbación a la vez.
- 5.4: Ecuación de Laplace
- La ecuación de Laplace son los ejemplos más simples de ecuaciones diferenciales parciales elípticas. Las soluciones de la ecuación de Laplace son las funciones armónicas, que son importantes en muchos campos de la ciencia, en particular los campos del electromagnetismo, la astronomía y la dinámica de fluidos, ya que pueden usarse para describir con precisión el comportamiento de los potenciales eléctricos, gravitacionales y fluidos. En el estudio de la conducción de calor, la ecuación de Laplace es la ecuación de calor en estado estacionario.
- 5.6: Ecuaciones no homogéneas
- Las ecuaciones no homogéneas a menudo se pueden resolver (para PDEs de coeficiente constante, siempre resolverse) encontrando la solución fundamental (la solución para una fuente puntual), luego tomando la convolución con las condiciones límite para obtener la solución.
Miniatura: Una visualización de una solución a la ecuación bidimensional del calor con la temperatura representada por la tercera dimensión. Imaged usado con permiso (Dominio público; Oleg Alexandrov). La ecuación de calor es una ecuación diferencial parcial parabólica que describe la distribución del calor (o variación en la temperatura) en una región determinada a lo largo del tiempo.