5.5: Condiciones iniciales/límites más complejas
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Permítanme dar un ejemplo de estos procedimientos. Considere una cuerda vibratoria unida a dos cojinetes de aire, deslizándose a lo largo de varillas separadas a 4m. Se le pide encontrar el desplazamiento para todos los tiempos, si el desplazamiento inicial, es decir, a\(t=0\) s es de un metro y la velocidad inicial es\(x/t_0~\rm m/s\).
La ecuación diferencial y sus condiciones límite se escriben fácilmente,
\[\begin{aligned} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} u &= \frac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} u ,\nonumber\\ \dfrac{\partial}{\partial x} u(0,t) &= \dfrac{\partial}{\partial x} u(4,t) = 0, \;t>0, \nonumber\\ u(x,0) & = 1, \nonumber\\ \dfrac{\partial}{\partial t} u(x,0) & = x /t_0.\end{aligned} \nonumber \]
¿Qué pasa si agrego dos soluciones\(v\) y\(w\) de la ecuación diferencial que satisfagan los mismos BC de arriba pero diferentes CI,
\[\begin{aligned} v(x,0) =0 &,& \dfrac{\partial}{\partial t} v(x,0) = x /t_0, \nonumber\\ w(x,0) =1 &,& \dfrac{\partial}{\partial t} w(x,0) = 0?\end{aligned} \nonumber \]
- Responder
-
\(u\)=\(v+w\), podemos agregar los BC.
Si separamos variables,\(u(x,t) = X(x)T(t)\), encontramos que obtenemos condiciones de límite fáciles para\(X(x)\),\[X'(0)=X'(4) = 0, \nonumber \] pero no tenemos tanta suerte para\((t)\). Como antes resolvemos la ecuación de valor propio para\(X\), y encontramos soluciones para\(\lambda_n=\frac{n^2\pi^2}{16}\)\(n=0,1,...\), y\(X_n=\cos(\frac{n\pi}{4}x)\). Como no tenemos condiciones límite para\(T(t)\), tenemos que tomar la solución completa,
\[\begin{aligned} T_0(t) &= A_0 + B_0 t, \nonumber\\ T_n(t) &= A_n \cos \frac{n\pi}{4} ct + B_n \sin \frac{n\pi}{4} ct,\end{aligned} \nonumber \]y por lo tanto\[u(x,t) = \dfrac{1}{2}(A_0 + B_0 t ) + \sum_{n=1}^\infty \left(A_n \cos \frac{n\pi}{4} ct + B_n \sin \frac{n\pi}{4} ct\right) \cos \frac{n\pi}{4}x. \nonumber \]
Ahora imponen las condiciones iniciales
- \[u(x,0) = 1 = \dfrac{1}{2} A_0 + \sum_{n=1}^\infty A_n \cos \frac{n\pi}{4}x, \nonumber \]lo que implica\(A_0=2\),\(A_n=0, n>0\).
- \[\dfrac{\partial}{\partial t} u(x,0) = x/t_0 = \dfrac{1}{2} B_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac{n\pi c}{4} B_n \cos \frac{n\pi}{4}x. \nonumber \]Esta es la serie de senos de Fourier\(x\), que hemos encontrado antes, y conduce a los coeficientes\(B_0=4\) y\(B_n= -\frac{64}{n^3\pi^3c}\) si\(n\) es impar y cero de lo contrario.
Así que finalmente\[u(x,t) = (1+2t) -\frac{64}{\pi^3} \sum_{n~\rm odd} \frac{1}{n^3} \sin \frac{n\pi ct}{4 } \cos \frac{n\pi x}{4}. \nonumber \]