1: Introducción y Revisión

Estas son notas para un segundo curso en ecuaciones diferenciales originalmente impartido en el semestre de primavera de 2005 en la Universidad de Carolina del Norte Wilmington a estudiantes de nivel superior y posgrado de primer año y posteriormente actualizados en otoño de 2007 y otoño de 2008. Se supone que has tenido un curso introductorio en ecuaciones diferenciales. No obstante, comenzaremos este capítulo con una revisión de algunos de los materiales de su primer curso en ecuaciones diferenciales y luego daremos una visión general del material que estamos a punto de cubrir.

Por lo general, un curso introductorio en ecuaciones diferenciales introduce a los estudiantes a soluciones analíticas de ecuaciones diferenciales de primer orden que son separables, ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, y a veces a algunos otros tipos especiales de ecuaciones. Luego, los estudiantes exploran la teoría de las ecuaciones diferenciales de segundo orden generalmente restringidas al estudio de soluciones exactas de ecuaciones diferenciales lineales de coeficiente constante o incluso ecuaciones del tipo CauchyEuler. Estos son seguidos posteriormente por el estudio de técnicas especiales, como los métodos de series de poder o los métodos de transformación de Laplace. Si el tiempo lo permite, se exploran algunas funciones especiales, como los polinomios de Legendre y las funciones de Bessel, mientras exploran los métodos de series de potencia para resolver ecuaciones diferenciales.

Más recientemente, se han introducido variaciones sobre este inventario de temas a través de la introducción temprana de sistemas de ecuaciones diferenciales, estudios cualitativos de estos sistemas y un uso más intenso de la tecnología para comprender el comportamiento de soluciones de ecuaciones diferenciales. Esto generalmente se hace a expensas de no cubrir los métodos de la serie de potencia, las funciones especiales o las transformaciones de Laplace. En cualquier caso, los tipos de problemas resueltos son problemas de valor inicial en los que la ecuación diferencial a resolver va acompañada de un conjunto de condiciones iniciales.

En este curso asumiremos alguna exposición al solapamiento de estos dos enfoques. Primero daremos una revisión rápida de la solución de ecuaciones separables y lineales de primer orden. Luego revisaremos las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y las ecuaciones de Cauchy-Euler. A esto le seguirá una visión general de algunos de los temas tratados. Al igual que con cualquier curso en ecuaciones diferenciales, enfatizaremos soluciones analíticas, gráficas y (a veces) aproximadas de ecuaciones diferenciales. A lo largo presentaremos aplicaciones desde la física, la química y la biología.